2024-2025學(xué)年度江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院?jiǎn)握小稊?shù)學(xué)》試卷及答案詳解考生須知：本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置。所有答案均需寫(xiě)在答題卡指定區(qū)域，寫(xiě)在試卷上無(wú)效?？墒褂每茖W(xué)計(jì)算器，嚴(yán)禁使用通訊工具及其他違規(guī)物品。一、判斷題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。函數(shù)\(y=2x+1\)是正比例函數(shù)。若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)（\(c\)為實(shí)數(shù)）。終邊在x軸正半軸上的角的集合是\(\{\alpha|\alpha=2k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\)。等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，公差\(d=1\)，則\(a_5=6\)。向量\(\vec{a}=(1,2)\)與\(\vec=(2,4)\)是共線向量。過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為3的直線方程是\(y-2=3(x-1)\)。球的表面積公式為\(S=4\piR^2\)（\(R\)為球的半徑）。二、選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）

A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\emptyset\)

函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-2}\)的定義域是（）

A.\((-\infty,2)\)B.\((-\infty,2]\)C.\((2,+\infty)\)D.\([2,+\infty)\)

解不等式\(x^2-3x+2\lt0\)，其解集為（）

A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2]\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)

已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為銳角，則\(\cos\alpha=\)（）

A.\(\frac{2}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(-\frac{2}{5}\)D.\(-\frac{4}{5}\)

已知直線\(l_1:y=2x+1\)與直線\(l_2:y=kx+3\)平行，則\(k=\)（）

A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計(jì)算：\(2^{-1}+\log_28=\)________。等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=3\)，\(a_4=7\)，則前5項(xiàng)和\(S_5=\)________。已知向量\(\vec{a}=(3,-1)\)，\(\vec=(1,2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=\)________。圓柱的底面半徑為2，高為3，則該圓柱的體積為_(kāi)_______（結(jié)果保留\(\pi\)）。四、解答題（本大題共2小題，第35題7分，第36題8分，共15分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）已知二次函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)，求：

（1）函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）函數(shù)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值和最小值。

如圖，在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=4\)，\(AD=3\)，\(AA_1=5\)。

（1）求長(zhǎng)方體的表面積；

（2）求異面直線\(AB\)與\(A_1D_1\)所成的角；

（3）求三棱錐\(A_1-ABC\)的體積。

參考答案及詳解一、判斷題（每小題5分，共40分）√詳解：空集的性質(zhì)為“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，該表述符合定義?！猎斀猓赫壤瘮?shù)的定義是\(y=kx\)（\(k\neq0\)），而\(y=2x+1\)是一次函數(shù)（斜截式\(y=kx+b\)，\(b\neq0\)），并非正比例函數(shù)?！猎斀猓寒?dāng)\(c=0\)時(shí)，\(c^2=0\)，此時(shí)\(ac^2=bc^2=0\)，不等式不成立；僅當(dāng)\(c\neq0\)時(shí)，\(ac^2\gtbc^2\)才成立，題干未限定\(c\neq0\)，故表述錯(cuò)誤?！淘斀猓航K邊在x軸正半軸上的角，其角度可表示為\(0^\circ,360^\circ,720^\circ,\dots\)，弧度制下即為\(2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），表述正確?！淘斀猓旱炔顢?shù)列通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入\(a_1=2\)，\(d=1\)，\(n=5\)，得\(a_5=2+4\times1=6\)，計(jì)算正確?！淘斀猓喝舸嬖趯?shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\vec=\lambda\vec{a}\)，則兩向量共線。此處\(\vec=2\vec{a}\)（\(2=2\times1\)，\(4=2\times2\)），故\(\lambda=2\)，兩向量共線。√詳解：直線的點(diǎn)斜式方程為\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），代入點(diǎn)\((1,2)\)、斜率3，方程為\(y-2=3(x-1)\)，表述正確?！淘斀猓呵虻谋砻娣e公式為\(S=4\piR^2\)，體積公式為\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)，題干表述為表面積公式，正確。二、選擇題（每小題5分，共25分）B詳解：交集是兩集合共有的元素組成的集合，\(A=\{1,2,3\}\)與\(B=\{2,3,4\}\)的共有元素為2、3，故\(A\capB=\{2,3\}\)。D詳解：二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，即\(x-2\geq0\)，解得\(x\geq2\)，故定義域?yàn)閈([2,+\infty)\)。A詳解：先因式分解不等式左邊：\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)。二次函數(shù)\(y=(x-1)(x-2)\)開(kāi)口向上，不等式\(y\lt0\)對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像在x軸下方的部分，即1<x<2，解集為\((1,2)\)。B詳解：銳角的三角函數(shù)值均為正，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，得\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)。A詳解：兩直線平行的條件是斜率相等（斜截式中\(zhòng)(k_1=k_2\)，且截距\(b_1\neqb_2\)）。\(l_1\)斜率為2，\(l_2\)斜率為k，故\(k=2\)（且\(1\neq3\)，滿足平行條件）。三、填空題（每小題5分，共20分）\(\frac{7}{2}\)（或3.5）詳解：\(2^{-1}=\frac{1}{2}\)，\(\log_28=3\)（因?yàn)閈(2^3=8\)），故\(2^{-1}+\log_28=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}\)。25詳解：方法一：先求公差\(d=\frac{a_4-a_2}{4-2}=\frac{7-3}{2}=2\)，則\(a_1=a_2-d=3-2=1\)，\(a_5=a_4+d=7+2=9\)；等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，代入\(n=5\)，得\(S_5=\frac{5(1+9)}{2}=25\)。方法二：等差數(shù)列中\(zhòng)(a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3\)，故\(S_5=5a_3\)，又\(a_3=\frac{a_2+a_4}{2}=5\)，則\(S_5=5\times5=25\)。1詳解：向量點(diǎn)積公式為\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)，代入\(x_1=3\)，\(y_1=-1\)，\(x_2=1\)，\(y_2=2\)，得\(3\times1+(-1)\times2=3-2=1\)。12π詳解：圓柱體積公式為\(V=S_h\timesh=\pir^2h\)（\(S_h\)為底面積），代入\(r=2\)，\(h=3\)，得\(V=\pi\times2^2\times3=12\pi\)。四、解答題（第35題7分，第36題8分，共15分）詳解：

（1）求頂點(diǎn)坐標(biāo)：二次函數(shù)頂點(diǎn)式為\(y=a(x-h)^2+k\)（頂點(diǎn)坐標(biāo)\((h,k)\)），對(duì)\(f(x)=x^2-4x+3\)配方：

\(f(x)=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1\)，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-1)\)。（2分）

（2）求單調(diào)遞增區(qū)間：二次函數(shù)\(a=1\gt0\)，圖像開(kāi)口向上，單調(diào)遞增區(qū)間為頂點(diǎn)右側(cè)，即\([2,+\infty)\)。（2分）

（3）求區(qū)間\([0,3]\)上的最值：

-最小值：由（1）知頂點(diǎn)\((2,-1)\)在區(qū)間\([0,3]\)內(nèi)，開(kāi)口向上，故最小值為\(f(2)=-1\)。（1分）

-最大值：計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值：\(f(0)=0^2-4\times0+3=3\)，\(f(3)=3^2-4\times3+3=9-12+3=0\)。對(duì)比得最大值為\(f(0)=3\)。（2分）

詳解：

（1）求長(zhǎng)方體表面積：長(zhǎng)方體表面積公式\(S=2(ab+bc+ac)\)（\(a,b,c\)為長(zhǎng)寬高），代入\(AB=4\)（\(a=4\)），\(AD=3\)（\(b=3\)），\(AA_1=5\)（\(c=5\)），得：

\(S=2(4\times3+3\times5+4\times5)=2(12+15+20)=2\times47=94\)。（2分）

（2）求異面直線\(AB\)與\(A_1D_1\)所成的角：

長(zhǎng)方體中\(zhòng)(A_1D_1\parallelAD\)（相對(duì)棱平行），故異面直線\(AB\)與\(A_1D_1\)所成的角等于\(AB\)與\(AD\)所成的角。（2分）

又長(zhǎng)方體中\(zhòng)(AB\perpAD\)，故夾角為\(90^\circ\)。（1分）

（3）求三棱錐\(A_1-ABC\)的體積：

三棱錐體積公式\(V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}\timesh\)，以\(\triangleABC\)為底面，\(AA_1\)為高。（2分）

\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\timesAB\timesAD=\frac{1}{2}\times4\times3=6\)，高\(yùn)(