1.一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是復(fù)數(shù)z的

模;θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊,向量

所在射線(xiàn)(射線(xiàn)OZ)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式.為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái),A+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)形式.2.規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值.通常記作argz,即0≤argz<2π.7.3*復(fù)數(shù)的三角表示1|復(fù)數(shù)的三角形式知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];

=

=

[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0).2|復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示知識(shí)點(diǎn)1.復(fù)數(shù)乘法的幾何意義如圖①,復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別為

,

,把向量

繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0,就要把

繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|),再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍,得到向量

,

表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.

3|復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義知識(shí)點(diǎn)2.復(fù)數(shù)除法的幾何意義如圖②,復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別為

,

,把向量

繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0,就要把

繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|),再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的

,得到向量

,

表示的復(fù)數(shù)就是商

.

1.復(fù)數(shù)的輻角θ∈[0,2π]嗎?2.每一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一確定的輻角主值嗎?3.復(fù)數(shù)z=2沒(méi)有三角形式,對(duì)嗎?4.如何判斷兩個(gè)三角形式的復(fù)數(shù)是否相等?知識(shí)辨析

1.不是.復(fù)數(shù)的輻角θ∈R,輻角的主值的范圍是[0,2π),它們相差2kπ,k∈Z.2.不一定.復(fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)著零向量,而零向量的方向是任意的,所以復(fù)數(shù)0的輻角主值有無(wú)數(shù)個(gè),除0

以外的復(fù)數(shù),都有唯一確定的輻角主值.3.不對(duì).復(fù)數(shù)z=2的三角形式可以為z=2×(cos0+isin0).4.兩個(gè)三角形式的復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的模與輻角的主值分別相等.一語(yǔ)破的1.代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)轉(zhuǎn)化為三角形式z=r(cosθ+isinθ)的口訣:模非負(fù)(r≥0),角相同(θ前后一

致,可任意值),余弦前(cos在前,sin在后),加號(hào)連.(2)步驟:先求復(fù)數(shù)的模,然后根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限確定復(fù)數(shù)的輻角的主值,最后寫(xiě)出復(fù)數(shù)的三角

形式.2.三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式求出三角形式中的三角函數(shù)值,使之與模相乘并化簡(jiǎn)即可.1|復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破將復(fù)數(shù)z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)表示成三角形式,并指出其模與輻角的主值.典例

解析

z=1+cosθ+isinθ=1+

+2i·sin

·cos

=2cos

.∵π<θ<2π,∴

<

<π,∴cos

<0,∴z=2cos

=-2cos

=-2cos

,∵

<

<π,∴

<π+

<2π,∴argz=π+

.故復(fù)數(shù)z的三角形式為z=-2cos

·

cos

+isin

,模是-2cos

,輻角的主值是π+

.易錯(cuò)警示

本題易忽視角θ的范圍以及2cos

的正負(fù),因此一定要判斷是否滿(mǎn)足三角形式的要求:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連,四個(gè)要求缺一不可.1.兩個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式的乘法法則可簡(jiǎn)記為“模相乘,輻角相加”,并且可以推廣如下:(1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘,結(jié)論亦成立.即若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),……,zn=rn(cosθn+

isinθn),則z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)當(dāng)z1=z2=…=zn=r(cosθ+isinθ)時(shí),[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),這就是復(fù)數(shù)三角形式的

乘方法則,即“模乘方,輻角n倍”.2.兩個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式的除法法則可簡(jiǎn)記為“模相除,輻角相減”.2|三角形式下的復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算定點(diǎn)已知z1=

(1-

i),z2=sin

-icos

,求z1z2和

.典例

解析

∵z1=

(1-

i)=cos

+isin

,z2=sin

-icos

=cos

+isin

,∴z1z2=cos

+isin

=-i,

=cos

+isin

=

-

i.素養(yǎng)解讀復(fù)數(shù)是中學(xué)課程中數(shù)的概念的最后一次擴(kuò)充,復(fù)數(shù)涉及面廣、知識(shí)跨度大,它與代數(shù)、

幾何、三角函數(shù)等有著密切的聯(lián)系.高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查基本圍繞復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)代數(shù)形式

(a+bi,a,b∈R)的四則運(yùn)算.與復(fù)數(shù)概念有關(guān)的問(wèn)題通常是根據(jù)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足的條件求參數(shù)的值(范圍).解決問(wèn)題時(shí),需要

根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列出復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部滿(mǎn)足的條件,建立關(guān)系式求解.與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題通常會(huì)和復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)相結(jié)合,解決問(wèn)題時(shí),需靈

活運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及性質(zhì)運(yùn)算.|在復(fù)數(shù)的概念和四則運(yùn)算中發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)情景破已知復(fù)數(shù)z1=(i-a)2,z2=4-3i,其中a是實(shí)數(shù).(1)若z1=iz2,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若

是純虛數(shù),a是正實(shí)數(shù),求

+

+

+

+…+

的值.典例呈現(xiàn)例題解題思路

(1)利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件求解.因?yàn)閦1=(i-a)2,z2=4-3i,z1=iz2,所以(i-a)2=i(4-3i),即a2-1-2ai=3+4i,由復(fù)數(shù)相等的充要條件得

解得a=-2,所以實(shí)數(shù)a的值為-2.(2)利用

為純虛數(shù)求出a,從而得

的值,然后通過(guò)in(n∈N)的周期性進(jìn)行求解.依題意得

=

=

===.

因?yàn)?/p>

是純虛數(shù),所以

所以a=-2或a=

,又因?yàn)閍是正實(shí)數(shù),所以a=

.當(dāng)a=

時(shí),z1=

=-

-i,所以

=

=-i,因?yàn)閕1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1(n∈N),所以

+

+

+

+…+

=(-i)+(-i)2+(-i)3+(-i)4+…+(-i)1003=(-i-1+i+1)+[(-i)5+(-i)6+(-i)7+(-i)8]+…+[(-i)1001+(-i)1002+(-i)