專題04函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用（一題多變）【典例展示】已知函數(shù)，其中．（1）若，求a的值．（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求a的取值范圍．【思路分析】本例是函數(shù)單調(diào)性研究中的常見題型，將函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍綜合考查．對于第（1）問，由題意建立a的方程，簡單易解；第（2）問則必須扣住單調(diào)性定義關(guān)鍵之處，即對差式的恒等變形、判斷．對于這類代數(shù)式，“分子有理化”是明智之舉．即將該式乘并除以，獲得正確的結(jié)論．第（3）問的實(shí)質(zhì)就是恒成立的狀況下求a的取值范圍，從恒成立出發(fā)，根據(jù)得解．【精細(xì)解析】（1）解：由，可得，解得．（2）證明：若，任?。撸?，∴．∵，∴．∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．（3）解：任取，，∵單調(diào)遞增，∴，又，那么恒成立．而，∴．【題后反思】本題是函數(shù)單調(diào)性研究中的常見題型，將函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍綜合考查．其中第（2）問中緊扣函數(shù)單調(diào)性的定義，遵循“設(shè)--作差--變形--定號--結(jié)論”的解題步驟，并就這類代數(shù)式的變形，給出“分子有理化”的一般方法，值得學(xué)習(xí)借鑒.第（3）問實(shí)質(zhì)就是恒成立的條件下求參數(shù)的取值范圍，具體因題而異，不能拘泥于本題的解法，在后續(xù)的變式中將有所體現(xiàn).【追根溯源】1．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是一個重要的概念模型．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對于屬于定義域D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當(dāng)時，都有（或），則在這個區(qū)間上是增（或減）函數(shù)．若函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．2．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同增異減”（內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相異，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)；）．定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，變通法或復(fù)合函數(shù)法是判斷單調(diào)性的重要方法．3．與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題類型較多，主要有由函數(shù)單調(diào)性定義判斷或證明某一函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；通過圖像或運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解（證明）不等式；比較數(shù)或式的大?。惶接懞瘮?shù)的最值（值域）；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（范圍）等．【變化角度】改變函數(shù)的表達(dá)形式，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在指定區(qū)間單調(diào)且恒為正數(shù)，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求參數(shù)范圍.已知函數(shù)（且）．（1）用定義證明函數(shù)在上為增函數(shù)．（2）設(shè)函數(shù)，若是的一個單調(diào)區(qū)間，且在該區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【思路分析】第（1）問，遵循“設(shè)--作差--變形--定號--結(jié)論”的一般步驟，其中變形一步按“提取公因式法”，將差式化為乘積的形式.第（2）問，計(jì)算可得，關(guān)注其“圖象開口方向、對稱軸、給定區(qū)間、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)值正負(fù)”等，分類列關(guān)于m的不等式組，求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）證明：設(shè)，．∵，∴，．∴．∴函數(shù)在上為增函數(shù)．（2）解：，對稱軸，定義域．（?。┰谏蠁握{(diào)遞增且，有．（ⅱ）在上單調(diào)遞減且，有無解．綜上，m的取值范圍為．【變換角度】變具體函數(shù)為抽象函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且滿足．若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路分析】本題要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，從出發(fā)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，實(shí)質(zhì)也就是解此不等式，其變形重點(diǎn)在于將其化為兩個函數(shù)值的不等關(guān)系，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的具體不等式.由，及，得到．從而將化為．【詳解】∵，且，∴．又，∴．再由，可知．∵是定義在上的增函數(shù)，∴解得，即．【變換角度】變具體函數(shù)為抽象函數(shù)關(guān)系，證明函數(shù)的單調(diào)性，并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.的定義域?yàn)?，且對一切，都有，?dāng)時，有．（1）求的值．（2）判斷的單調(diào)性并證明．（3）若，解不等式．【思路分析】本題是抽象函數(shù)單調(diào)性的探究與應(yīng)用．第（1）問是單調(diào)性的探究與證明，應(yīng)用已知條件，確定>0，達(dá)到證明函數(shù)單調(diào)性的目的；第（2）問則是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.問題的關(guān)鍵在于將化為兩個函數(shù)值間的不等關(guān)系.應(yīng)用已知條件可得．從而原不等式化為，問題得解．【詳解】（1）解：．．（2）解：增函數(shù)．證明如下：設(shè)，則由，得．∵，∴．∴，即在上是增函數(shù)．（3）解：∵，∴．原不等式化為．∵在上是增函數(shù)，∴解得．【變換角度】變更函數(shù)為分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路分析】本題是分段函數(shù)，其在R上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)從整體上考慮，這一點(diǎn)不能疏忽.根據(jù)a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，必須對與兩種情況分類討論，以下解答即按此思路給出.事實(shí)上，若，指數(shù)函數(shù)段為減函數(shù)，因此，一次函數(shù)段必須也為減函數(shù)，即，而這是不可能的.故本題還可以先判斷出與不可能同時成立，而使解題過程簡化．【詳解】（?。┊?dāng)時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，同時必須滿足解得．（ⅱ）當(dāng)時，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，此時應(yīng)有即無解．綜合（ⅰ）和（ⅱ）可知，，取a的取值范圍為．（2024·上海黃浦·二模）1．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和兩種情況下恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值求解即可.【詳解】當(dāng)時，恒成立，即恒成立，當(dāng)時，上式成立；當(dāng)，，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，則在上恒成立，又開口向下，對稱軸為，所以的最大值為，所以，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.（23-24高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）2．定義在上的函數(shù)滿足：，且成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)單調(diào)性的定義得到在上單調(diào)遞減，結(jié)合，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，且，都有，即對任意兩個不相等的正實(shí)數(shù)，不妨設(shè)，都有，所以有，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且.當(dāng)時，不等式等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故選：C（23-24高一上·湖南邵陽·階段練習(xí)）3．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可由分類討論，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由于和均在單調(diào)遞增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，所以，解得，當(dāng)時，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，若在上單調(diào)遞增，則，解得，當(dāng)時，，此時，顯然滿足在上單調(diào)遞增，綜上，．故選：B（2000·廣東·高考真題）4．設(shè)函數(shù)，其中．(1)解不等式；(2)證明：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由題知，進(jìn)而得，將問題轉(zhuǎn)化為，再分，兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】（1）解：，等價于，所以，，即，其中所以，所以，原不等式等價于，所以，當(dāng)時，不等式的解集為；

當(dāng)時，不等式的解集為.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；（2）解：當(dāng)時，，設(shè)，且，所以，因?yàn)榍?，所以，，，所以，，即，所以，?dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).（23-24高一上·北京·期中）5．設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，，對任意總有成立.(1)求與的值；(2)求使成立的的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用賦值法計(jì)算可得；（2）依題意可將不等式化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及定義域?qū)⒑瘮?shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】（1）因?yàn)閷θ我獾目傆谐闪ⅲ?，可得，則，又，令，則.（2）因?yàn)?，，所以不等式即，又函?shù)是定義在上的增函數(shù)，所以，解得，即的取值范圍為.6．已知定義在上且，，當(dāng)a，，時，有．(1)試判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明該結(jié)論．(2)設(shè)，求證：．(3)若，求x的取值范圍．【答案】(1)增函數(shù)，證明見解析；(2)證明見解析(3)．【分