第1頁（共1頁）2022-2023學年北京二中教育集團八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項，每小題2分，共16分）1．（2分）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）據(jù)科學家研究，新型冠狀病毒最新變異為奧米克戎，奧米克戎被科學家稱為迄今為止“最糟糕的變異毒株”，它的直徑雖然只有85nm左右（1nm＝10﹣9m），但它在空中存活的時間更長，并且致病率更高．科學研究還表明：佩戴口罩可有效阻斷奧米克戎的傳播．將85nm用科學記數(shù)法表示為（）A．85×10﹣9m B．8.5×10﹣10m C．0.85×10﹣8m D．8.5×10﹣8m3．（2分）若分式的值為0，則x的值為（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣2 D．x＝04．（2分）一個n邊形的每個外角都是45°，則這個n邊形的內(nèi)角和是（）A．1080° B．540° C．2700° D．2160°5．（2分）如圖，已知EB＝EC，AC與DB相交于E，添加下列哪一個條件后，仍不能使△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝BD B．∠A＝∠D C．AB＝DC D．∠ABC＝∠DCB6．（2分）若a＝（﹣0.5）﹣2，b＝（﹣2）0，則a與b的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．無法確定7．（2分）下列各式中，運算正確的有（）①＝；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2分）如圖是在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標，它是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為8，每個直角三角形比小正方形的面積均小1，則每個小直角三角形的周長是（）A．5+ B．9+ C．10+ D．14二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）當分式有意義時，x的取值范圍是．10．（2分）分解因式：3x3y﹣12xy3＝．11．（2分）已知一等腰三角形的周長為16，其中一邊長為4，則其腰長為．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，剪去∠A后得到四邊形BCDE，則∠1+∠2＝°．13．（2分）在△ABC中，∠ABC的角平分線BD與邊BC的垂直平分線EF相交于點F，連接CF．若∠A＝70°，∠ABD＝25°，則∠ACF的度數(shù)是°．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于點H．若AB＝15，CE＝9，則CH＝．15．（2分）若ab≠0，且3a+2b＝0，則的值是．16．（2分）如圖所示，AB、AC是以A為公共端點的兩條線段，且滿足AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，作線段AC的垂直平分線l交AC于點D．點P為直線l上一動點，連接AP，以AP為邊構(gòu)造等邊△APQ，連接DQ．當△ADQ的周長最小時，AP＝b，則△ADQ周長的最小值為．（用含有a、b的式子表示）三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22-24題，每題5分，第25題6分，第26-28題，每題7分）17．（5分）計算：a3?a+（﹣2a2）3÷a2．18．（5分）已知：x2﹣2x﹣2＝0，求代數(shù)式的（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+3）值．19．（5分）在數(shù)學課上，老師給出了這樣一道題：計算．以下是小明同學的計算過程．解：原式＝①＝②＝③（1）以上過程中，第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是；（2）以上計算過程是否正確？若正確，請你繼續(xù)完成本題后續(xù)解題過程；若不正確，請指出是哪一步出現(xiàn)了錯誤，并寫出本題完整、正確的解答過程．20．（5分）解分式方程：．21．（6分）先化簡÷（），然后在|x|＜3中選一個合適整數(shù)值代入，求出代數(shù)式的值．22．（5分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AB、AC上的點，且滿足AD＝AE．（1）求證：∠ABE＝∠ACD；（2）連接AO，試判斷AO與BC的位置關(guān)系，并證明．23．（5分）如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，DF⊥BC于F，延長FD、CA交于E．若∠E＝30°，AD＝AE．（1）求證：△ABC為等邊三角形；（2）若D是AB的中點，求的值．24．（5分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＜∠C．（1）用直尺和圓規(guī)作斜邊BC的垂直平分線，分別交BC、AB于D、E，連接CE（不寫作法，保留作圖痕跡）；由作圖可知，BE＝CE，依據(jù)是：；（2）在（1）的條件下，若AE＝DE，則∠ACE與∠DCE的數(shù)量關(guān)系是：，依據(jù)是：；（3）請你用直尺和圓規(guī)在斜邊BC上求作一點T，使點T到邊AB的距離等于線段CT的長（不寫作法，保留作圖痕跡）．25．（6分）列分式方程解應(yīng)用題【問題呈現(xiàn)】為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產(chǎn)效率比原先提高了20%，現(xiàn)在生產(chǎn)540萬劑疫苗所用時間比原先生產(chǎn)510萬劑疫苗所用的時間少0.8天．問原先每天生產(chǎn)多少萬劑疫苗．【分析交流】（1）某學習小組用表格的形式對本問題的信息進行了梳理，請你把表格內(nèi)容補充完整：時間原先現(xiàn)在生產(chǎn)總量（單位：萬劑）每天生產(chǎn)量（單位：萬劑）x【建模解答】（2）請你完整解答本題．26．（7分）已知：P＝x+2，Q＝．（1）當x＝1時，計算P﹣Q的值；（2）當x＞0時，判斷P與Q的大小關(guān)系，并說明理由；（3）設(shè)y＝，若x、y均為非零整數(shù)，求xy的值．27．（7分）已知：△ABC為等邊三角形，D、E分別為線段AB、CB延長線上的點，且BD＝BE．作直線AE，點B關(guān)于直線AE的對稱點為F，連接FC、FD分別交直線AE于G、H．設(shè)∠BAE＝α．（1）請你根據(jù)題意，補全圖形；（2）連接ED、EF，①判斷：EDEF；（填“＞”、“＜”或“＝”）②求∠ADF的大??；（用含有α的式子表示）（3）試猜想AH、HF和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的四個頂點坐標分別為A（0，2）、B（﹣2，0）、C（0，﹣2）、D（2，0）．對于點P、直線l和正方形ABCD，給出如下定義：若點P關(guān)于直線l的對稱點在正方形ABCD的內(nèi)部或邊上，則稱點P為正方形ABCD關(guān)于直線l的“反射點”．（1）已知直線l1為x＝1．①在點P1（3，0）、P2（3，﹣1）、P3（4，0.5）中，是正方形ABCD關(guān)于直線l1的“反射點”的有；②若點P為x軸上的動點，且點P為正方形ABCD關(guān)于直線l1的“反射點”，則點P的橫坐標的最大值為；（2）設(shè)點T（0，t），直線l2為過點T（0，t）且與第二、四角平分線平行的直線．①當t＝4時，若點P為直線x＝上一點，且點P為正方形ABCD關(guān)于直線l2的“反射點”，則點P縱坐標yP的取值范圍是；②設(shè)正方形EFGH是以點K（﹣t，0）為中心，邊長為1的正方形，且正方形EFGH的邊均與坐標軸平行．若點Q為正方形ABCD的邊界上一點，且點Q為正方形EFGH關(guān)于直線l2的“反射點”，請你直接寫出t的取值范圍．

2022-2023學年北京二中教育集團八年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項，每小題2分，共16分）1．（2分）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．【解答】解：選項A、B、D均能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，選項C不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，故選：C．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．2．（2分）據(jù)科學家研究，新型冠狀病毒最新變異為奧米克戎，奧米克戎被科學家稱為迄今為止“最糟糕的變異毒株”，它的直徑雖然只有85nm左右（1nm＝10﹣9m），但它在空中存活的時間更長，并且致病率更高．科學研究還表明：佩戴口罩可有效阻斷奧米克戎的傳播．將85nm用科學記數(shù)法表示為（）A．85×10﹣9m B．8.5×10﹣10m C．0.85×10﹣8m D．8.5×10﹣8m【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：因為1nm＝10﹣9m，所以85nm＝85×10﹣9m＝8.5×10﹣8m．故選：D．【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．3．（2分）若分式的值為0，則x的值為（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣2 D．x＝0【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，據(jù)此求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值為0，∴2x+4＝0且x﹣3≠0，解得：x＝﹣2．故選：C．【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個條件不能少．4．（2分）一個n邊形的每個外角都是45°，則這個n邊形的內(nèi)角和是（）A．1080° B．540° C．2700° D．2160°【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度，每個外角都相等，即可求得外角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和定理即可求得內(nèi)角和．【解答】解：多邊形的邊數(shù)是：360÷45＝8，則多邊形的內(nèi)角和是：（8﹣2）×180＝1080°．故答案為：A．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理以及多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變化而變化，因而把求多邊形內(nèi)角的計算轉(zhuǎn)化為外角的計算，可以使計算簡便．5．（2分）如圖，已知EB＝EC，AC與DB相交于E，添加下列哪一個條件后，仍不能使△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝BD B．∠A＝∠D C．AB＝DC D．∠ABC＝∠DCB【分析】根據(jù)題意和圖形可以得到BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，然后再寫出添加各個選項中的條件時能否得到△ABC和△DCB全等即可．【解答】解：由圖可得，BC＝CB，∵EB＝EC，∴∠ACB＝∠DBC．∴添加∠ABC＝∠DCB時，△ABC≌△DCB（ASA），故選項A不符合題意；添加AC＝BD時，△ABC≌△DCB（SAS），故選項B不符合題意；添加AB＝CD時，不能證明△ABC≌△DCB，故選項C符合題意；添加∠A＝∠D時，△ABC≌△DCB（AAS），故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．6．（2分）若a＝（﹣0.5）﹣2，b＝（﹣2）0，則a與b的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．無法確定【分析】根據(jù)實數(shù)的大小比較法則直接計算得出．【解答】解：a＝（﹣0.5）﹣2＝＝4，b＝（﹣2）0＝1，∵4＜1，∴（﹣0.5）﹣2＞（﹣2）0，∴a＞b．故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較法則，利用平方解題是關(guān)鍵．7．（2分）下列各式中，運算正確的有（）①＝；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變，對每一個分式一一判定即可．【解答】解：①＝（）2，故①不符合題意；②＝＝，故②符合題意；③＝，故③不符合題意；④＝＝，故④不符合題意；故選：A．【點評】本題考查分式的性質(zhì)和化簡，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，分式的化簡方法是解題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖是在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標，它是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為8，每個直角三角形比小正方形的面積均小1，則每個小直角三角形的周長是（）A．5+ B．9+ C．10+ D．14【分析】設(shè)直角三角形的較長直角邊是a，較短直角邊是b，斜邊是c，由勾股定理，三角形的面積公式，完全平方公式求出a+b，c的值，即可得到答案．【解答】解：設(shè)直角三角形的較長直角邊是a，較短直角邊是b，斜邊是c，∴ab＝8﹣1＝7，∴ab＝14，∵小正方形的邊長是a﹣b，∴（a﹣b）2＝8，∴a2+b2﹣2ab＝8，∴a2+b2＝36，∵c2＝a2+b2＝36，∴c＝6，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36+2×14＝64，∴a+b＝8，∴每個小直角三角形的周長是a+b+c＝8+6＝14，故選：D．【點評】本題考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面積，關(guān)鍵是應(yīng)用完全平方公式，勾股定理求出a+b．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）當分式有意義時，x的取值范圍是x≠．【分析】分式有意義的條件是分母不為0．【解答】解：分式有意義，則2x﹣1≠0，解得：x≠．故答案為x．【點評】本題考查的是分式有意義的條件：當分母不為0時，分式有意義．10．（2分）分解因式：3x3y﹣12xy3＝3xy（x+2y）（x﹣2y）．【分析】先提公因式，再逆用平方差公式進行因式分解．【解答】解：3x3y﹣12xy3＝3xy（x2﹣4y2）＝3xy（x+2y）（x﹣2y）．故答案為：3xy（x+2y）（x﹣2y）．【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．11．（2分）已知一等腰三角形的周長為16，其中一邊長為4，則其腰長為6．【分析】因為腰長沒有明確，所以分邊長4是腰長和底邊兩種情況討論．【解答】解：（1）當4是腰長時，底邊為16﹣4×2＝8，此時4+4＝8，不能組成三角形；（2）當4是底邊時，腰長為×（16﹣4）＝6，此時4，6，6三邊能夠組成三角形．所以腰長為6．故答案為：6．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系．注意分別從腰長為3與底邊長為3去分析求解是關(guān)鍵．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，剪去∠A后得到四邊形BCDE，則∠1+∠2＝255°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度可得∠B+∠C的度數(shù)，然后再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠1+∠2的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝75°，∴∠B+∠C＝180°﹣75°＝105°，∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．故答案為：255．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和，掌握三角形內(nèi)角和為180°是關(guān)鍵．13．（2分）在△ABC中，∠ABC的角平分線BD與邊BC的垂直平分線EF相交于點F，連接CF．若∠A＝70°，∠ABD＝25°，則∠ACF的度數(shù)是35°．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到FB＝FC，得到∠FBC＝∠FCB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理列式計算即可．【解答】解：∵BF∠ABC的平分線，∴∠ABF＝∠CBF，∵FE是線段BC的垂直平分線，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABF＝∠CBF＝∠FCB＝25°，∴3∠ABF+∠ACF+∠A＝180°，∴75°+70°+∠ACF＝180°，∴∠ACF＝35°，故答案為：35．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于點H．若AB＝15，CE＝9，則CH＝3．【分析】先由已知得到CE＝AE，即可證明△AEH≌△CEB，即可求得BE＝EH繼而可得答案．【解答】解：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴CE＝AE＝9，∵∠BCE+∠CHD＝90°，∠EAH+∠AHF＝90°，∠AHE＝∠CHD，∴∠BCE＝∠EAH，在△BCE和△HAE中，，∴△BCE≌△HAE（ASA），∴BE＝EH，∵BE+AE＝AB＝15，∴BE＝EH＝6，∴CH＝CE﹣HE＝9﹣6＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了全等三角形的判定、全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)．解決本題的根據(jù)是證明△BCE≌△HAE．15．（2分）若ab≠0，且3a+2b＝0，則的值是﹣．【分析】已知等式變形后，代入原式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵ab≠0，且3a+2b＝0，∴a＝﹣b，∴原式＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】此題考查了分式的值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖所示，AB、AC是以A為公共端點的兩條線段，且滿足AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，作線段AC的垂直平分線l交AC于點D．點P為直線l上一動點，連接AP，以AP為邊構(gòu)造等邊△APQ，連接DQ．當△ADQ的周長最小時，AP＝b，則△ADQ周長的最小值為．（用含有a、b的式子表示）【分析】作AE平分∠BAC交直線l于點E，連接BC交直線l于點F，連接AF、BE、EQ，BQ，可證明∠FEA＝∠FAE＝30°，則AF＝EF，所以FB垂直平分AE，則EB＝AB，所以△ABE是等邊三角形，再證明△PAE≌△QAB，得∠ABQ＝∠AEF＝30°，可知BQ與BC重合，點Q在BC上運動，由EQ+DQ≥DE，且AQ+DQ＝EQ+DQ，得AQ+DQ≥DE，則當點Q與點F重合時，AQ+DQ＝DE，此時AQ+DQ的值最小，則△ADQ周長的最小值，由AQ＝AF＝AP＝b，證明DQ＝DF＝AF＝b，即可求得△ADQ周長的最小值為，于是得到問題的答案．【解答】解：作AE平分∠BAC交直線l于點E，連接BC交直線l于點F，連接AF、BE、EQ，BQ，∵直線l垂直平分AC，AB＝AC＝a，∴∠ADE＝90°，AD＝CD＝AC＝a，AE⊥BC，∵∠BAC＝120°，∴∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝60°，∠C＝∠ABC＝∠AED＝30°，∵AF＝CF，∴∠C＝∠FAC＝30°，∴∠FEA＝∠FAE＝30°，∴AF＝EF，∴FB垂直平分AE，點E與點A關(guān)于直線FB對稱，∴EB＝AB，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB，∵△APQ是等邊三角形，∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ＝PQ，∴∠PAE＝∠QAB＝60°﹣∠QAE，在△PAE和△QAB中，，∴△PAE≌△QAB（SAS），∴∠ABQ＝∠AEF＝30°，∴BQ與BC重合，點Q在BC上運動，∴AQ＝EQ，∵AD為定值，∴當AQ+DQ最小時，則△ADQ周長的最小，∵EQ+DQ≥DE，且AQ+DQ＝EQ+DQ，∴AQ+DQ≥DE，∴當點Q與點F重合時，AQ+DQ＝DE，此時AQ+DQ的值最小，則△ADQ周長的最小值，∵AQ＝AF＝AP＝b，∴DQ＝DF＝AF＝b，∴△ADQ周長的最小值為：a+b+b＝，故答案為：．【點評】此題重點考查軸對稱的性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22-24題，每題5分，第25題6分，第26-28題，每題7分）17．（5分）計算：a3?a+（﹣2a2）3÷a2．【分析】根據(jù)整式的乘除運算以及加減運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝a4﹣8a6÷a2＝a4﹣8a4＝﹣7a4．【點評】本題考查整式加減運算與乘除運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的加減運算法則與乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．18．（5分）已知：x2﹣2x﹣2＝0，求代數(shù)式的（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+3）值．【分析】原式利用完全平方公式及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把已知等式變形后代入計算即可求出值．【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣x2﹣2x+3＝3x2﹣6x+4，∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x＝2，∴原式＝3（x2﹣2x）+4＝3×2+4＝10．【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，掌握運算法則是關(guān)鍵．19．（5分）在數(shù)學課上，老師給出了這樣一道題：計算．以下是小明同學的計算過程．解：原式＝①＝②＝③（1）以上過程中，第②步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；（2）以上計算過程是否正確？若正確，請你繼續(xù)完成本題后續(xù)解題過程；若不正確，請指出是哪一步出現(xiàn)了錯誤，并寫出本題完整、正確的解答過程．【分析】（1）由分式加減法的計算方法進行計算即可，即先通分，再按照同分母分式加減法的計算方法進行計算即可；（2）先通分，再按照同分母分式加減法的計算方法進行計算即可．【解答】解：（1）根據(jù)計算步驟可知，第②步是分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，故答案為：②，分式的基本性質(zhì)；（2）不正確，第③步出現(xiàn)錯誤，正確的解題步驟如下：原式＝﹣＝﹣＝＝＝﹣．【點評】本題考查分式的加減法，掌握分式加減法的計算方法進行計算即可．20．（5分）解分式方程：．【分析】首先兩邊同時乘以2（2x﹣1），去分母，再解整式方程，最后檢驗即可．【解答】解：兩邊同時乘以2（2x﹣1），去分母得：x﹣4＝2x﹣1，解得x＝﹣3，檢驗：把x＝﹣3代入2（2x﹣1），得﹣14≠0，分式方程的解為x＝﹣3．【點評】本題考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是關(guān)鍵．21．（6分）先化簡÷（），然后在|x|＜3中選一個合適整數(shù)值代入，求出代數(shù)式的值．【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算即可解答．【解答】解：÷（）＝÷＝?＝＝，∵|x|＜3，∴﹣3＜x＜3，∴x的整數(shù)解為：﹣2，﹣1，0，1，2，∴x2﹣1≠0，x≠0，x﹣2≠0，∴x≠±1，x≠0，x﹣2≠0，∴當x＝﹣2時，原式＝＝＝﹣．【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．22．（5分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AB、AC上的點，且滿足AD＝AE．（1）求證：∠ABE＝∠ACD；（2）連接AO，試判斷AO與BC的位置關(guān)系，并證明．【分析】（1）由AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABE≌△ACD，得∠ABE＝∠ACD；（2）由∠ABC＝∠ACB，∠ABE＝∠ACD，推導(dǎo)出∠OBC＝∠OCB，則OB＝OC，再根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△AOB≌△AOC，得∠ABO＝∠ACO，即可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明AO⊥BC．【解答】（1）證明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD．（2）解：連接AO，AO⊥BC，證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AO⊥BC．【點評】此題重點考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ABE≌△ACD及△AOB≌△AOC是解題的關(guān)鍵．23．（5分）如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，DF⊥BC于F，延長FD、CA交于E．若∠E＝30°，AD＝AE．（1）求證：△ABC為等邊三角形；（2）若D是AB的中點，求的值．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠E＝∠ADE＝30°，證出∠C＝∠B＝∠CAB，則可得出結(jié)論；（2）過點A作AM⊥DE于M，證明△ADM≌△BDF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DF＝DM，則可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE＝30°，∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°，∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠E＝60°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠C＝∠B＝∠CAB，∴△ABC為等邊三角形；（2）解：過點A作AM⊥DE于M，∵D是AB的中點，∴AD＝BD，∵AM⊥ED，EF⊥BC，∴∠AMD＝∠BFD＝90°，∵∠ADM＝∠BDF，∴△ADM≌△BDF（AAS），∴DF＝DM，∵AD＝AE，AM⊥DE，∴EM＝DM，∴．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ADM≌△BDF是解題的關(guān)鍵．24．（5分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＜∠C．（1）用直尺和圓規(guī)作斜邊BC的垂直平分線，分別交BC、AB于D、E，連接CE（不寫作法，保留作圖痕跡）；由作圖可知，BE＝CE，依據(jù)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；（2）在（1）的條件下，若AE＝DE，則∠ACE與∠DCE的數(shù)量關(guān)系是：相等，依據(jù)是：在角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上；（3）請你用直尺和圓規(guī)在斜邊BC上求作一點T，使點T到邊AB的距離等于線段CT的長（不寫作法，保留作圖痕跡）．【分析】（1）連接基本作圖作BC的垂直平分線，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝CE；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷∠ACE與∠DCE相等；（3）作∠ACB的平分線CQ，再過Q點作AB的垂線交BC于T點，通過證明∠TCQ＝∠TQC得到TC＝TQ．【解答】解：（1）如圖1，DE為所作；∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE；故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；（2）∵EA＝ED，EA⊥CA，ED⊥CB，∴CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCE．故答案為：相等；在角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上；（3）如圖2，點T為所作．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．25．（6分）列分式方程解應(yīng)用題【問題呈現(xiàn)】為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產(chǎn)效率比原先提高了20%，現(xiàn)在生產(chǎn)540萬劑疫苗所用時間比原先生產(chǎn)510萬劑疫苗所用的時間少0.8天．問原先每天生產(chǎn)多少萬劑疫苗．【分析交流】（1）某學習小組用表格的形式對本問題的信息進行了梳理，請你把表格內(nèi)容補充完整：時間原先現(xiàn)在生產(chǎn)總量（單位：萬劑）510540每天生產(chǎn)量（單位：萬劑）xx（1+20%）【建模解答】（2）請你完整解答本題．【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）設(shè)原先每天生產(chǎn)x萬劑疫苗，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)x（1+20%）萬劑疫苗，根據(jù)“現(xiàn)在生產(chǎn)540萬劑疫苗所用時間比原先生產(chǎn)510萬劑疫苗所用的時間少0.8天”列出分式方程，求解即可．【解答】解：（1）由題意得，原先生產(chǎn)510萬劑疫苗，現(xiàn)在生產(chǎn)540萬劑疫苗，原先每天生產(chǎn)x萬劑疫苗，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)x（1+20%）萬劑疫苗；故答案為：510，540，x（1+20%）；（2）設(shè)原先每天生產(chǎn)x萬劑疫苗，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)x（1+20%）萬劑疫苗，根據(jù)題意得，，解得：x＝75，經(jīng)檢驗，x＝75是原方程的解，且符合題意，∴原先每天生產(chǎn)75萬劑疫苗．【點評】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題關(guān)鍵．26．（7分）已知：P＝x+2，Q＝．（1）當x＝1時，計算P﹣Q的值；（2）當x＞0時，判斷P與Q的大小關(guān)系，并說明理由；（3）設(shè)y＝，若x、y均為非零整數(shù)，求xy的值．【分析】（1）將x＝1代入計算P﹣Q的值即可；（2）先求差，再比較差與0的大小關(guān)系．（3）先表示y，再求x，y的整數(shù)值，進而可以解決問題．【解答】解：（1）當x＝1時，P﹣Q＝x+2﹣＝1+2﹣＝；（2）當x＞0時，P≥Q，理由如下：∵P﹣Q＝x+2﹣＝＝，∵x＞0，∴＞0或＝0，∴當x＞0且x≠2時，P＞Q；當x＝2時，P＝Q；（3）∵y＝，P＝x+2，Q＝，∴y＝＝﹣＝＝＝﹣+，∵x、y均為非零整數(shù)，∴x＝﹣3時，y＝﹣6，xy＝18；x＝﹣6時，y＝﹣2，xy＝12；綜上所述：xy的值為18或12．【點評】本題考查分式運算和比較大小，正確進行分式的加減運算是求解本題的關(guān)鍵．27．（7分）已知：△ABC為等邊三角形，D、E分別為線段AB、CB延長線上的點，且BD＝BE．作直線AE，點B關(guān)于直線AE的對稱點為F，連接FC、FD分別交直線AE于G、H．設(shè)∠BAE＝α．（1）請你根據(jù)題意，補全圖形；（2）連接ED、EF，①判斷：ED＝EF；（填“＞”、“＜”或“＝”）②求∠ADF的大小；（用含有α的式子表示）（3）試猜想AH、HF和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）①通過證明△DBE是等邊三角形，可得BE＝DE，由軸對稱的性質(zhì)可得BE＝EF，可得結(jié)論；②由外角的性質(zhì)可得∠AEB＝60°﹣α，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠EDF＝α，即可求解；（3）由“AAS”可證△ADH≌△CEG，可得CG＝AH，通過證明△FGH是等邊三角形，可得FH＝FG，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示：（2）①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△DBE是等邊三角形，∴BE＝DE，∠BED＝∠BDE＝60°，∵點B關(guān)于直線AE的對稱點為F，∴BE＝EF，∴DE＝EF，故答案為：＝；②∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝60°﹣α，∵點B關(guān)于直線AE的對稱點為F，∴∠AEB＝∠AEF＝60°﹣α，∴∠FED＝120°﹣2α，∴∠FED＝180°﹣2α，∵DE＝EF，∴∠EDF＝α＝∠EFD，∴∠ADF＝∠EDB﹣∠EDF＝60°﹣α；（3）FC＝AH+FH，理由如下：如圖，連接AF，∵點B關(guān)于直線AE的對稱點為F，∴AB＝AF＝AC，∠BAE＝∠EAF＝α，∴∠CAF＝60°+2α，∴∠AFC＝∠ACF＝60°﹣α，∴∠FGH＝∠AFC+∠EAF＝60°，∴∠EGC＝120°，∵∠ADF＝60°﹣α，∠BAE＝α，∴∠AFH＝60°，∠AHD＝120°＝∠EGC，∵AB＝BC，BE＝BD，∴CE＝AD，又∵∠AEB＝∠ADF＝60°﹣α，∴△ADH≌△CEG（AAS），∴AH＝CG，∵∠FHG＝∠FGH＝60°，∴△FGH是等邊三角形，∴FH＝FG，∴FC＝FG+GC＝AH+FH．【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．28．（7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的四個頂點坐標分別為A（0，2）、B（﹣2，0）、C（0，﹣2）、D（2，0）．對于點P、直線l和正方形ABCD，給出如下定義：若點P關(guān)于直線l的對稱點在正方形ABCD的內(nèi)部或邊上，則稱點P為正方形ABCD關(guān)于直線l的“反射點”．（1）已知直線l1為x＝1．①在點P1（3，0）、P2（3，﹣1）、P3（4，0.5）中，是正方形ABCD關(guān)于直線l1的“反射點”的有P