6.2.1向量的加法運(yùn)算

6.2.2向量的減法運(yùn)算6.2平面向量的運(yùn)算1|向量的加法及其幾何意義知識點(diǎn)必備知識清單破1.向量加法的運(yùn)算法則圖示幾何意義前提條件向量加法的運(yùn)算法則三角形法則

已知非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作

=a,

=b,則向量

叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=

+

=

一個向量的終點(diǎn)為另一個向量的起點(diǎn)(首尾相連)平行四邊形法則

以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a,b,以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB,則

就是向量a與b的和兩向量不共線且起點(diǎn)相同知識拓展

向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則,多個向量首尾相

連,則由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的向量就是這些向量的和向量.如:

+

+

+…+

=

.特別地,起點(diǎn)、終點(diǎn)順次相接圍成一周的所有向量的和為0,如:

+

+

+

+

=0.2.向量加法的有關(guān)性質(zhì)(1)|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時等號成立.(2)向量加法的運(yùn)算律:①交換律:a+b=b+a,對于零向量與任意向量a,我們規(guī)定a+0=0+a=a.②結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c.2|向量的減法及其幾何意義知識點(diǎn)1.相反向量定義與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,記作-a性質(zhì)①-(-a)=a,a+(-a)=(-a)+a=0;②如果a與b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0;③零向量的相反向量仍是零向量2.向量的減法向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即a-b=a+(-b).求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減

法.3.向量減法的三角形法則如圖,已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作

=a,

=b,則

=a-b.

幾何意義:a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.1.任意兩個向量相加都能用平行四邊形法則嗎?知識辨析2.互為相反向量的兩個向量一定是共線向量嗎?3.向量方向相反和互為相反向量表達(dá)的意思相同嗎?1.不是.向量加法的平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量.一語破的2.一定是.3.不相同.前者只考慮方向相反,不考慮向量的模,后者不僅方向相反,而且模也要相等.1|向量的加、減法及其應(yīng)用定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.向量的加法(1)當(dāng)兩個不共線的向量求和時,三角形法則和平行四邊形法則都可以用.(2)利用向量的三角形法則求a+b時,務(wù)必使它們的“首尾順次連接”;利用平行四邊形法則求

a+b時,務(wù)必使它們的起點(diǎn)重合.2.向量的減法(1)可以通過相反向量,將向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法.(2)向量減法的三角形法則強(qiáng)調(diào)兩個向量共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減向量.3.用已知向量表示其他向量(1)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的向量之間的關(guān)系,明

確已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化方式.(2)注意綜合應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來分析解決問

題.(3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則.典例如圖,在△ABC中,D,E分別為邊AC,BC上的任意一點(diǎn),O為AE,BD的交點(diǎn),已知

=a,

=b,

=c,

=e,用a,b,c,e表示向量

,

,

,

.

解析

在△OBE中,

=

+

=e-c,在△ABO中,

=

+

=e-c-a,在△ABD中,

=

+

=a+b,在△OAD中,

=

+

=e-c-a+a+b=e-c+b.作

=a,

=b.(1)當(dāng)向量a,b不共線時,a+b=

,如圖1所示.根據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.(2)當(dāng)a與b同向共線或a,b中至少有一個為零向量時,如圖2所示,此時|a+b|=|a|+|b|.(3)當(dāng)a與b反向共線或a,b中至少有一個為零向量時,不妨設(shè)|a|≥|b|,如圖3所示,此時|a+b|=|a|-|b|.故對于任意向量a,b,總有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|①.由于|a-b|=|a+(-b)|,所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|,即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|②.將①②兩式結(jié)合,可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,我們稱之為向量的三角不等式.2|向量的三角不等式定點(diǎn)典例設(shè)|

|=2,|

-

|=1,求|

|的最大值和最小值.解析

|

|=|

+(

-

)|≤|

|+|

-

|=3,當(dāng)