2020-2021中考數(shù)學(xué)培優(yōu)(含解析)之平行四邊形及詳細(xì)答案一、平行四邊形1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)．以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少（用含x的代數(shù)式表示）；（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△NPC是一個(gè)等腰三角形？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3﹣x）．（2）S的最大值為，此時(shí)x=2．（3）x=，或x=，或x=．【解析】試題分析：（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是求OM和PM的長(zhǎng)，已知了OM的長(zhǎng)為x，關(guān)鍵是求出PM的長(zhǎng)，方法不唯一，①可通過(guò)PM∥OC得出的對(duì)應(yīng)成比例線段來(lái)求；②也可延長(zhǎng)MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長(zhǎng)和∠ACB的正切值求出PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)PM=AB﹣PQ來(lái)求出PM的長(zhǎng)．得出OM和PM的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）可按（1）②中的方法經(jīng)求出PQ的長(zhǎng)，而CN的長(zhǎng)可根據(jù)CN=BC﹣BN來(lái)求得，因此根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S，x的函數(shù)關(guān)系式．（3）本題要分類(lèi)討論：①當(dāng)CP=CN時(shí)，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長(zhǎng)即x和∠ABC的余弦值求出CP的表達(dá)式，然后聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值；②當(dāng)CP=PN時(shí)，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)QN=CN﹣CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值．③當(dāng)CN=PN時(shí)，先求出QP和QN的長(zhǎng)，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長(zhǎng)，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值．試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，有題意可得：PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴∴解得：QP=x，∴PM=3﹣x，由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3﹣x）．（2）設(shè)△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC邊上的高為，其中，0≤x≤4．∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）=﹣（x﹣2）2+．∴S的最大值為，此時(shí)x=2．（3）延長(zhǎng)MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．②若CP=CN，則CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；③若CN=NP，則CN=4﹣x．∵PQ=x，NQ=4﹣2x，∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，∴x=．綜上所述，x=，或x=，或x=．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．2．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過(guò)對(duì)角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對(duì)角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長(zhǎng).詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD⊥EF，設(shè)BE=x，則

DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．點(diǎn)睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問(wèn)的關(guān)鍵3．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DCO，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AO=CO，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．4．已知Rt△ABD中，邊AB=OB=1，∠ABO=90°問(wèn)題探究：（1）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作正方形ABC，如圖（1），則點(diǎn)O與點(diǎn)D的距離為．（2）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作等邊三角形ABC，如圖（2），求點(diǎn)O與點(diǎn)C的距離．問(wèn)題解決：（3）若線段DE=1，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D，E分別在射線OA、OB上滑動(dòng)，以DE為邊向外作等邊三角形DEF，如圖（3），則點(diǎn)O與點(diǎn)F的距離有沒(méi)有最大值，如果有，求出最大值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】(1)、；(2)、；(3)、.【解析】【分析】試題分析：(1)、如圖1中，連接OD，在Rt△ODC中，根據(jù)OD=計(jì)算即可．(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．在Rt△OCE中，根據(jù)OC=計(jì)算即可．(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時(shí)，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點(diǎn)M，使得OM=DM，連接DM．分別求出MH、OM、FH即可解決問(wèn)題．【詳解】試題解析：(1)、如圖1中，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，∴OD=(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，∴四邊形BECF是矩形，∴BF=CF=，CF=BE=，在Rt△OCE中，OC==．(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時(shí)，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點(diǎn)M，使得OM=DM，連接DM．∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE，∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=∠DOE=22.5°，∵OM=DM，∴∠MOD=∠MDO=22.5°，∴∠DMH=∠MDH=45°，∴DH=HM=，∴DM=OM=，∵FH=，∴OF=OM+MH+FH==．∴OF的最大值為．考點(diǎn)：四邊形綜合題．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線DE交x軸于點(diǎn)E（30，0），交y軸于點(diǎn)D（0，40），直線AB：y＝x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，交直線DE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線AB于點(diǎn)F，以EF為一邊向右作正方形EFGH．（1）求邊EF的長(zhǎng)；（2）將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒個(gè)單位的速度勻速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移過(guò)程中邊F1G1始終與y軸垂直，設(shè)平移的時(shí)間為t秒（t＞0）．①當(dāng)點(diǎn)F1移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求t的值；②當(dāng)G1，H1兩點(diǎn)中有一點(diǎn)移動(dòng)到直線DE上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)正方形E1F1G1H1與△APE重疊部分的面積．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根據(jù)已知點(diǎn)E（30，0），點(diǎn)D（0，40），求出直線DE的直線解析式y(tǒng)=-x+40，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出F點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①易求B（0，5），當(dāng)點(diǎn)F1移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t=10÷=10；②F點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是t，F(xiàn)垂直x軸方向移動(dòng)的距離是t，當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，在Rt△F'NF中，=，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，，t=4，S=×(12+)×11=；當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，在Rt△F'PK中，=，PK=t-3，F(xiàn)'K=3t-9，在Rt△PKG'中，＝＝，t=7，S=15×（15-7）=120.【詳解】（1）設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，將點(diǎn)E（30，0），點(diǎn)D（0，40），∴，∴，∴y＝﹣x+40，直線AB與直線DE的交點(diǎn)P（21，12），由題意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴當(dāng)點(diǎn)F1移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t＝10＝10；②當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是t，在Rt△F'NF中，=，∴FN＝t，F(xiàn)'N＝3t，∵M(jìn)H'＝FN＝t，EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，在Rt△DMH'中，，∴，∴t＝4，∴EM＝3，MH'＝4，∴S＝；當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是t，∵PF＝3，∴PF'＝t﹣3，在Rt△F'PK中，，∴PK＝t﹣3，F(xiàn)'K＝3t﹣9，在Rt△PKG'中，＝＝，∴t＝7，∴S＝15×（15﹣7）＝120.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．6．正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，連AE．(1)如圖1，連EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周長(zhǎng)；(2)如圖2，若AF＝AB，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC交CD于G，點(diǎn)H在線段FG上(不與端點(diǎn)重合)，連AH．若∠EAH＝45°，求證：EC＝HG+FC．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由正方形性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC＝AB＝4，求出AF＝3，CF＝AC﹣AF＝，求出△CEF是等腰直角三角形，得出EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF的周長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)GF交BC于M，連接AG，則△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，CG＝CF，證出BM＝DG，證明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再證明△ABE≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝AB＝4，∵4AF＝3AC＝12，∴AF＝3，∴CF＝AC﹣AF＝，∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝，∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝；（2）證明：延長(zhǎng)GF交BC于M，連接AG，如圖2所示：則△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM＝CG，CG＝CF，∴BM＝DG，∵AF＝AB，∴AF＝AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG＝DG，∴BM＝FG，∵∠BAC＝∠EAH＝45°，∴∠BAE＝∠FAH，∵FG⊥AC，∴∠AFH＝90°，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE＝FH，∵BM＝BE+EM，F(xiàn)G＝FH+HG，∴EM＝HG，∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，∴EC＝HG+FC．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CO到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對(duì)角線交點(diǎn)為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出α的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到結(jié)論；（3）分類(lèi)討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形OEFG是正方形，∴ME=GE，∵OG=2OD、OE=2OC，∴CD∥GE，CD=GE，∴CD=GE，∴四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，∵四邊形OEFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，∵將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O與△ODE′中，，∴△AG′O≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AD相交于點(diǎn)N，如圖3，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°-45°=45°；②正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AB相交于點(diǎn)N，如圖4，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO+90°=112.5°；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°+45°=135°，Ⅲ、當(dāng)AN=AO時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，綜上所述：若△AON是等腰三角形時(shí)，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，有一定的綜合性，分類(lèi)討論當(dāng)△AON是等腰三角形時(shí)，求α的度數(shù)是本題的難點(diǎn)．8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣6，0）、點(diǎn)C（0，6），若正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OA′B′C′，記旋轉(zhuǎn)角為α：（1）如圖①，當(dāng)α＝45°時(shí)，求BC與A′B′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)α＝60°時(shí)，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）若P為線段BC′的中點(diǎn)，求AP長(zhǎng)的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）當(dāng)α＝45°時(shí)，延長(zhǎng)OA′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45°，A′B＝，可求得BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)C′作x軸垂線MN，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B′作MN的垂線，垂足為N，證明△OMC′≌△C′N(xiāo)B′，可得C′N(xiāo)＝OM＝，B′N(xiāo)＝C′M＝3，即可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）連接OB，AC相交于點(diǎn)K，則K是OB的中點(diǎn)，因?yàn)镻為線段BC′的中點(diǎn)，所以PK＝OC′＝3，即點(diǎn)P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可得出AP長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四邊形OABC是邊長(zhǎng)為6的正方形，當(dāng)α＝45°時(shí)，如圖①，延長(zhǎng)OA′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∵OB＝6，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝，∴BD＝（）×，∴CD＝6﹣（）=，∴BC與A′B′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，6）；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)C′作x軸垂線MN，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B′作MN的垂線，垂足為N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N(xiāo)＝∠C′B′N(xiāo)，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′N(xiāo)B′＝90°，∴△OMC′≌△C′N(xiāo)B′（AAS），當(dāng)α＝60°時(shí)，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N(xiāo)＝OM＝，B′N(xiāo)＝C′M＝3，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為；（3）如圖③，連接OB，AC相交于點(diǎn)K，則K是OB的中點(diǎn)，∵P為線段BC′的中點(diǎn)，∴PK＝OC′＝3，∴P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AK＝3，∴AP最大值為，AP的最小值為，∴AP長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形中位線定理．（3）問(wèn)解題的關(guān)鍵是利用中位線定理得出點(diǎn)P的軌跡．9．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABC的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）12；探究：2或2．【解析】試題分析：（1）利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：畫(huà)出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過(guò)B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=2；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過(guò)C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面積是2或2．考點(diǎn)：四邊形綜合題．10．如圖，拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求AC、BE的交點(diǎn)F的坐標(biāo)（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，連結(jié)DC、DE，四邊形CDEF是否為菱形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2+x﹣；（2）F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明見(jiàn)解析【解析】【分析】將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組求得該拋物線的解析式；根據(jù)（1）題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程以及B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，由CE∥x軸，可知C、E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)。根據(jù)A、C點(diǎn)求得直線AC的解析式，根據(jù)B、E點(diǎn)求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程求得的解，即為F點(diǎn)的坐標(biāo)；由E、C、F、D的坐標(biāo)可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形．【詳解】（1）∵拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）∵y=x2+x﹣，∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，∵CE∥x軸，∴C、E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∵C（0，﹣），∴E（﹣2，﹣），∵A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴B（1，0），設(shè)直線AC、BE解析式分別為y=kx+b，y=k′x+b′，則由題意可得，，解得，，∴直線AC、BE解析式分別為y=﹣x﹣，y=x﹣，聯(lián)立兩直線解析式可得，解得，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，∴D（﹣1，﹣2），∵F（﹣1，﹣1），∴DF⊥x軸，且CE∥x軸，∴DF⊥CE，∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），∴DF和CE互相平分，∴四邊形CDEF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與二元一次方程組．11．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關(guān)系為；（2）深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中點(diǎn)，連接CN，若BC=10，CN=，試求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）NC∥AB；理由見(jiàn)解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由見(jiàn)解析；（3）；【解析】分析：（1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°從而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．（2）根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，得到BM=2，CM=8，再根據(jù)勾股定理即可得到答案．詳解：（1）NC∥AB，理由如下：∵△ABC與△MN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△ABM與△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN∥AB；（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵=1且∠ABC=∠AMN，∴△ABC～△AMN∴，∵AB=BC，∴∠BAC=（180°﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠MAN=（180°﹣∠AMN），∵∠ABC=∠AMN，∴∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，∴△ABM～△ACN，∴∠ABC=∠ACN；（3）如圖3，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN，∵，∴，∴△ABM～△ACN∴，∴=cos45°=，∴，∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，在Rt△AMC，AM=，∴EF=AM=2．點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD，交AE于點(diǎn)G，連接DG．（1）求證：四邊形DEFG為菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）．【解析】試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再證明FG=FE，即可得到四邊形DEFG為菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，從而求出的值．試題解析：（1）由折疊的性質(zhì)可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四邊形DEFG為菱形；（2）設(shè)DE=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考點(diǎn)：1．翻折變換（折疊問(wèn)題）；2．勾股定理；3．菱形的判定與性質(zhì)；4．矩形的性質(zhì)；5．綜合題．13．已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接OA并延長(zhǎng)到E，使得AE=OA，以O(shè)B，OC為鄰邊作?OBFC，連接OF與BC交于點(diǎn)H，再連接EF．（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，求證：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如圖2，若△ABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？若成立，直接寫(xiě)出結(jié)論即可；若不成立，請(qǐng)你直接寫(xiě)出你的猜想結(jié)果；（3）如圖3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，請(qǐng)你直接寫(xiě)出EF與BC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性質(zhì)和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可．試題解析：（1）連接AH，如圖1，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如圖2，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如圖3，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2-）BC2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF=BC．考點(diǎn)：四邊形綜合題．14．已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第二象限內(nèi)左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如圖1所示．（1）填空：AB=，BC=．（2）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)AC與x軸平行時(shí)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，如圖2所示，求過(guò)B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式．③在②的條件下，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中AC掃過(guò)的圖形的面積是多少？（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，點(diǎn)C′為直線AB上的一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABC掃過(guò)的圖形的面積．【答案】（1）：5；5；（2）①（0，﹣2）；②直線BD的解析式為y=﹣x+3；③S=π；（3）△ABC掃過(guò)的面積為．【解析】試題分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；（2）①因?yàn)锽（0，3），所以O(shè)B=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；②過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，證明△AOB≌△CFA，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線AC解析式，根據(jù)AC∥BD，所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析式，即可解答．③利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出A，B，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案，再利用以BC為半徑90°圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90°圓心角的扇形面積求出答案；（3）利用平移的性質(zhì)進(jìn)而得出△ABC掃過(guò)的圖形是平行四邊形的面積．試題解析：（1）∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（-4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，在Rt△AOB中，AB=，∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，∴BC=；（2）①如圖1，∵B（0，3），∴OB=3，∵AB=5，∴AO=AB-BO=5-3=2，∴A（0，-2）．當(dāng)在x軸上方時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），②如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAO+∠CAF=90°，∵∠OBA+∠BAO=90°，∴∠CAF=∠OBA，在△AOB和△CFA中，，∴△AOB≌△CFA（AAS）；∴OA=CF=4，OB=AF=3，∴OF=7，CF=4，∴C（-7，4）∵A（-4，0）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入得：，解得：，則直線AC解析式為y=x，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，∴∠ABD=90°，∵∠CAB=90°，∴∠ABD=∠CAB=90°，∴AC∥BD，∴設(shè)直線BD的解析式為y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，∴直線BD的解析式為y=x+3；③因?yàn)樾D(zhuǎn)過(guò)程中AC掃過(guò)的圖形是以BC為半徑90°圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90°圓心角的扇形面積，所以可得：S=；（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC掃過(guò)的圖形是一個(gè)平行四邊形和三角形ABC，如圖3：將C點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=x+3，求得C′的橫坐標(biāo)為，平行四邊CAA′C′的面積為（7+）×4=，三角形ABC的面積為×5×5=△ABC掃過(guò)的面積為：．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．