第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二開學(xué)考試）在中，的對(duì)邊分別是，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角或直角三角形【答案】C【詳解】三角形中，，所以為鈍角，三角形為鈍角三角形．故選：C．2．（2022·福建·上杭縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，某登山隊(duì)在山腳處測(cè)得山頂?shù)难鼋?，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000米后到達(dá)處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋?，則山高為（

）A．米 B．1000米C．米 D．米【答案】B【詳解】在中，故選：B3．（2022·甘肅武威·高一期末）“寶塔有灣灣有塔，瓊花無觀觀無花”，這寶塔即為文峰寶塔，文峰塔是水陸交通進(jìn)出揚(yáng)州的標(biāo)志，此塔最宜登高遠(yuǎn)眺，俯觀塔下殿宇靜謐安詳，運(yùn)河流淌，形成動(dòng)靜對(duì)比.某個(gè)學(xué)生想要測(cè)量塔的高度，選取與塔底在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為（

）米.A． B． C． D．【答案】D【詳解】在三角形中：，由正弦定理得，在中，米.故選：D4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)，間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與，不共線的一點(diǎn)，然后給出了三種測(cè)量方案(的角，，所對(duì)的邊分別記為，，)：①測(cè)量，，；②測(cè)量，，C；③測(cè)量，，．則一定能確定，間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2C．1 D．0【答案】A【詳解】對(duì)于①，利用內(nèi)角和定理先求出，再利用正弦定理解出；對(duì)于②，直接利用余弦定理即可解出；對(duì)于③，先利用內(nèi)角和定理求出，再利用正弦定理解出．故選：A.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩座燈塔和與海岸觀察站的距離相等，燈塔在觀察站北偏東，燈塔在觀察站南偏東，則燈塔在燈塔的（

）A．北偏東 B．北偏西C．南偏東 D．南偏西【答案】B【詳解】燈塔，的相對(duì)位置如圖所示，由已知得，，則，即北偏西．故選：B.6．（2022·浙江·高一期中）一海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【詳解】解：如圖，作出，由題意可知，海里，，則，因?yàn)?，所以海里，即B，C兩點(diǎn)間的距離是海里.故選：C.7．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））釋迦塔全稱佛宮寺釋迦塔?位于山西省朔州市應(yīng)縣城西北佛宮寺內(nèi)，俗稱應(yīng)縣木塔?建于遼清寧二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南宋慶元一年公元1195年）增修完畢，是世界上現(xiàn)存唯一最古老最高大之木塔，為了測(cè)量釋迦塔的高度，某同學(xué)在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂D的仰角為45°，然后沿點(diǎn)A向塔的正前方走了50到達(dá)點(diǎn)M處，此時(shí)測(cè)得塔頂D的仰角為75，據(jù)此可估計(jì)釋迦塔的高度約為（

）A．65.8 B．68.3 C．68.9 D．69.1【答案】B【詳解】根據(jù)題意，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，如圖所示，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理可知，即解?在中，.所以釋迦塔的高度約為，故選：B.8．（2022·四川省德陽中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））已知輪船和輪船同時(shí)從島出發(fā)，船沿北偏東的方向航行，船沿正北方向航行（如圖）．若船的航行速度為，后，船測(cè)得船位于船的北偏東的方向上，則此時(shí)，兩船相距（

）．A． B．40 C． D．【答案】B【詳解】解：由圖所示：由題意可知：，，，由正弦定理可知：，所以，所以，即此時(shí)，兩船相距；故選：B二、多選題9．（2022·安徽池州·高一期末）如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．A、D之間的距離為海里C．A、B兩處島嶼間的距離為海里D．B、D之間的距離為海里【答案】BC【詳解】解：由題意可知，，，，，所以，故A錯(cuò)誤；，在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正確；在中，因?yàn)?，，所?海里)，故D錯(cuò)誤；在中，由余弦定理得，(海里)，故C正確.故選：BC.10．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二開學(xué)考試）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為.貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是 B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南 D．在燈塔的北偏西【答案】ABC【詳解】在中，由已知得，，則，．由正弦定理得，所以處與處之間的距離為，故A正確；在中，由余弦定理得，，又，解得．所以燈塔與處之間的距離為，故B正確，，，燈塔在處的西偏南，故C正確；燈塔在的南偏東，在燈塔的北偏西，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．三、填空題11．（2022·江西九江·高一期末）某人在C點(diǎn)測(cè)得某直塔在南偏西，塔頂A的仰角為，此人沿南偏東方向前進(jìn)到D，測(cè)得塔頂A的仰角為，D，C與塔底O在同一水平面上，則塔高為______________．【答案】【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示，設(shè)塔高為，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去）．故答案為：10m.12．（2022·河南河南·模擬預(yù)測(cè)（理））微型航空遙感技術(shù)以無人機(jī)為空中遙感平臺(tái)，為城市經(jīng)濟(jì)和文化建設(shè)提供了有效的技術(shù)服務(wù)手段.如圖所示，有一架無人機(jī)在空中處進(jìn)行航拍，水平地面上甲、乙兩人分別在處觀察該無人機(jī)（兩人的身高忽略不計(jì)），為無人機(jī)在水平地面上的正投影.已知甲乙兩人相距100m，甲觀察無人機(jī)的仰角為，若再測(cè)量兩個(gè)角的大小就可以確定無人機(jī)的飛行高度，則這兩個(gè)角可以是_____.（寫出所有符合要求的編號(hào)）①和；②和;③和；④和.【答案】①③④【詳解】①：當(dāng)已知和時(shí)，在利用內(nèi)角和定理和正弦定理可得AC，然后在中，由三角函數(shù)定義可得PC，故①正確；②：當(dāng)已知和時(shí)，在已知一角一邊，在中已知一角一邊，顯然無法求解，故②錯(cuò)誤；③：當(dāng)已知和時(shí)，在中已知兩角一邊，可解出PA，然后在中，由三角函數(shù)定義可得PC，故③正確；④：當(dāng)已知和時(shí)，可先由最小角定理求得，然后解可得AC，最后在中，由三角函數(shù)定義可得PC，故④正確.故答案為：①③④四、解答題13．（2022·山東省臨沂第一中學(xué)高一開學(xué)考試）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面示意圖，雪道分為兩部分，小明同學(xué)在點(diǎn)測(cè)得雪道的坡度，在點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的俯角．若雪道長為270m，雪道長為260m．(1)求該滑雪場(chǎng)的高度h；(2)據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少，且甲設(shè)備造雪所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．【答案】(1)235m(2)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是．（1）解：過作，過作，兩直線交于，過作垂直地面交地面于，如圖：根據(jù)題知，∴．∵BC的坡度，∴．設(shè)，則，∵，∴，解得（負(fù)值已舍去），∴，所以，該滑雪場(chǎng)的高度h為235m．（2）解：設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，也符合題意，∴．所以，甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是．14．（2022·全國·高一）“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平于2005年8月在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，隨著生態(tài)環(huán)境治理的不斷加強(qiáng)，園林局美化城市的功能日益凸顯．時(shí)值中國共產(chǎn)黨成立100周年之際，某市園林局計(jì)劃把一塊形狀為等邊三角形的邊角地開辟為特種花草栽種基地，如圖，邊角地是邊長為100米的等邊三角形，根據(jù)實(shí)際情況，需在基地修一條直行道路在邊上，在邊上．(1)若把基地分成周長相等的兩部分，設(shè)的長為米，試把的面積表示為的函數(shù)，并求出的定義域及的最大值；(2)若把基地分為面積相等的兩部分，當(dāng)取多長時(shí)，道路最短．【答案】(1)；定義域?yàn)?；（平方米?2)米（1）由題知：，因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以（平方米）．（2）設(shè)的長為x米由題意，所以由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)取米時(shí)，道路最短．B能力提升15．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）康平滕龍閣，位于康平縣中央公園中心，建在有“敖包朝霞”之稱的敖包山舊址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量滕龍閣的高度，在滕龍閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為8米，在地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A，滕龍閣頂部C的仰角分別為和60°，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為30°，試替小明求滕龍閣的高度？（精確到0.01米）【答案】37.86米【詳解】解：由題意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，.答：滕龍閣的高度約為37.86米.16．（2022·四川成都·高一期中（文））如圖所示，一艘海輪在海面上的C處發(fā)現(xiàn)兩座小島A，B，測(cè)得小島A在C的北偏東15°的方向上，小島B在C的北偏東60°的方向上，海輪從C處向正東方向航行100海里后到達(dá)D處