4.1.1

數(shù)列的概念及通項公式

1，1，2，3，5，8，13，……斐波那契數(shù)列：兔子繁殖問題：《算盤書》1202斐波那契

（Fibonacci；1170

1250）閱讀下列情境，回答下列問題.情境1：王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高.

將這些身高數(shù)據(jù)(單位：cm)依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.

問題1：記王芳第

i

歲時的身高為

hi，則：

（1）h1＝_____；h7＝_____；

75120（2）它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？這是具有確定順序的一列數(shù)不能交換位置，具有確定順序情境2：在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版(編號

K90，約產(chǎn)生于公元前

7世紀(jì))上，有一列依次表示一個月中從第

1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)?：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.問題2：記第

i

天月亮可見部分的數(shù)為si，則：

（1）s1=_____；s10=_____；

（2）si之間的順序能否交換？5160?把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數(shù)的數(shù)來表示.不能交換位置，具有確定順序情境3：

的

1次方、2次方、3次方、4次方……n次方，依次排成一列數(shù)：記

的n次方為an，那么思考：上述三個情境的共同特征是什么？一列數(shù)順序(一)數(shù)列的基本概念?數(shù)

列：按照確定的順序排列的一列數(shù)?！飻?shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)?！锏?/p>

1項：排在第

1位的數(shù)，用

a1

表示，也叫首項；★第

2項：排在第

2位的數(shù)，用

a2表示

；······★第

n

項：排在第

n

位的數(shù)，用an

表示。?故數(shù)列的一般形式是

a1，a2，···，an，···，簡記為{an}.54，60，55，58，64，55，58，60，57，54.54，60，55，58，55，64，58，60，57，54.是若數(shù)列中被排列的數(shù)相同，但次序不同，則不是同一數(shù)列思考：

由無窮多個

3所組成的一列數(shù)：3、3、3、??是數(shù)列嗎？數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)思考：

以下兩個數(shù)列是同一數(shù)列嗎？思考：在數(shù)列中，符號{an}和

an所表示的意義相同嗎？不同，an

表示的是數(shù)列中的第n項，{an}表示的是一個數(shù)列.

例1結(jié)合數(shù)列的定義，做出判斷，并說明理由.(1)1，2，3，4，1，2，3，4

是一組數(shù)列嗎？(2)數(shù)列

1，2，3，4，5和數(shù)列5，4，3，2，1

是同一組數(shù)列嗎？典例剖析解：結(jié)合數(shù)列的定義可得：(1)是；沒有規(guī)定“數(shù)列數(shù)字不可重復(fù)”，故是數(shù)列；(2)不是；數(shù)列有確定的順序，數(shù)字相同但順序不同，也是不同數(shù)列.

方法小結(jié)：（1）同一個數(shù)在數(shù)列中可重復(fù)出現(xiàn)；（2）排列順序不同的數(shù)組成的數(shù)列是不同數(shù)列.練一練練習(xí)1.判斷下列數(shù)是不是數(shù)列，是的打“√”，錯的打“×”.（1）1，1，1，1是一個數(shù)列

(

)（2）數(shù)列

1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}(

)（3）an與

{an}表達(dá)不同的含義

(

)√√×(二)數(shù)列的分類?以項數(shù)來分類

——★有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列；★無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.如：1，2，3，4，…，100如：1，4，9，…，102，…項數(shù)指組成數(shù)列的項的個數(shù)?以各項的大小關(guān)系來分類

——★遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列；如：3，4，5，…★遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列；如：1，

，

，…★常數(shù)列：各項都相等的數(shù)列；如：6，6，6，6，…★擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項

的數(shù)列。(二)數(shù)列的分類如：1，2，1，2，…例2下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？(1){0，1，2，3，4}；

(2)0，1，2，3，4；(3)所有無理數(shù)；

(4)1，－1，1，－1，1，－1，…；(5)6，6，6，6，6.典例剖析練習(xí)2.下列數(shù)列中，遞增數(shù)列是_____，遞減數(shù)列是_____________，常數(shù)列是_____，有窮數(shù)列是______，無窮數(shù)列是______________.(1)1，0.84，0.842，0.843，…；

(2)2，4，6，8，10，…；(3)7，7，7，7，…；

(4)，

，

，

；(5)9，7，5，3，1；

(6)0，-1，2，-3，4，-5，…練一練（2）(1)(4)(5)（3）(1)(2)(3)(6)（4）問題引入?通項公式：用來表示數(shù)列{an}的第

n

項

an

與項數(shù)

n

的對應(yīng)關(guān)系的式子

↑

↑

↑

↑

↑

↑序號：

12345···n···對應(yīng)關(guān)系：在下面這組數(shù)列中，每一項的序號

n與這一項

an有下面的對應(yīng)關(guān)系：項

：例3根據(jù)下面數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列{an}的一個通項公式.

（1）2，4，8，16，……；（2）1，-3，5，-7，……；典例剖析練習(xí)3.按規(guī)律填空：(1)1，4，9，16，___，...(2)2，4，___，16，____，...25832通項公式是________.通項公式是________.(3)

，

，

，___，

，...通項公式是________.練一練（

）練習(xí)4.C練一練

例3根據(jù)下面數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列{an}的一個通項公式.典例剖析(1)觀察項與項之間的關(guān)系；(2)項與序號之間的關(guān)系；(3)對于正負(fù)號的變化，可使用(-1)n或(-1)n＋1來調(diào)整；(4)分別看分子、分母，再綜合看分子、分母的關(guān)系；(5)規(guī)律不明顯，適當(dāng)變形．歸納總結(jié)歸納通項公式應(yīng)從以下五個方面著手：練習(xí)5.寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：

練一練

(2)數(shù)列的前

4項的奇數(shù)項為2，偶數(shù)項為0，

故它的一個通項公式為：an=(–1)n+1+1.練一練練習(xí)7.根據(jù)上面數(shù)列“2，0，2，0，….

”

的前四項，你能寫出其他通項公式嗎？

注意：有些數(shù)列的通項公式可以有多個，不唯一.練一練例4已知數(shù)列{an}的通項公式是

an＝2n2－n，n∈N*.(1)寫出數(shù)列的前3項；(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項，3是否為數(shù)列{an}中的項.

典例剖析練習(xí)8.如果數(shù)列{an}的通項公式為

，那么120是不是這個數(shù)列的項，如果是，是第幾項？練一練練習(xí)9.已知數(shù)列{an}的通項公式為

an＝n2－8n＋15，則（

）A.3不是數(shù)列{an}中的項

B.3