2024年考研最優(yōu)化方法沖刺考卷2024年考研最優(yōu)化方法沖刺考卷

姓名：______班級：______學(xué)號：______得分：______

（考試時間：90分鐘，滿分：100分）

1.選擇題（共5題，每題2分，計10分）

2.填空題（共5題，每題2分，計10分）

3.計算題（共3題，每題10分，計30分）

4.證明題（共2題，每題10分，計20分）

5.應(yīng)用題（共5題，每題4分，計20分）

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**1.選擇題（共5題，每題2分，計10分）**

1.1設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極值，且f(x,y)在(x0,y0)處可微，則必有（）

A.?f(x0,y0)=0

B.?f(x0,y0)≠0

C.f(x0,y0)存在二階偏導(dǎo)數(shù)

D.f(x0,y0)連續(xù)

1.2下列說法正確的是（）

A.函數(shù)的極大值一定大于極小值

B.若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則必有最值

C.梯度方向是函數(shù)值下降最快的方向

D.條件極值一定優(yōu)于無條件極值

1.3在以下方法中，適用于求解無約束優(yōu)化問題的是（）

A.拉格朗日乘數(shù)法

B.最速下降法

C.可行方向法

D.對偶單純形法

1.4若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上滿足fxx≥0且fxy=0，則f(x,y)在D上（）

A.必有極值

B.必?zé)o極值

C.可能存在極值

D.無法判斷

1.5下列說法錯誤的是（）

A.罰函數(shù)法適用于求解約束優(yōu)化問題

B.共軛梯度法適用于求解大規(guī)模優(yōu)化問題

C.遺傳算法屬于啟發(fā)式算法

D.線性規(guī)劃問題的解一定唯一

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**2.填空題（共5題，每題2分，計10分）**

2.1函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(1,1)處的梯度為______。

2.2若函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得無條件極值，且fxx(x0,y0)存在，則當(dāng)fxx(x0,y0)>0時，f(x,y)在(x0,y0)處取得______極值。

2.3求解約束優(yōu)化問題minf(x,y)subjecttog(x,y)=0時，拉格朗日函數(shù)為______。

2.4最速下降法的迭代公式為______。

2.5設(shè)線性規(guī)劃問題為maxc^TxsubjecttoAx≤b,x≥0，則其對偶問題為______。

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**3.計算題（共3題，每題10分，計30分）**

3.1求函數(shù)f(x,y)=x^3+y^3-3xy的極值點。

3.2用拉格朗日乘數(shù)法求解函數(shù)f(x,y)=x+y在約束x^2+y^2=1下的條件極值。

3.3用單純形法求解線性規(guī)劃問題：

maxz=3x1+2x2

subjecttox1+x2≤4

2x1+x2≤6

x1,x2≥0

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**4.證明題（共2題，每題10分，計20分）**

4.1證明：若函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得無條件極值，且f(x,y)在(x0,y0)處二階連續(xù)可偏導(dǎo)，則(x0,y0)必滿足Hessian矩陣Δ=

|fxxfxy|

|fyxfyy|

的行列式Δ>0且fxx(x0,y0)與Δ同號。

4.2證明：線性規(guī)劃問題的對偶定理，即若原問題有最優(yōu)解，則對偶問題也有最優(yōu)解，且最優(yōu)值相等。

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**5.應(yīng)用題（共5題，每題4分，計20分）**

5.1某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，利潤分別為每件10元和8元，生產(chǎn)每件產(chǎn)品A需消耗原料3kg，生產(chǎn)每件產(chǎn)品B需消耗原料2kg，工廠每周原料供應(yīng)量為100kg，問如何安排生產(chǎn)使利潤最大？

5.2用最速下降法求解f(x,y)=x^2+y^2從點(2,2)開始迭代兩次的近似值（取步長為0.1）。

5.3設(shè)函數(shù)f(x,y)=x^2+2y^2在區(qū)域D=x^2+y^2≤1上，用KKT條件判斷點(0,1)是否為最優(yōu)解。

5.4若函數(shù)f(x,y)=x^2y在區(qū)域D=x+y≤2,x≥0,y≥0上，寫出其罰函數(shù)法形式。

5.5解釋為什么梯度下降法在求解非凸問題時可能陷入局部最優(yōu)解。

6.判斷題（共5題，每題2分，計10分）

6.1若函數(shù)在一點可微，則該點必為極值點。

6.2最速下降法總是能找到最優(yōu)解。

6.3約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解一定在可行域的邊界上。

6.4遺傳算法可以保證找到全局最優(yōu)解。

6.5線性規(guī)劃問題的單純形法每次迭代都會使目標(biāo)函數(shù)值改善。

7.簡答題（共3題，每題10分，計30分）

7.1簡述牛頓法的迭代公式及其優(yōu)缺點。

7.2解釋什么是KKT條件及其在約束優(yōu)化中的作用。

7.3比較解析法和數(shù)值法求解最優(yōu)解的優(yōu)缺點。

8.綜合題（共2題，每題15分，計30分）

8.1某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，成本分別為每件50元和40元，售價分別為每件80元和70元，市場需求量受價格影響，分別為Q1=60-0.5P1，Q2=80-0.4P2，其中P1,P2為兩種產(chǎn)品的價格，公司希望最小化成本，同時保證兩種產(chǎn)品都不虧損，建立并求解該問題的數(shù)學(xué)模型。

8.2設(shè)函數(shù)f(x,y)=x^4-4x^2+y^2-4y+3，用多極值點判別法分析該函數(shù)的極值點。

9.案例分析題（共1題，20分）

9.1某物流公司需要規(guī)劃一條從倉庫A到目的地B的運輸路線，中間經(jīng)過三個中轉(zhuǎn)站C、D、E，各段路線的運輸成本如下表所示：

||A→C|A→D|C→D|C→E|D→E|D→B|E→B|

|---|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

|成本|2|3|1|4|2|5|3|

公司希望找到總成本最低的運輸方案，請建立該問題的線性規(guī)劃模型，并用單純形法求解。

10.算法設(shè)計題（共1題，10分）

10.1設(shè)計一個簡單的遺傳算法框架，用于求解函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-5,5]上的最小值，要求說明選擇、交叉、變異操作的具體實現(xiàn)方式。

11.參數(shù)估計題（共1題，10分）

11.1已知一組實驗數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，假設(shè)y與x滿足關(guān)系y=ax+bx^2+e，其中e為誤差項，請寫出最小二乘法估計a和b的公式。

12.敏感性分析題（共1題，10分）

12.1對于線性規(guī)劃問題maxz=3x1+2x2subjecttox1+x2≤4,2x1+x2≤6,x1,x2≥0，當(dāng)約束條件2x1+x2≤6變?yōu)?x1+x2≤7時，最優(yōu)解會發(fā)生什么變化？

13.最優(yōu)控制題（共1題，10分）

13.1設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x'(t)=x(t)-2y(t)，輸出方程為z(t)=x(t)+y(t)，初始狀態(tài)x(0)=1,y(0)=0，求使性能指標(biāo)J=∫(0,1)(x^2(t)+y^2(t))dt最小化的最優(yōu)控制u(t)。

14.最小二乘法應(yīng)用題（共1題，10分）

14.1收集一組關(guān)于溫度T（單位：℃）和電阻R（單位：Ω）的數(shù)據(jù)，假設(shè)R與T滿足線性關(guān)系R=a+bT，用最小二乘法擬合這組數(shù)據(jù)，并預(yù)測當(dāng)T=25℃時R的值。

15.約束優(yōu)化題（共1題，10分）

15.1求函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在約束x+y=1下的最小值，可以用拉格朗日乘數(shù)法或其它方法求解。

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**6.判斷題（共5題，每題2分，計10分）**

6.1×6.2×6.3√6.4×6.5×

**7.簡答題（共3題，每題10分，計30分）**

7.1牛頓法的迭代公式為xk+1=xk-H(f(xk))^(-1)?f(xk)，其中H(f(xk))為Hessian矩陣。優(yōu)點是收斂速度快，缺點是可能陷入局部最優(yōu)解或發(fā)散，且需要計算Hessian矩陣及其逆矩陣。

7.2KKT條件是約束優(yōu)化問題中最優(yōu)解必須滿足的一組必要條件，包括primalfeasibility（原始可行性）、dualfeasibility（對偶可行性）、complementaryslackness（互補松弛性）和stationarity（平穩(wěn)性）。在約束優(yōu)化中，KKT條件用于判斷一個點是否為最優(yōu)解。

7.3解析法通過建立數(shù)學(xué)模型并求解得到最優(yōu)解，優(yōu)點是精確，缺點是可能無法建立數(shù)學(xué)模型或模型求解困難。數(shù)值法通過迭代算法逐步逼近最優(yōu)解，優(yōu)點是通用性強，缺點是可能陷入局部最優(yōu)解且收斂速度不確定。

**8.綜合題（共2題，每題15分，計30分）**

8.1建立數(shù)學(xué)模型如下：

maxz=3x1+2x2

subjecttox1+x2≤4

2x1+x2≤6

x1,x2≥0

用單純形法求解：

初始表：

||z|x1|x2|s1|s2|

|---|---|----|----|----|----|

||1|-3|-2|0|0|

|s1|0|1|1|1|0|

|s2|0|2|1|0|1|

迭代1：

||z|x1|x2|s1|s2|

|---|---|----|----|----|----|

||1|0|-1|3|0|

|s1|0|1|1|1|0|

|x1|0|2|1|0|1|

迭代2：

||z|x1|x2|s1|s2|

|---|---|----|----|----|----|

||1|0|0|2|1|

|x2|0|1|1|1|0|

|x1|0|-1|0|-1|1|

最優(yōu)解為x1=0,x2=4,z=8。

8.2多極值點判別法分析：

fxx=12x^2-8,fyy=2,fxy=0

在點(0,0)：fxx=-8<0,不是極值點

在點(1,-2)：fxx=16>0,fyy=2>0,Δ=32>0,是極小值點

在點(-1,2)：fxx=16>0,fyy=2>0,Δ=32>0,是極小值點

**9.案例分析題（共1題，20分）**

建立線性規(guī)劃模型：

minz=2x1+3x2+x3+4x4+2x5+5x6+3x7

subjecttox1+x2+x3+x4=1

x1+x2+x5+x6=1

x3+x4+x7=1

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0

用單純形法求解：

（此處省略單純形表計算過程）

最優(yōu)解為x1=0,x2=0,x3=0,x4=0,x5=1,x6=0,x7=0,z=7。

**10.算法設(shè)計題（共1題，10分）**

選擇：輪盤賭選擇，概率與適應(yīng)度成正比

交叉：單點交叉，隨機選擇交叉點

變異：隨機變異，概率為0.01

框架：初始化種群，計算適應(yīng)度，選擇，交叉，變異，判斷終止條件，輸出最優(yōu)解

**11.參數(shù)估計題（共1題，10分）**

最小二乘法估計公式：

a=(ΣxiyiΣxi^2-ΣxiΣxiyi)/(nΣxi^2-Σxi^2)

b=(nΣxiyi-ΣxiΣyi)/(nΣxi^2-Σxi^2)

**12.敏感性分析題（共1題，10分）**

當(dāng)約束條件變?yōu)?x1+x2≤7時，最優(yōu)解為x1=0,x2=7,z=14，最優(yōu)解發(fā)生改變。

**13.最優(yōu)控制題（共1題，10分）**

最優(yōu)控制u(t)=0，最優(yōu)解為x(t)=cos(2t),y(t)=sin(2t)。

**14.最小二乘法應(yīng)用題（共1題，10分）**

假設(shè)數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，最小二乘法擬合得到a和b如11題所示，預(yù)測R=80.5Ω。

**15.約束優(yōu)化題（共1題，10分）**

用拉格朗日乘數(shù)法：

L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)

解得x=y=1/2,λ=-1，最小值為1/2。

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**知識點分類和總結(jié)**

1.**無約束優(yōu)化**

-梯度法：最速下降法、牛頓法、共軛梯度法

-極值點判別：一階條件、二階條件、Hessian矩陣

-多極值點判別：Hessian矩陣的符號

2.**約束優(yōu)化**

-拉格朗日乘數(shù)法：建立拉格朗日函數(shù)，求解KKT條件

-罰函數(shù)法：將約束優(yōu)化轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化

-可行方向法：在可行方向上尋找最優(yōu)解

-單純形法：求解線性規(guī)劃問題

3.**線性規(guī)劃**

-對偶理論：原問題與對偶問題的關(guān)系

-單純形法：表迭代過程、最優(yōu)解判別

-敏感性分析：約束條件變化對最優(yōu)解的影響

4.**數(shù)值方法**

-遺傳算法：選擇、交叉、變異操作

-最小二乘法：參數(shù)估計、數(shù)據(jù)擬合

5.**應(yīng)用**

-最優(yōu)控制：狀態(tài)方程、輸出方程、性能指標(biāo)

-案例分析：實際問題的建模與求解

**各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例**

1.**選擇題**

-考察基礎(chǔ)概念和定理，如極值點的必要條件、梯度方向等。

-示例：判斷函數(shù)在一點可微是否必為極值點，考察對可微性與極值關(guān)系的理解。

2.**填空題**

-考察基本公式和符號，如梯度、Hessian矩陣、拉格朗日函數(shù)等。

-示例：寫出拉格朗日函數(shù)，考察對約束優(yōu)化基本公式的記憶。

3.**計算題**

-考察具體算法的求解過程，如極值點求解、拉格朗日乘數(shù)法、單純形法等。

-示例：用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值，考察對算法步驟的掌握。

4.**證明題**

-考察定理的證