考研數(shù)學(xué)二歷年真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.函數(shù)f(x)=arcsin(x^2-x)在區(qū)間[-1,1]上的值域是A.[-π/2,π/2]B.[0,π]C.[-π/2,0]D.[0,π/2]答案：D2.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=3，則f'(0)等于A.3B.-3C.1/3D.-1/3答案：A3.函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，且極值為-1，則a和b的值分別是A.a=3,b=0B.a=3,b=-3C.a=0,b=-3D.a=0,b=3答案：B4.不定積分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx等于A.ln|x^2-1|+CB.ln|x^2+1|+CC.arctan(x)+CD.arctan(x)-ln|x^2-1|+C答案：D5.微分方程y''-4y'+4y=0的通解是A.y=(C1+C2x)e^2xB.y=(C1+C2x)e^-2xC.y=C1e^2x+C2e^-2xD.y=C1e^-2x答案：A6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且f(0)=f(1)，則存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=f(ξ+1/2)，這是由下列哪個(gè)定理保證的A.微積分基本定理B.中值定理C.泰勒定理D.羅爾定理答案：B7.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)收斂，級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n)是否收斂A.收斂B.發(fā)散C.無(wú)法確定D.條件收斂答案：B8.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則下列哪個(gè)說法是正確的A.f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值B.f(x)在[a,b]上必有極值C.f(x)在[a,b]上連續(xù)即有界D.f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)答案：C9.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則lim(x→0)(f(x)/x)等于A.f'(0)B.2f'(0)C.f'(0)/2D.不存在答案：A10.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分中值定理中的ξ等于A.ln(1/2)B.ln(2)C.1/2D.1答案：C二、多項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)的有A.f(x)=1/xB.f(x)=|x|C.f(x)=x^2D.f(x)=arcsin(x)答案：BCD2.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=e^x答案：BCD3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(1/n^3)答案：BCD4.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上可積的有A.f(x)=1/xB.f(x)=|x|C.f(x)=x^2D.f(x)=arcsin(x)答案：BCD5.下列說法中，正確的有A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則lim(x→0)(f(x)/x)等于f'(0)答案：ABD6.下列級(jí)數(shù)中，條件收斂的有A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n答案：CD7.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件的有A.f(x)=x^2-1B.f(x)=x^3-xC.f(x)=x^2-x+1D.f(x)=x^3-3x+2答案：BD8.下列說法中，正確的有A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則lim(x→0)(f(x)/x)等于f'(0)D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則lim(x→0)f(x)等于f(0)答案：ABCD9.下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的有A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n答案：BC10.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上滿足中值定理?xiàng)l件的有A.f(x)=x^2B.f(x)=1/xC.f(x)=|x|D.f(x)=arcsin(x)答案：ACD三、判斷題，(總共10題，每題2分)。1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。答案：正確2.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則lim(x→0)(f(x)/x)等于f'(0)。答案：正確3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。答案：正確4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)。答案：錯(cuò)誤5.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則lim(x→0)f(x)等于f(0)。答案：正確6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。答案：正確7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。答案：正確8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則lim(x→0)(f(x)/x)等于f'(0)。答案：正確9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)。答案：錯(cuò)誤10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。答案：正確四、簡(jiǎn)答題，(總共4題，每題5分)。1.簡(jiǎn)述中值定理的內(nèi)容及其幾何意義。答案：中值定理的內(nèi)容是：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。幾何意義是：在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線，如果除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，那么在這條曲線上至少有一點(diǎn)P，它的切線平行于連接曲線兩端點(diǎn)A和B的弦AB。2.簡(jiǎn)述級(jí)數(shù)收斂的必要條件。答案：級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：如果級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則必有l(wèi)im(n→∞)an=0。也就是說，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。3.簡(jiǎn)述羅爾定理的內(nèi)容及其幾何意義。答案：羅爾定理的內(nèi)容是：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。幾何意義是：在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線，如果除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，那么在這條曲線上至少有一點(diǎn)P，它的切線平行于x軸。4.簡(jiǎn)述定積分的定義。答案：定積分的定義是：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界，用分點(diǎn)a=x0<x1<...<xn=b將區(qū)間[a,b]任意分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]，在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi，作乘積f(ξi)Δxi，并作和S=∑(i=1ton)f(ξi)Δxi，如果當(dāng)各小區(qū)間的長(zhǎng)度最大值λ=max{Δxi}趨于零時(shí)，和S的極限存在，且極限值與區(qū)間[a,b]的分法及點(diǎn)ξi的取法無(wú)關(guān)，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作∫(atob)f(x)dx。五、討論題，(總共4題，每題5分)。1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性和極值。答案：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。在區(qū)間[-2,-1)上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間(-1,1)上，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間(1,2]上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=-1是極大值點(diǎn)，x=1是極小值點(diǎn)。極大值為f(-1)=2，極小值為f(1)=-2。2.討論級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n是否收斂，并說明理由。答案：級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)。根據(jù)萊布尼茨判別法，如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞減且趨于零，則級(jí)數(shù)收斂。對(duì)于級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n，|(-1)^n/n|=1/n，顯然單調(diào)遞減且趨于零。因此，級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n收斂。3.討論函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最值。答案：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。在區(qū)間[1,3]上，f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0。因此，函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最大值為0，最小值為-1。4.