常系數(shù)非齊次線性微分方程第八節(jié)

第七章二階常系數(shù)非齊次線性微分方程復(fù)習(xí):特征方程:二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解求法:二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解一.二.非齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解對應(yīng)齊次方程三.求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的步驟(1)、求對應(yīng)的齊次方程的通解(2)、求非齊次方程的特解(3)、寫出非齊次方程的通解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解通解求法四.求非齊次方程特解的方法—待定系數(shù)法根據(jù)

f(x)的特殊形式,給出特解y*的待定形式,代入原方程，比較兩端表達(dá)式，確定待定系數(shù).

為實數(shù),為m

次多項式.五.一次多項式：二次多項式：三次多項式：

零次多項式：……

為實數(shù),為m

次多項式.

五.

()()代入原方程,得

m次的多項式(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解，形式為R

(x)為

m次待定系數(shù)多項式—可以求得比較兩端x同次冪的系數(shù)

(2)若是特征方程的單根

從而得到特解，形式為可以求得比較兩端x同次冪的系數(shù)

(3)若是特征方程的重根,從而得到特解，形式為可以求得比較兩端x同次冪的系數(shù)

代入方程即可確定系數(shù)：從而確定特解.特解的形式為求特解的過程λ是0重特征根λ是1重特征根λ是2重特征根

解:

本題λ而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為解:對應(yīng)的齊次方程的特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為本題λ=2,求通解1.（觀察法）六.（一）變形f（x）（二）分解原方程，求新方程的特解（三）由疊加原理得解歐拉公式k=01例3.

的一個特解

.解:本題

特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解,,代入原方程原方程的一個特解為求通解可設(shè)通解為1.

設(shè)特解為P361.4求通解代入，比較系數(shù)，得代入，比較系數(shù)，得課后練習(xí)習(xí)題7-81.(1)(2)(3)(4)(6)(7)2.(2)(3)(4)(5)作業(yè)：習(xí)題7-81.（6）（7）；2.（2）總習(xí)題七：1,2,3,4:(1)(2)(3)(5)5:(2),6一、一階微分方程求解二、可降階微分方程的解法三.二階常系數(shù)線性微分方程復(fù)習(xí)-微分方程微分方程預(yù)備知識—相關(guān)概念○微分方程定義：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.○微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).○微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).○微分方程的通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.○微分方程的特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.微分方程預(yù)備知識—相關(guān)概念○線性微分方程的特征未知函數(shù)及它的各階導(dǎo)數(shù)為一次(冪)，各項系數(shù)為自變量的已知函數(shù)☆二階齊次線性方程解的疊加原理☆二階齊次線性方程通解的生成方法☆非齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解三個標(biāo)準(zhǔn)類型可分離變量方程齊次方程線性方程可分離變量方程齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式二、可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令求解二階常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化三.二階常系數(shù)線性微分方程小結(jié):特征方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法k(=0,1,2)是

做為特征根的重數(shù),設(shè)特解為6.已知某曲線經(jīng)過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:設(shè)曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線在縱總復(fù)習(xí)題七1.2.3.6.A1110補(bǔ)例1.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.