2025?2026學(xué)年上學(xué)期北京初中數(shù)學(xué)九年級期末典型卷2一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）（2023秋?沈陽期末）1.如圖，在中，，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得出的長，再根據(jù)，代數(shù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵在中，，∴∴．故選：B．（2022秋?南城縣期中）2.如圖，，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若＝，DE＝4，則EF的長是（）A. B. C.1 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵∴，即，解得故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，熟悉定理是解題的關(guān)鍵．（2022秋?興城市期末）3.將的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律左加右減，上加下減進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且∠ABD=30°，BO=4，則的長為（）A. B. C.2π D.【答案】D【解析】【詳解】分析：先計(jì)算圓心角為120°，根據(jù)弧長公式=，可得結(jié)果．詳解：連接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的長==，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了弧長的計(jì)算和圓周角定理，熟練掌握弧長公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．（2025春?焦作月考）5.如圖，在正方形中，M，N分別為，邊上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)P，連接，Q為中點(diǎn)，連接，若，，則的長為（）A.7 B. C.9 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，由正方形性質(zhì)得，，然后通過同角的余角相等得，進(jìn)而證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，通過勾股定理求出，最后直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，在和中，為的中點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂直的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等等知識，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（2021秋?梧州期末）6.下列的各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)乘積應(yīng)等于系數(shù)5，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)5，A：；B：；C：；D：；∴點(diǎn)在圖象上，故選：C．（2023?鄄城縣二模）7.西安大雁塔音樂噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖出立坐標(biāo)系后，可由函數(shù)確定，其中1為實(shí)數(shù)．若其中某個(gè)噴泉水柱的最大高度是4，則此時(shí)對應(yīng)的t值為（）A.2 B.4 C.2或 D.4成【答案】C【解析】【分析】由可得其對稱軸為：，當(dāng)時(shí)，，即有，解方程即可求解．【詳解】由可得其對稱軸為：，根據(jù)，可知：當(dāng)時(shí)，，即有：，解得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，明確題意，得出當(dāng)時(shí)，，是解答本題的關(guān)鍵．（2024?海陵區(qū)校級三模）8.如圖，在等邊中，點(diǎn)F為邊上的中點(diǎn)，以F為頂點(diǎn)作一個(gè)的角交邊于D、E兩點(diǎn)，連接，則知道下列哪個(gè)條件就可以計(jì)算的周長（）A.的周長 B.的周長C.的周長 D.的周長【答案】D【解析】【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解答的關(guān)鍵．取的中點(diǎn)G，連接，在截取，連接，分別證明，得到，再證明得到，，，證明是等邊三角形，得到，，證明得到，進(jìn)而推導(dǎo)出，即可得出答案．【詳解】解：取的中點(diǎn)G，連接，在截取，連接，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)F為邊上中點(diǎn)，∴，則，即，又，∴，∴，又，，∴，∴，，則，∵點(diǎn)F為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，又，∴是等邊三角形，∴，，∴，，又，∴，∴，∴，則，故知道的周長就可以計(jì)算的周長．故選：D．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）（2024春?惠陽區(qū)期末）9.函數(shù)中，自變量的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)被開方式是非負(fù)數(shù)列式求解即可.【詳解】解：依題意，得，解得：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時(shí)字母的取值范圍一般從幾個(gè)方面考慮：①當(dāng)函數(shù)解析式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)解析式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．④對于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問題有意義．（2024秋?海州區(qū)期末）10.若，則_________．【答案】5【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)、分式方程的應(yīng)用，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)題意可得，再設(shè)，則，代入已知等式可得，解方程可得的值，然后進(jìn)行檢驗(yàn)，由此即可得．【詳解】解：由題意得：，設(shè)，則，∵，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，∴，故答案為：5．11.如圖，光源P在橫桿的上方，在燈光下的影子為，．若，，，那么______cm．【答案】9【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用及中心投影的知識，熟練掌握相似三角形并得到正確的比例式是解題的關(guān)鍵．由平行得到兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求解．【詳解】解：，，，，，，，，即，解得，故答案為：9．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）12.我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．根據(jù)定義：①等邊三角形一定是奇異三角形；②在中，，，,，且，若是奇異三角形，則；③如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，C、D在直徑的兩側(cè)，若在內(nèi)存在點(diǎn)E，使，，則是奇異三角形；④在③的條件下，當(dāng)是直角三角形時(shí)，．其中，說法正確的有_______．【答案】①③【解析】【分析】設(shè)等邊三角形的邊長為a，判斷等邊三角形是否滿足奇異三角形的定義；在中，由勾股定理可得，根據(jù)是奇異三角形，得，，代入求解；要證明是奇異三角形，只需證即可；由③可得是奇異三角形，所以，當(dāng)是直角三角形時(shí)，由②可得或，然后分兩種情況討論即可．本題主要考查了勾股定理、圓周角定理及推論、直角三角形的性質(zhì)，能牢固掌握以上知識點(diǎn)并綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)等邊三角形的邊長為a，則，滿足奇異三角形的定義，因此等邊三角形一定是奇異三角形，故①正確；在中，，、若是奇異三角形，則，即，故②錯(cuò)誤；在中，，是的直徑，，在中，，在中，，是半圓中點(diǎn)，，，、，，是奇異三角形，故③正確；由③可得是奇異三角形，當(dāng)是直角三角形時(shí)，由②可得或，當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，即，；的度數(shù)為或，故④錯(cuò)誤；故答案為：①③．（2023秋?思明區(qū)校級期中）13.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．（2023?長沙）14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則___________________．【答案】##【解析】【分析】由的幾何意義可得，從而可求出的值．【詳解】解：的面積為，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了k的幾何意義．用k表示三角形AOB的面積是本題的解題關(guān)鍵．（2025?南關(guān)區(qū)校級模擬）15.如圖，某幢樓的樓梯每一級臺階的高度為20厘米，寬度為30厘米，那么斜面的坡度為，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度的概念計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，∴斜面的坡度為，∴，故答案為：．（2023春?昆明期末）16.甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球賽訓(xùn)練，每局兩人進(jìn)行比賽，第三個(gè)人做裁判，每局都要分出勝負(fù)，勝方和原來的裁判進(jìn)行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次進(jìn)行，半天訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，甲共當(dāng)裁判5局，乙、丙分別進(jìn)行了8局、6局比賽，在這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共進(jìn)行了_______局比賽，其中最后一局比賽的裁判是_______（填甲或乙或丙）．【答案】①.9②.甲【解析】【分析】先確定了乙與丙打了5局，甲與乙打了3局，甲與丙打了1局，進(jìn)而確定三人一共打的局?jǐn)?shù)，可推導(dǎo)出甲當(dāng)裁判5局，乙當(dāng)裁判1局，丙當(dāng)裁判3局，甲當(dāng)裁判的局次只能是1、3、5、7、9，據(jù)此即可解答．【詳解】解：∵甲當(dāng)了5局裁判，∴乙、丙之間打了5局，又∵乙、丙分別共打了8局、6局，∴乙與甲打了局，丙與甲打了局，∴甲、乙、丙三人共打了局，又∵甲當(dāng)了5局裁判，而從1到9共5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，∴甲當(dāng)裁判的局為奇數(shù)局，∴最后一局比賽的裁判是：甲．故答案為：9，甲．【點(diǎn)睛】本題考查推理與論證，根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其存在的規(guī)律和方法，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式是解本題關(guān)鍵．三．解答題（共12小題，滿分68分）（2023?衢州模擬）17.計(jì)算：．【答案】0【解析】【分析】先化簡二次根式，計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，化簡二次根式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（2025?西安校級模擬）18.如圖，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)E在延長線上，連接，且，求的長．【答案】【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出，進(jìn)而證明是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，而，即可根?jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的長是．（2022秋?渝水區(qū)校級月考）19.在中，，點(diǎn)A在以為直徑的半圓外．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）在圖①中作弦，使；（2）在圖②中以為邊作一個(gè)的圓周角．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)進(jìn)行作圖，也考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理．（1）F點(diǎn)在D點(diǎn)處，由于及，則，因此；（2）連接、，它們相交于點(diǎn)H，連接交半圓于P點(diǎn)，延長交于O點(diǎn)，則，所以，因此．【小問1詳解】解：如圖①，即為所求；【小問2詳解】解：如圖②，即為所求．（2023秋?鼓樓區(qū)期末）20.求下列二次函數(shù)的表達(dá)式：（1）已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)；（2）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式：（1）設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式，把代入，即可求解；（2）設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為，把代入，即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式．根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，．∴．解得．∴所求表達(dá)式為．【小問2詳解】解：設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為．根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，．∴．解得．∴所求表達(dá)式為．（2025秋?錢塘區(qū)校級月考）21.如圖，一個(gè)弓形零件，高為，長．（1）請用直尺和圓規(guī)畫出弓形所在圓的圓心．（2）請計(jì)算弓形所在圓的半徑長．【答案】（1）圖見詳解（2）弓形所在圓的半徑長為．【解析】【分析】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．（1）在上取一點(diǎn)E，連接，作線段，的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求；（2）設(shè)，的垂直平分線交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．利用勾股定理構(gòu)建方程求解．【小問1詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求；【小問2詳解】解：設(shè)，的垂直平分線交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．，，∵，∴，在中，則有，解得，∴弓形所在圓的半徑長為．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）22.如圖，為了測量某樹的高度，小明在點(diǎn)處測得樹頂A的仰角為，他朝樹前行10米到達(dá)點(diǎn)處，又測得樹頂A的仰角為，已知點(diǎn)A，，，在同一平面內(nèi)，求樹的高度．（結(jié)果保留根號）【答案】米【解析】【分析】根據(jù)解直角三角形的方法，即可求解．【詳解】解：方法一：設(shè)米，在中，，，，在中，，，，，答：樹的高度為米．方法二：，，，，，在中，，，，答：樹的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意和圖形，采用適當(dāng)?shù)姆椒ń庵苯侨切问墙鉀Q本題的關(guān)鍵．（2023?小店區(qū)校級模擬）23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖像相交于點(diǎn)A，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，求的面積．【答案】（1）（2）35【解析】【分析】（1）將兩直線函數(shù)的解析式聯(lián)立，解方程組求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）通過反比例函數(shù)的解析式求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積差求解即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：，解得，則點(diǎn)，由于反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，得，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為；【小問2詳解】解：根據(jù)題意得：反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，即點(diǎn),把代入得，，則該直線與y軸的交點(diǎn)，因此，，即．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，直線交點(diǎn)的求法，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（2024?河南一模）24.如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，且，垂足是點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）連接DF，若，，求的長和的值．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】（1）連接，則，進(jìn)而得到，即，根據(jù)是的半徑，且，從而得出結(jié)論；（2）連接、，根據(jù)是的直徑得到，進(jìn)而得到根據(jù)題意得及，由得到，進(jìn)而得到，，據(jù)此解答即可．【小問1詳解】證明：連接，如圖：則，，，，，，于點(diǎn)，，是的半徑，且，是的切線；【小問2詳解】解：連接、，如下圖：是的直徑、的長是3，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（2024春?榆樹市校級月考）25.在“看圖說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境．學(xué)生公寓、閱覽室、超市依次在同一條直線上，閱覽室離學(xué)生公寓，超市離學(xué)生公寓．小琪從學(xué)生公寓出發(fā)，勻速步行了到閱覽室；在閱覽室停留后，勻速步行了到超市；在超市停留后，勻速騎行了返回學(xué)生公寓．給出的圖象反映了這個(gè)過程中小琪離學(xué)生公寓的距離與離開學(xué)生公寓的時(shí)間之間的對應(yīng)關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）填表：離開學(xué)生公寓的時(shí)間單位585087112離學(xué)生公寓的距離單位

（2）填空：①閱覽室到超市的距離為______；②小琪從超市返回學(xué)生公寓的速度為______；③當(dāng)小琪離學(xué)生公寓的距離為時(shí)，他離開學(xué)生公寓的時(shí)間為______．【答案】（1）；（2）①，②，③或．【解析】【分析】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確識圖．（1）觀察函數(shù)圖象即可得出答案；（2）根據(jù)閱覽室離學(xué)生公寓，超市離學(xué)生公寓可得答案；用路程除以時(shí)間可得速度；分兩種情況，分別可得小琪離學(xué)生公寓距離為時(shí)，他離開學(xué)生公寓的時(shí)間．【小問1詳解】解：（1）根據(jù)題意得：小琪從學(xué)生公寓出發(fā)，勻速步行到達(dá)離學(xué)生公寓的閱覽室，∴離開學(xué)生公寓的時(shí)間為，離學(xué)生公寓的距離是：，由圖象可知：離開學(xué)生公寓的時(shí)間為，離學(xué)生公寓的距離是，離開學(xué)生公寓的時(shí)間為，離學(xué)生公寓的距離是，故答案為：；【小問2詳解】解：閱覽室到超市的距離為：，故答案為：；小琪從超市返回學(xué)生公寓的速度為：，故答案為：；小琪從學(xué)生公寓出發(fā)，離學(xué)生公寓的距離為時(shí)，他離開學(xué)生公寓的時(shí)間為：，當(dāng)小琪從超市出發(fā)，離學(xué)生公寓的距離為時(shí)，他離開學(xué)生公寓的時(shí)間為：，故答案為：或．26.已知二次函數(shù)，且與x軸交于不同點(diǎn)M、N．（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，①求二次函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②將拋物線在之間的那部分函數(shù)圖象沿直線翻折，將拋物線翻折前后的這兩部分合記為圖象F，若直線過點(diǎn)，且與圖象F恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍；（2）若，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）①，頂點(diǎn)為；②或；（2）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）①代入A的坐標(biāo)，求得，即可求得解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；②畫出函數(shù)圖象，代入關(guān)鍵點(diǎn)，結(jié)合圖象即可求得n的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到根與m的不等式，解不等式即可，注意利用根的判別式確定m的取值范圍．【小問1詳解】解：①∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴二次函數(shù)為，∵，∴頂點(diǎn)為；②∵時(shí)，，時(shí)，，即函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴將拋物線在之間的那部分函數(shù)圖象沿直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，∵直線過點(diǎn)，∴，∴，∴，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線與圖象F恰有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線與圖象F恰有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線與圖象F恰有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，，解得，∴若直線過點(diǎn)，且與圖象F恰有兩個(gè)交點(diǎn)，n的取值范圍是或；【小問2詳解】設(shè)，令，則，二次函數(shù)，與x軸交于不同點(diǎn)M、N．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，又∵，∴，解得：∴，，∵，∴，∵，∴，∴時(shí)，不等式成立，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．（2020?海珠區(qū)校級自主招生）27.如圖1，在等邊三角形中，D為邊上一點(diǎn)，滿足，連接，以點(diǎn)A為中心，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在射線上．（1）求證：．（2）如圖2，若點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為F，直線交于點(diǎn)N，連接．①求證：．②若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）①見解析；②【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，利用證明，從而證明結(jié)論；（2）①設(shè)，則，得，分別表示出和的度數(shù)即可證明；②由（1）得，根據(jù)，可得，得方程，從而得出x的值．【小問1詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)可知：，∴，∴，在和中，，∴，∴；【小問2詳解】①證明：∵點(diǎn)B關(guān)于直線對稱點(diǎn)為F，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴；②解：∵點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為F，∴，∴，由①知，，如圖2，連接，則，，∵