河北省灤南縣2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正四面體的底面的中心為為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形3．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.94．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.35．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.106．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.147．若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為（）A. B.C. D.8．、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.49．已知，則點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.10．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.3211．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，按項(xiàng)的變化趨勢，該數(shù)列是（）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列12．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________14．已知5件產(chǎn)品中有2件次品、3件合格品，從這5件產(chǎn)品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______.15．若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_____（請(qǐng)?zhí)钏姓_命題的序號(hào)）16．已知向量，，，若，則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線.（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與圓相切；（2）當(dāng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.18．（12分）在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為上一點(diǎn)，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B是橢圓C的上，下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E，直線PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F．證明：直線EF過定點(diǎn)21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且橢圓C過點(diǎn)（﹣）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】連接，再取中點(diǎn)，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為VC，中點(diǎn)，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.2、B【解析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀【詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對(duì)邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：D4、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故選：C5、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】因?yàn)?，則由組合數(shù)性質(zhì)有，即，所以n的值為10.故選：D6、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，化簡求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切，所以.故選：D8、A【解析】延長交延長線于N,則選:A.【點(diǎn)睛】涉及兩焦點(diǎn)問題，往往利用橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點(diǎn)為橢圓定義.9、C【解析】根據(jù)對(duì)稱性求得坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C10、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C11、B【解析】分析的單調(diào)性，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，顯然隨著的增大，是遞增的，故是遞減的，則數(shù)列是遞減數(shù)列.故選：B.12、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：14、##【解析】列舉總的基本事件及滿足題目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)5件產(chǎn)品中的次品為，合格品為，則從這5件產(chǎn)品中任取2件，有共10個(gè)基本事件，其中2件都是合格品的有共3個(gè)基本事件，故2件都是合格品的概率為故答案為：.15、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，檢驗(yàn)在x∈（，0）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可判斷；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對(duì)；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對(duì)，③錯(cuò)；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點(diǎn)，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當(dāng)x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時(shí)直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當(dāng)x時(shí)，G′（x）＝0，當(dāng)0＜x時(shí)，G′（x）＜0，當(dāng)x時(shí)，G′（x）＞0，則當(dāng)x時(shí)，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.16、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，，所以向量，因?yàn)椋?，即，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）將圓的方程表示為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)與半徑，利用圓心到直線的距離可求得實(shí)數(shù)的值；（2）求出圓心到直線的距離，利用、、三者滿足勾股定理可求得的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】將圓C的方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此圓的圓心為，半徑為.（1）若直線與圓相切，則有，解得；（2）圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，可得，整理得，解得或，故所求直線方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.詳解】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）可得，即.利用累加法得【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關(guān)系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因?yàn)榈酌?，底面，?因?yàn)?，底面，底面，底面，底面，所以面?（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，設(shè)平面的法向量為，則，，取，所以，所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點(diǎn).法二：首先根據(jù)時(shí)直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點(diǎn)M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】法一：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點(diǎn)綜上，直線EF過定點(diǎn)法二：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點(diǎn)M，則M必在y軸上，可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，設(shè)，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，解得，即所以直線EF過定點(diǎn)21、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次