一、追本溯源：理解“一端不栽”的基本模型演講人CONTENTS追本溯源：理解“一端不栽”的基本模型變式拓展：從“標(biāo)準(zhǔn)模型”到“真實(shí)情境”的遷移易錯(cuò)診斷：學(xué)生常見錯(cuò)誤與干預(yù)策略分層練習(xí)：從“掌握”到“創(chuàng)造”的能力進(jìn)階總結(jié)：把握本質(zhì)，讓變式練習(xí)“活”起來目錄2025小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一端不栽變式練習(xí)課件作為一名深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為，“植樹問題”是培養(yǎng)學(xué)生模型思想與應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)典載體，而其中“一端不栽”的變式練習(xí)更是幫助學(xué)生突破“機(jī)械記憶公式”、走向“深度理解本質(zhì)”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。今天，我將以“一端不栽”的變式練習(xí)為核心，結(jié)合五年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與教學(xué)實(shí)踐中的真實(shí)案例，系統(tǒng)梳理這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)邏輯與設(shè)計(jì)思路。01追本溯源：理解“一端不栽”的基本模型追本溯源：理解“一端不栽”的基本模型要開展變式練習(xí)，首先需要夯實(shí)“一端不栽”的基礎(chǔ)模型。這是因?yàn)樗凶兪蕉际腔灸Ｐ驮诓煌瑘?chǎng)景下的“變形”，只有理解了本質(zhì)，才能實(shí)現(xiàn)“以不變應(yīng)萬變”。1模型定義與生活原型“一端不栽”屬于“植樹問題”中的典型類型，其核心特征是：在一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)中，僅一個(gè)端點(diǎn)栽樹（或放置物體），另一個(gè)端點(diǎn)因?qū)嶋H限制（如建筑物、障礙物等）無法栽樹。例如，學(xué)校門口的道路一側(cè)，起點(diǎn)有傳達(dá)室無法種樹，終點(diǎn)是操場(chǎng)可以種樹，這種情況就符合“一端不栽”的模型。2公式推導(dǎo)與本質(zhì)關(guān)聯(lián)通過具體情境的操作實(shí)驗(yàn)（如用小棒模擬種樹、在紙上畫線段圖），學(xué)生可以自主推導(dǎo)出“一端不栽”的數(shù)量關(guān)系：間隔數(shù)=棵數(shù)總長(zhǎng)=間隔數(shù)×間距（即總長(zhǎng)=棵數(shù)×間距）這一公式的本質(zhì)是“起點(diǎn)或終點(diǎn)的限制導(dǎo)致物體數(shù)量與間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)”。對(duì)比“兩端都栽”（棵數(shù)=間隔數(shù)+1）和“兩端不栽”（棵數(shù)=間隔數(shù)-1），“一端不栽”是連接兩種極端情況的中間狀態(tài)，其核心矛盾在于“是否保留一個(gè)端點(diǎn)”。3基礎(chǔ)練習(xí)的設(shè)計(jì)要點(diǎn)（2）對(duì)比辨析：同一路段，若兩端都栽需要幾棵？?jī)啥硕疾辉孕枰獛卓?？（答案?棵，5棵）在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容（3）逆向計(jì)算：若種了8棵樹（一端不栽），每隔4米一棵，小路總長(zhǎng)多少？（答案：32米，8×4=32）這些練習(xí)的目的是讓學(xué)生通過“正向-對(duì)比-逆向”的遞進(jìn)，明確“一端不栽”的公式與其他類型的區(qū)別，避免混淆。（1）直接應(yīng)用：一條30米長(zhǎng)的小路，每隔5米種一棵樹（起點(diǎn)不栽，終點(diǎn)栽），需要多少棵樹？（答案：6棵，30÷5=6）在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容在新授課階段，我通常會(huì)設(shè)計(jì)三組基礎(chǔ)題幫助學(xué)生鞏固模型：在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容02變式拓展：從“標(biāo)準(zhǔn)模型”到“真實(shí)情境”的遷移變式拓展：從“標(biāo)準(zhǔn)模型”到“真實(shí)情境”的遷移小學(xué)數(shù)學(xué)的價(jià)值不僅在于掌握公式，更在于用數(shù)學(xué)眼光觀察生活、用數(shù)學(xué)思維解決問題?！耙欢瞬辉浴钡淖兪骄毩?xí)，正是要打破“題目必須明確說‘一端不栽’”的思維定式，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜情境中抽象出模型。1變式類型一：封閉圖形中的“一端不栽”封閉圖形（如圓形、正方形）的植樹問題通常被歸為“棵數(shù)=間隔數(shù)”，但這一結(jié)論的前提是“首尾相連”。若封閉圖形中存在一個(gè)“缺口”（如圓形花壇的入口處不栽花），則轉(zhuǎn)化為“一端不栽”的模型。案例：一個(gè)周長(zhǎng)40米的圓形花壇，入口處（固定一點(diǎn)）不栽月季花，其余位置每隔2米栽一棵，需要多少棵？分析：圓形原本是封閉圖形，棵數(shù)=間隔數(shù)（40÷2=20棵），但入口處不栽，相當(dāng)于“去掉一個(gè)端點(diǎn)”，因此棵數(shù)仍為20棵？不，這里需要注意：封閉圖形的“首尾相連”本質(zhì)上是“兩端都栽且重合”，若去掉一個(gè)端點(diǎn)（入口不栽），則等同于“一端不栽”，間隔數(shù)仍等于棵數(shù)（40÷2=20棵）。學(xué)生容易誤認(rèn)為“封閉圖形減1”，需通過畫圖（將圓形展開成直線，入口處斷開）幫助理解。2變式類型二：非直線型的“一端不栽”除了直線型道路，“一端不栽”還可能出現(xiàn)在樓梯、走廊轉(zhuǎn)角等非直線場(chǎng)景中。例如，教學(xué)樓的樓梯共有10級(jí)臺(tái)階，從第2級(jí)開始放一盆綠蘿（第1級(jí)不放），每隔2級(jí)放一盆，需要多少盆？分析：臺(tái)階可看作線段上的點(diǎn)，第1級(jí)是“不栽端”，第2級(jí)到第10級(jí)是“可栽區(qū)間”?？傞g隔數(shù)為（10-1）÷2=4.5？不，這里需明確“間隔”是相鄰兩盆之間的臺(tái)階數(shù)。從第2級(jí)開始，每隔2級(jí)放一盆，即第2、4、6、8、10級(jí)，共5盆。本質(zhì)是“起點(diǎn)（第1級(jí)）不栽，終點(diǎn)（第10級(jí)）栽”，間隔數(shù)=盆數(shù)-1？不，這里容易混淆。實(shí)際上，從第2級(jí)到第10級(jí)共有9個(gè)臺(tái)階（10-2+1=9個(gè)點(diǎn)），每隔2級(jí)放一盆，相當(dāng)于間距為2個(gè)臺(tái)階，間隔數(shù)=（10-2）÷2=4，盆數(shù)=間隔數(shù)+1=5。但這與“一端不栽”的公式矛盾嗎？2變式類型二：非直線型的“一端不栽”不，因?yàn)檫@里的“起點(diǎn)”是第2級(jí)（可栽端），而“不栽端”是第1級(jí)（無關(guān)點(diǎn)），因此實(shí)際模型是“從第2級(jí)到第10級(jí)的直線上一端不栽”（終點(diǎn)第10級(jí)栽），所以間隔數(shù)=盆數(shù)，即（10-2）÷2=4個(gè)間隔，對(duì)應(yīng)4盆？但實(shí)際是5盆。這說明非直線場(chǎng)景需要更細(xì)致的“起點(diǎn)-終點(diǎn)”界定——當(dāng)“不栽端”不在目標(biāo)區(qū)間內(nèi)時(shí)，目標(biāo)區(qū)間的兩端是否栽樹才是關(guān)鍵。此案例中，目標(biāo)區(qū)間是第2級(jí)到第10級(jí)，兩端都栽（第2級(jí)和第10級(jí)都放），因此屬于“兩端都栽”，盆數(shù)=間隔數(shù)+1=（10-2）÷2+1=5盆。這提示我們：變式練習(xí)中需先明確“有效區(qū)間”的端點(diǎn)是否栽樹，避免因場(chǎng)景復(fù)雜導(dǎo)致模型誤判。3變式類型三：生活場(chǎng)景的“隱藏限制”生活中的“一端不栽”往往不會(huì)直接說明，而是隱含在條件中。例如：（1）路燈問題：某條街道一側(cè)有15盞路燈（起點(diǎn)有電線桿但無路燈，終點(diǎn)有路燈），每?jī)杀K路燈間距30米，街道總長(zhǎng)多少？（2）掛燈籠：小區(qū)樓道從3樓到7樓（3樓不掛，7樓掛），每層樓高3米，每隔1層掛一個(gè)燈籠，需要多少個(gè)？分析：路燈問題中，“起點(diǎn)無路燈”對(duì)應(yīng)“不栽端”，“終點(diǎn)有路燈”對(duì)應(yīng)“栽端”，因此路燈數(shù)=間隔數(shù)，總長(zhǎng)=15×30=450米。3變式類型三：生活場(chǎng)景的“隱藏限制”掛燈籠問題中，3樓到7樓共5層（7-3+1=5層），3樓不掛（不栽端），7樓掛（栽端），“每隔1層”即間距為1層，間隔數(shù)=7-3=4（層間隔），燈籠數(shù)=間隔數(shù)=4個(gè)（4樓、5樓、6樓、7樓？不，3樓不掛，4樓掛第一個(gè)，5樓第二個(gè)，6樓第三個(gè)，7樓第四個(gè)，共4個(gè)，符合間隔數(shù)=燈籠數(shù)）。這些練習(xí)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生從“文字描述”中提取“哪個(gè)端點(diǎn)不栽”的信息，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”能力。4變式類型四：逆向與綜合問題1當(dāng)題目給出棵數(shù)、總長(zhǎng)、間距中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量時(shí)，屬于逆向問題；當(dāng)與其他知識(shí)點(diǎn)（如周長(zhǎng)、時(shí)間計(jì)算）結(jié)合時(shí)，屬于綜合問題。2案例1（逆向）：公園小路一側(cè)種了20棵柳樹（終點(diǎn)不栽，起點(diǎn)栽），總長(zhǎng)180米，每?jī)煽昧鴺溟g距多少？3分析：“終點(diǎn)不栽，起點(diǎn)栽”屬于“一端不栽”，間隔數(shù)=棵數(shù)=20，間距=總長(zhǎng)÷間隔數(shù)=180÷20=9米。4案例2（綜合）：工程隊(duì)要在一條長(zhǎng)500米的公路一側(cè)安裝廣告牌（起點(diǎn)安裝，終點(diǎn)因有橋梁不安裝），每隔50米安裝一個(gè)，每個(gè)廣告牌安裝需要1.5小時(shí)，全部安裝完成需要多少小時(shí)？5分析：首先計(jì)算廣告牌數(shù)量（一端不栽，500÷50=10個(gè)），再計(jì)算總時(shí)間（10×1.5=15小時(shí)）。這里融合了“一端不栽”與“工程問題”，需分步解決。03易錯(cuò)診斷：學(xué)生常見錯(cuò)誤與干預(yù)策略易錯(cuò)診斷：學(xué)生常見錯(cuò)誤與干預(yù)策略在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生在“一端不栽”變式練習(xí)中常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤，需針對(duì)性干預(yù)：1錯(cuò)誤類型1：混淆“一端不栽”與其他類型表現(xiàn)：看到“不栽”就認(rèn)為是“兩端不栽”，或看到“栽”就認(rèn)為是“兩端都栽”。例如，題目說“起點(diǎn)不栽，終點(diǎn)栽”，學(xué)生可能錯(cuò)誤使用“兩端不栽”的公式（棵數(shù)=間隔數(shù)-1）。干預(yù)策略：（1）繪制“端點(diǎn)狀態(tài)表”：用“√”表示栽，“×”表示不栽，明確三種類型的區(qū)別：|類型|起點(diǎn)|終點(diǎn)|公式||------------|------|------|----------------||兩端都栽|√|√|棵數(shù)=間隔數(shù)+1||一端不栽|×|√|棵數(shù)=間隔數(shù)||兩端不栽|×|×|棵數(shù)=間隔數(shù)-1|1錯(cuò)誤類型1：混淆“一端不栽”與其他類型（2）通過“手勢(shì)記憶法”：用兩只手代表兩端，“都栽”雙手舉高，“一端不栽”放下一只手，“都不栽”雙手放下，幫助學(xué)生直觀區(qū)分。2錯(cuò)誤類型2：忽略實(shí)際場(chǎng)景的“隱含端點(diǎn)”表現(xiàn)：在非直線或封閉圖形問題中，學(xué)生可能遺漏“隱藏的端點(diǎn)”。例如，圓形花壇入口不栽花，學(xué)生可能直接用“封閉圖形棵數(shù)=間隔數(shù)”，但未考慮入口是否屬于“不栽端”。干預(yù)策略：（1）強(qiáng)調(diào)“畫線段圖”的重要性：將復(fù)雜場(chǎng)景簡(jiǎn)化為直線，標(biāo)出“不栽端”和“栽端”。例如，圓形花壇可展開成直線，入口處標(biāo)記為“×”，終點(diǎn)（與入口重合處）標(biāo)記為“√”，轉(zhuǎn)化為“一端不栽”的直線模型。（2）設(shè)計(jì)“對(duì)比練習(xí)”：同一總長(zhǎng)的圓形和直線，分別設(shè)置“入口不栽”和“起點(diǎn)不栽”，讓學(xué)生計(jì)算后對(duì)比結(jié)果，理解“封閉圖形展開后與直線的關(guān)聯(lián)”。3錯(cuò)誤類型3：逆向問題中單位或邏輯混亂表現(xiàn)：在已知棵數(shù)求總長(zhǎng)或間距時(shí)，學(xué)生可能混淆“間隔數(shù)”與“棵數(shù)”的關(guān)系，或計(jì)算時(shí)忽略單位統(tǒng)一。例如，題目中間距單位是“米”，總長(zhǎng)單位是“千米”，學(xué)生忘記轉(zhuǎn)換。干預(yù)策略：（1）強(qiáng)化“公式變形”訓(xùn)練：將基本公式“總長(zhǎng)=棵數(shù)×間距”變形為“間距=總長(zhǎng)÷棵數(shù)”“棵數(shù)=總長(zhǎng)÷間距”，通過填空練習(xí)（如“（）=總長(zhǎng)÷間距”）鞏固。（2）增加“單位換算”的前置練習(xí)：在變式題中加入單位不統(tǒng)一的情況（如總長(zhǎng)5千米，間距50米），要求學(xué)生先統(tǒng)一單位再計(jì)算。04分層練習(xí)：從“掌握”到“創(chuàng)造”的能力進(jìn)階分層練習(xí)：從“掌握”到“創(chuàng)造”的能力進(jìn)階為滿足不同學(xué)習(xí)水平學(xué)生的需求，變式練習(xí)需遵循“基礎(chǔ)-提升-拓展”的分層設(shè)計(jì)，逐步提高思維難度。1基礎(chǔ)層：鞏固模型識(shí)別設(shè)計(jì)意圖：通過明確“哪個(gè)端點(diǎn)不栽”，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“一端不栽”模型的識(shí)別，同時(shí)對(duì)比其他類型，深化理解。題目1：小區(qū)門口到超市有一條80米長(zhǎng)的路，門口有公交站（不栽樹），超市門口栽樹，每隔10米種一棵，需要多少棵樹？題目2：對(duì)比練習(xí)：同一路段，若小區(qū)門口栽樹、超市門口不栽，需要多少棵？若兩端都不栽，需要多少棵？2提升層：解決復(fù)雜場(chǎng)景問題題目1：學(xué)校環(huán)形跑道周長(zhǎng)300米，主席臺(tái)位置（固定一點(diǎn)）不插彩旗，其余位置每隔6米插一面，需要多少面彩旗？題目2：某棟樓從1樓到6樓（1樓不貼公告，6樓貼），每層樓高3米，每隔2層貼一張，需要多少張公告？設(shè)計(jì)意圖：涉及封閉圖形、樓層間隔等非直線場(chǎng)景，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜情境中抽象模型的能力。0102033拓展層：綜合應(yīng)用與創(chuàng)造題目1：市政部門要在一條長(zhǎng)2千米的公路一側(cè)安裝太陽能路燈（起點(diǎn)安裝，終點(diǎn)因隧道不安裝），計(jì)劃每隔50米安裝一個(gè)，每個(gè)路燈成本800元，預(yù)算15萬元是否足夠？題目2：發(fā)揮想象，設(shè)計(jì)一個(gè)“一端不栽”的生活問題（如掛燈籠、擺花盆等），并解答。設(shè)計(jì)意圖：融入成本計(jì)算、單位換算等綜合知識(shí)，以及“創(chuàng)造問題”的開放任務(wù)，提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新思維。05總結(jié)：把握本質(zhì)，讓變式練習(xí)“活”起來總結(jié)：把握本質(zhì)，讓變式練習(xí)“活”起來回顧整個(gè)“一端不栽”的變式練習(xí)設(shè)計(jì)，核心在于“抓住本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變”。所謂“本質(zhì)”，即“一端不栽”的數(shù)量關(guān)系——間隔數(shù)=棵數(shù)，其核心矛盾是“一個(gè)端點(diǎn)因?qū)嶋H限制無法栽樹，導(dǎo)致物體數(shù)量與間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)”。變式練習(xí)的目的，不是讓學(xué)生記憶更多“題型”，而是通過不同場(chǎng)景的變換，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)模型”是如何從生活中抽象出來，又如何應(yīng)用到生活中去的。正如數(shù)學(xué)家華