高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與向量不等式綜合考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與向量不等式綜合

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若函數(shù)g(x)=lnx-ax在x=1處取得極小值，則a的取值范圍是

A.(0,1)

B.[1,+∞)

C.(-∞,0)

D.(-1,0)

3.向量u=(1,k)和向量v=(2,-1)垂直，則k的值為

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

4.若函數(shù)h(x)=x^2+px+q在x=1和x=-1處取得相等的函數(shù)值，則p+q的值為

A.0

B.1

C.-1

D.2

5.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值是

A.3

B.2

C.0

D.-1

6.若函數(shù)g(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最小值是

A.-2

B.-1

C.0

D.1

7.向量a=(1,2)和向量b=(k,1)平行，則k的值為

A.1/2

B.2

C.-2

D.-1/2

8.若函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1處取得相等的函數(shù)值，且f(0)=1，則a+b的值為

A.0

B.1

C.-1

D.2

9.函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最小值是

A.-1

B.0

C.1

D.2

10.向量u=(1,k)和向量v=(k,1)垂直，則k的值為

A.1

B.-1

C.0

D.1/2

二、填空題

1.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)是

2.若函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，且f(0)=1，則a+b的值為

3.向量a=(1,2)和向量b=(3,k)平行，則k的值為

4.函數(shù)h(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值是

5.若函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1處取得相等的函數(shù)值，且f(0)=1，則a-b的值為

6.向量u=(1,k)和向量v=(2,-1)垂直，則k^2的值為

7.函數(shù)g(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最大值是

8.若函數(shù)h(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處取得極值，則1+k的值為

9.向量a=(1,2)和向量b=(k,1)垂直，則k^2-1的值為

10.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在x=1處的二階導(dǎo)數(shù)是

三、多選題

1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的可能取值為

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若函數(shù)g(x)=lnx-ax在x=1處取得極小值，則a的可能取值范圍是

A.(0,1)

B.[1,+∞)

C.(-∞,0)

D.(-1,0)

3.向量u=(1,k)和向量v=(2,-1)垂直，則k的可能值為

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

4.若函數(shù)h(x)=x^2+px+q在x=1和x=-1處取得相等的函數(shù)值，則p+q的可能值為

A.0

B.1

C.-1

D.2

5.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值可能是

A.3

B.2

C.0

D.-1

6.若函數(shù)g(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最小值可能是

A.-2

B.-1

C.0

D.1

7.向量a=(1,2)和向量b=(k,1)平行，則k的可能值為

A.1/2

B.2

C.-2

D.-1/2

8.若函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1處取得相等的函數(shù)值，且f(0)=1，則a+b的可能值為

A.0

B.1

C.-1

D.2

9.函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最小值可能是

A.-1

B.0

C.1

D.2

10.向量u=(1,k)和向量v=(k,1)垂直，則k的可能值為

A.1

B.-1

C.0

D.1/2

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在x=2處取得極值

2.若函數(shù)g(x)=lnx-ax在x=1處取得極小值，則a<1

3.向量u=(1,k)和向量v=(2,-1)垂直，則k=-1/2

4.函數(shù)h(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值是3

5.向量a=(1,2)和向量b=(3,4)平行

6.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極小值，則a>3

7.若函數(shù)g(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最小值是-2

8.向量u=(1,k)和向量v=(k,1)垂直，則k^2=1

9.函數(shù)h(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處取得極大值

10.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)是-1

五、問答題

1.討論函數(shù)f(x)=x^3-ax+1的單調(diào)性和極值點

2.已知向量a=(1,2)和向量b=(3,k)平行，求k的值并證明

3.函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值，并說明理由

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則f'(1)=0。f'(x)=3x^2-a，f'(1)=3-a=0，解得a=3。

2.A

解析：函數(shù)g(x)=lnx-ax在x=1處取得極小值，則g'(1)=0。g'(x)=1/x-a，g'(1)=1-a=0，解得a=1。又因為g''(x)=-1/x^2<0，所以x=1處為極小值點，a>0，故a∈(0,1)。

3.B

解析：向量u=(1,k)和向量v=(2,-1)垂直，則u·v=0。1×2+k×(-1)=0，解得k=2。

4.A

解析：函數(shù)h(x)=x^2+px+q在x=1和x=-1處取得相等的函數(shù)值，則h(1)=h(-1)。1+p+q=1-p+q，解得p=0。所以p+q=0。

5.A

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=2，f(2)=8-12+2=-2，f(3)=27-27+2=2。所以最大值為3。

6.B

解析：g'(x)=3x^2-3。令g'(x)=0，解得x=-1或x=1。g(-2)=-8-6+2=-12，g(-1)=-1-3+2=-2，g(0)=2，g(1)=1-3+2=0，g(2)=8-12+2=-2。所以最小值為-2。

7.B

解析：向量a=(1,2)和向量b=(k,1)平行，則存在λ使得b=λa，即(k,1)=(λ,2λ)。解得k=2λ，1=2λ，λ=1/2，所以k=2。

8.A

解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1處取得相等的函數(shù)值，則f(1)=f(-1)。1-a+b=-1-a-b，解得b=0。又f(0)=1，所以a+b=a=1。

9.C

解析：g'(x)=3x^2-6x+2。令g'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。g(-1)=-1-3+2=-2，g(0)=2，g(1)=1-3+2=0，g(3)=27-27+2=2。所以最小值為0。

10.D

解析：向量u=(1,k)和向量v=(2,-1)垂直，則u·v=0。1×2+k×(-1)=0，解得k=1/2。k^2=(1/2)^2=1/4。

二、填空題答案及解析

1.-3

解析：f'(x)=3x^2-6x。f'(1)=3×1^2-6×1=3-6=-3。

2.1

解析：g'(x)=3x^2-2ax+b。令g'(1)=0，解得3-2a+b=0。又f(0)=1，即q=1。由對稱性，x=-1也為極值點，g'(-1)=3+2a+b=0。聯(lián)立解得a=3，b=-3。所以a+b=0。

3.6

解析：向量a=(1,2)和向量b=(3,k)平行，則存在λ使得b=λa，即(3,k)=(λ,2λ)。解得3=λ，k=2λ，所以k=2×3=6。

4.3

解析：見選擇題第5題解析。

5.-2

解析：見選擇題第8題解析，a=1，b=0。所以a-b=1-0=1。

6.1/4

解析：見選擇題第3題解析，k=1/2。所以k^2=(1/2)^2=1/4。

7.2

解析：見選擇題第6題解析。

8.3

解析：見選擇題第4題解析，p=0。函數(shù)h(x)=x^3-3x^2+2x。h'(x)=3x^2-6x+2。令h'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。h(1)=0，h(1+√(1/3))=(1+√(1/3))^3-3(1+√(1/3))^2+2(1+√(1/3))=1+3√(1/3)+3(1/3)+√(1/27)-3(1+2√(1/3)+1/3)+2+2√(1/3)=3-2√(1/3)-2/3+√(1/27)>0。h(1-√(1/3))<0。所以極大值在x=1+√(1/3)處，為3。又h(-1)=-1-3+2=-2，h(0)=0，h(2)=8-12+4=0。最大值為3。所以1+k=3，k=2。

9.0

解析：見選擇題第7題解析，k=2。向量a=(1,2)和向量b=(2,1)垂直，則a·b=0。1×2+2×1=4≠0。這里k^2-1=2^2-1=4-1=3。此處參考答案有誤，正確計算應(yīng)為k^2-1=4-1=3。如果題目要求的是垂直，則k=-1/2，k^2-1=(1/4)-1=-3/4。如果題目要求的是平行，則k=2，k^2-1=4-1=3。題目本身表述不清，按平行計算，k=2，k^2-1=3。如果按垂直，則k=-1/2，k^2-1=-3/4。假設(shè)題目本意是平行，則答案為3。如果題目本意是垂直，則答案為-3/4。由于無法確定題目本意，這里提供兩種可能的答案計算過程和結(jié)果?？紤]到選擇題通常有唯一正確答案，且平行時k=2是選擇題中給出的選項，此處按平行計算，答案為3。

10.-2

解析：f'(x)=3x^2-6x。f''(x)=6x-6。f''(1)=6×1-6=0。

三、多選題答案及解析

1.A,C,D

解析：見選擇題第1題解析，a=3或a=-2。所以可能取值為3,-2。

2.A,C

解析：見選擇題第2題解析，a∈(0,1)或a∈(-∞,0)。

3.A,B

解析：見選擇題第3題解析，k=-2或k=2。

4.A,C

解析：見選擇題第4題解析，p+q=0或p+q=-2。

5.A,B,C

解析：見選擇題第5題解析，最大值為3或2或0。

6.A,B,C

解析：見選擇題第6題解析，最小值為-2或-1或0。

7.B,D

解析：見選擇題第7題解析，k=2或k=-1/2。

8.A,B,C,D

解析：見選擇題第8題解析，a+b=0或a+b=1或a+b=-1或a+b=2。

9.A,B,C

解析：見選擇題第9題解析，最小值為-1或0或1。

10.A,B,D

解析：見選擇題第10題解析，k=1或k=-1或k=1/2。

四、判斷題答案及解析

1.錯誤

解析：f'(x)=3x^2-6x。f'(2)=3×4-6×2=12-12=0。但f''(2)=6×2-6=12-6=6>0，所以x=2處取得極小值，不是極大值。

2.錯誤

解析：見選擇題第2題解析，a∈(0,1)或a∈(-∞,0)。

3.正確

解析：見選擇題第3題解析，k=-1/2。

4.正確

解析：見選擇題第4題解析，p+q=0。

5.錯誤

解析：向量a=(1,2)和向量b=(3,4)不平行，因為不存在λ使得(3,4)=λ(1,2)，即3=λ且4=2λ，解得λ=3/2，矛盾。

6.錯誤

解析：見選擇題第1題解析，a=3或a=-2。只有a>3時才取得極小值，a=3時取得極大值，a=-2時取得極大值。

7.正確

解析：見選擇題第6題解析，最小值為-2。

8.錯誤

解析：見選擇題第10題解析，k^2=1/4。

9.錯誤

解析：見選擇題第8題解析，h'(x)=3x^2-6x+2。令h'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。h(1)=0。x=1處為極小值點。

10.錯誤

解析：f'(x)=3x^2-6x。f'(1)=3×1^2-6×1=3-6=-3。

五、問答題答案及解析

1.解析：f(x)=x^3-ax+1。f'(x)=3x^2-a。令f'(x)=0，解得x=±√(a/3)（a≠0）。當(dāng)a≤0時，f'(x)≥0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值點。當(dāng)a>0時，f'(x)在(-∞,-√(a/3))和(√(a/3),+∞)上為正，在(-√(a/3),√(a/3))上為負(fù)。所以函數(shù)在(-∞,-√(a/3))上單調(diào)遞增，在(-√(a/3),√(a/3))上單調(diào)遞減，在(√(a/3),+∞)上單調(diào)遞增。x=-√(a/3)處取得極大值f(-√(a/3))=(-√(a/