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文檔簡(jiǎn)介

全微分方程

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy恰好是某一個(gè)函數(shù)u=u(x,y)的全微分:

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,那么方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0就叫做全微分方程.

上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)下頁(yè)全微分方程全微分方程的判定下頁(yè)

如果P(x

y)dx

Q(x

y)dy是某個(gè)函數(shù)u

u(x

y)的全微分

du(x

y)

P(x

y)dx

Q(x

y)dy

那么方程P(x

y)dx

Q(x

y)dy

0就叫做全微分方程

若P(x

y)、Q(x

y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

且則方程P(x

y)dx

Q(x

y)dy

0是全微分方程

全微分方程的通解下頁(yè)

若方程P(x

y)dx

Q(x

y)dy

0是全微分方程

則其通解為

若方程P(x

y)dx

Q(x

y)dy

0是全微分方程

且

du(x

y)

P(x

y)dx

Q(x

y)dy

則u(x

y)

C就是方程的通解

全微分方程的通解公式

提示

例1

求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0

解

這里P=5x4+3xy2-y3

Q=3x2y-3xy2+y2

且所以這是全微分方程

其通解為

下頁(yè)積分因子

例2求方程ydx-xdy=0的積分因子并求其通解

因?yàn)?/p>

解

下頁(yè)

若存在一函數(shù)

(x

y)

(

(x

y)

0)

使方程

(x

y)P(x

y)dx

(x

y)Q(x

y)dy

0是全微分方程

則函數(shù)

(x

y)叫做方程P(x

y)dx

Q(x

y)dy

0的積分因子

因?yàn)?/p>

故所給方程的通解為

例3

求方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的積分因子并求其通解

解

積分得通解

將方程的各項(xiàng)重新合并

得(ydx

xdy)

xy(ydx

xdy)

0,再把它改寫成

用積分因子乘以方程

方變?yōu)橄马?yè)一階線性方程的積分因子

可以驗(yàn)證是一階線性方程y

P(x)y

Q(x)的一個(gè)積分因子

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