5.1定積分的概念及性質(zhì)矩形面積梯形面積由連續(xù)曲線

所圍成的圖形稱為曲邊梯形.

1.曲邊梯形的面積一、定積分問題舉例

底×高觀察與思考

在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形,

怎樣求曲邊梯形的面積？當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí),小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?1)分割在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)

將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取

解決過程：2)近似替代3)求和4)取極限令則曲邊梯形面積

…大化小常代變近似和取極限

2變速直線運(yùn)動(dòng)的距離.勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程:速度是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)分析:變速直線運(yùn)動(dòng)：..內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程s在時(shí)間間隔?則得第i

個(gè)小區(qū)間上物體經(jīng)過的路程為1)分割：2)近似替代：3)求和.4)取極限.解決過程：

…

大化小常代變近似和取極限上述兩個(gè)問題的共性:

解決問題的思想方法步驟相同:“分割，近似替代，求和,取極限.”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限曲邊梯形的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的距離分，勻，和，精大化小，常代變，近似和，取極限分勻和精1.定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn).把[a,b]分成n

個(gè)小區(qū)間.在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任意取一點(diǎn)

i

，作乘積并作和二、定積分的定義記如果不論對(duì)[a,b]怎樣劃分，也不論在小區(qū)間[xi-1,xi]上點(diǎn)

i

怎樣選取，和S總趨于確定的極限I，那么稱這個(gè)極限I

為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，只要當(dāng)

0時(shí)，I=分割求和

取極限積分上限積分下限積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),積分變量可以任意更改定積分是一個(gè)極限值,注：

函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分存在，則稱f(x)在[a,b]上可積

被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量?jī)蓚€(gè)任意性：①分割區(qū)間[a,b]的任意性.對(duì)積分區(qū)間可以進(jìn)行特殊劃分

可以取小區(qū)間上的特殊點(diǎn).==2.可積的條件設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.簡(jiǎn)單地說就是：連續(xù)一定可積.定理1中的連續(xù)這一條件可以減弱，這就是下面的定理。設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理1

定理2

速度是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),變速直線運(yùn)動(dòng)：內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程在時(shí)間間隔

由連續(xù)曲線

所圍成的曲邊梯形的面積

速度的定積分是路程定積分的物理意義3.定積分的幾何意義定積分表示定積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值等于x

軸上方部分的曲邊梯形面積減去x

軸下方部分的曲邊梯形面積.曲邊梯形的面積x=a,x=b,y=0,y=f(x)圍成的3.定積分的幾何意義例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為取則四、定積分的性質(zhì)補(bǔ)充規(guī)定：(1)

當(dāng)a=b

時(shí)，(2)

當(dāng)a>b

時(shí)，三、定積分的近似計(jì)算（選學(xué)）定積分加負(fù)號(hào)等價(jià)于積分區(qū)間倒置性質(zhì)1（線性性質(zhì)）證明性質(zhì)1推論1：函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)。（線性性質(zhì)）推論2：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分符號(hào)外。證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是(定積分的區(qū)間可加性)性質(zhì)2當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如性質(zhì)3證因f(x)≡1，所以(區(qū)間長(zhǎng)度的可度量性)

推論

所以(保號(hào)性)性質(zhì)4若在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0，則∵∴又∵∴證性質(zhì)4若在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0，則推論1如果在區(qū)間[a，b]上，則證

由性質(zhì)1，有(保序性)

(單調(diào)性)(保號(hào)性)性質(zhì)4若在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0，則推論1如果在區(qū)間[a，b]上，則(保序性)

(單調(diào)性)(保號(hào)性)證:即推論2.絕對(duì)值不等式的積分形式證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)5(估值定理)證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)6積分中值公式使即(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式(定積分中值定理)曲邊梯形的面積=某矩形的面積

積分中值公式的幾何解釋：性質(zhì)6積分中值公式(定積分中值定理)

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對(duì)因說明:內(nèi)容小結(jié)1.定積分的