1.定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.2.畫法:為了表示異面直線不共面的特點,作圖時,通常用一個或兩個平面襯托,如圖8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系1|異面直線知識點必備知識清單破2|空間中直線與直線的位置關系知識點3|空間中直線與平面的位置關系知識點空間中兩平面有平行和相交兩種位置關系,如圖.

α∥β

α∩β=l4|空間中平面與平面的位置關系知識點

1.分別在兩個平面內(nèi)的直線一定是異面直線嗎?2.過平面外一點A與平面內(nèi)一點B的直線,與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線,對嗎?3.直線l在平面α外,則l與α無公共點,對嗎?4.若直線l上有無數(shù)個點都在平面α外,則直線l與平面α的位置關系是什么?5.若a?α,則平面α內(nèi)的直線與直線a是什么關系?若直線a與平面α相交呢?若a∥α呢?6.若α∥β,則其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面是什么關系?其中一個平面內(nèi)的任意一條

直線與另一個平面內(nèi)的直線是什么關系?知識辨析

1.不一定.可能存在一個平面使這兩條直線共面.2.不對.直線AB與平面內(nèi)不過點B的任意一條直線均構(gòu)成異面直線,若平面內(nèi)的直線過點B,則

兩條直線是相交的.3.不對.直線l在平面α外包含兩種情況:l與α平行;l與α相交.若l與α相交,則l與α有唯一的公共點.4.相交或平行.5.平行或相交;相交或異面;平行或異面.6.平行;平行或異面.一語破的1.對異面直線定義的理解(1)不能把異面直線誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線,如圖①,雖然a?α,b?β,即a,b分別

在兩個不同的平面內(nèi),但是a∩b=O,所以a與b不是異面直線.

圖①圖②1|異面直線的證明定點關鍵能力定點破(2)異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.注意異面直線定義中“任何”兩字,它指

空間中的所有平面,因此異面直線也可以理解為在空間中找不到一個平面,使其同時經(jīng)過a,b

兩條直線.如圖②所示的長方體ABCD-A'B'C'D'中,棱AB和B'C'所在的直線既不平行也不相交,找不到一個平面同時經(jīng)過這兩條棱所在的直線.2.異面直線的證明方法(1)直接法:過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線,和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.

用符號語言可表示為A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線(如圖).

(2)反證法:先假設兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,再推出矛盾否定假設,即得

兩直線異面.已知點A是△BCD所在平面外一點,E,F分別是BC,AD的中點,試證明EF與BD是異面直線.

典例

證明

證法一(直接法):設△BCD所在的平面為平面α,∵F?α,E∈α,∴EF∩α=E,又∵BD?α,E?BD,∴BD與EF是異面直線.證法二(反證法):假設EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,所以DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內(nèi),這與A是△BCD所在平面外一點相矛盾,故EF與BD是異面直線.判斷空間中直線、平面的位置關系,一般先作出幾何圖形,直觀判斷,然后依據(jù)基本事實

或推論給出嚴格推理.另外,借助模型(如長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.2|空間中直線、平面位置關系的判斷定點下列命題中正確的是

(

)A.如果a,b是兩條直線,a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面B.如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a平行于平面α內(nèi)的任何一條直線C.如果直線a,b滿足a∥α,b∥α,那么a∥bD.如果直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α典例

D解析

如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',但AA'在過BB'的平面AB'內(nèi),故選項A不正

確;

AA'∥平面B'C,BC?平面B'C,但AA'與BC不平行,故選項B不正確;AA'∥平面B'C,A'D'∥平面B