時間序列分析張成思

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第12章非線性時間序列模型

12.1非線性時間序列模型背景介紹

12.2馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型

12.3門限模型

12.1非線性時間序列模型背景介紹

時間序列變量，特別是高頻時間序列變量，經(jīng)常表現(xiàn)出與較低頻率的時間序列變量明顯不同的特征。所以，對高頻金融數(shù)據(jù)進行建模，往往與一般的時間序列分析方法存在差別。

這是因為，隨著時間的變化，宏觀政策的調(diào)整和經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的可能變化，能夠造成計量模型內(nèi)的系數(shù)發(fā)生變化。換言之，不同時期或者區(qū)制對應(yīng)的模型系數(shù)可能會發(fā)生改變。而捕捉這種系數(shù)變化的重要模型之一，就是帶有狀態(tài)變量的區(qū)制轉(zhuǎn)移模型。

非線性模型的一個重要表象就是可能出現(xiàn)“狀態(tài)”的轉(zhuǎn)變。這種狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，有時候也被稱為“區(qū)制”的轉(zhuǎn)變，可以用來捕捉金融時間序列模型中可能存在的結(jié)構(gòu)性變化。12.2馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型

12.2.1背景介紹

近年來，非線性模型的發(fā)展使得其在經(jīng)濟和金融時間序列分析領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用。特別是區(qū)制轉(zhuǎn)移模型，在經(jīng)濟、金融領(lǐng)域得到越來越多的重視。例如，馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型可以用來分析宏觀經(jīng)濟周期。Hamilton(1989)的文獻應(yīng)該算得上是MS模型的開創(chuàng)性文獻，而且利用Hamilton的馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型獲得的經(jīng)濟周期與NBER給出的經(jīng)濟周期基本上是完全吻合的。

基于Hamilton的重要貢獻，馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型也經(jīng)常被稱為Hamilton模型。正如前面介紹過的，在MS模型中，區(qū)制有時候也稱為“狀態(tài)”。

12.2.2馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移概率問題

MS模型所表示的內(nèi)容是不同時期的不同狀態(tài)。

在只涉及兩個狀態(tài)的MS模型中，轉(zhuǎn)移概率的定義可以寫成：

模型12.1可以用矩陣表示為：

這里，以不同狀態(tài)下對應(yīng)的概率所組成的矩陣P，稱為轉(zhuǎn)移矩陣。

模型(12.1)也可以寫成另一種形式:

實際上，模型(14.3)的這種表達形式給出了狀態(tài)變量

與所謂的馬爾可夫鏈（MarkovChain）的聯(lián)系，而馬爾可夫鏈的定義可以寫成：

從上面的介紹不難看出，一階的MS模型，在t時刻的狀態(tài)

只與t-1時刻的狀態(tài)

有關(guān)。

12.2.3馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型介紹在更一般的情況下，區(qū)制轉(zhuǎn)移模型可以寫成如下形式其中：、

和

分別表示因變量、自變量矩陣以及系數(shù)矩陣。

12.2.4狀態(tài)變量的屬性MS模型中不同區(qū)制（狀態(tài)）持續(xù)的時間、區(qū)制的期望、區(qū)制的向量表示形式以及利用向量形式的區(qū)制形式預(yù)測未來的狀態(tài)，是狀態(tài)變量屬性中最重要的幾個方面，我們下面分別進行介紹。

12.2.4.1區(qū)制的久期區(qū)制的持續(xù)期，是指在某個區(qū)制或者狀態(tài)下持續(xù)的時間長度。所以，利用區(qū)制持續(xù)期可以衡量模型在不同狀態(tài)下持續(xù)的時間。例如，從模型(13.1)可以看出，對于

，概率p的值越高，從當前的狀態(tài)“1”轉(zhuǎn)換到狀態(tài)“0”的可能性越小。舉例來說，如果變量

表示經(jīng)濟增長率變量，并假設(shè)

表示經(jīng)濟衰退狀態(tài)，而

對應(yīng)經(jīng)濟擴張狀態(tài)。那么，如果

從

轉(zhuǎn)移到

的狀態(tài)時，就代表著經(jīng)濟從t時期的衰退期轉(zhuǎn)變到了t+1時期的擴張時代。在進入下一個衰退期之前，擴張狀態(tài)持續(xù)的時間就是

對應(yīng)的持續(xù)期。

時刻標志著擴張狀態(tài)的開始，假定這樣的狀態(tài)持續(xù)到

時刻為止，則所以，區(qū)制“1”持續(xù)期的期望可以寫成：（14.12）

同理，如果假設(shè)就可以求出區(qū)制“0”持續(xù)期的期望，即：

12.2.4.2區(qū)制的期望

關(guān)于區(qū)制或者說狀態(tài)變量的期望，實際上分為條件期望和無條件期望。我們先來討論簡單的條件期望，然后在介紹區(qū)制的向量表示形式之后再介紹無條件期望。在兩個區(qū)制的情況下，區(qū)制的取值只有0和1。所以，在給定一個區(qū)制的條件下，就可以確定另一個區(qū)制對應(yīng)的期望值。

例如，如果

，那么從模型(12.1)可知，

與

的概率分別是p和1-p。這樣，狀態(tài)

的條件期望可以寫成：

如果

，那么

與

的概率分別是q和1-q，則有：定義如下矩陣：

進而：

結(jié)合轉(zhuǎn)移概率矩陣(12.2)，可得

同時，利用模型(12.16)可知：

再結(jié)合模型(12.14)和(12.15)，可得：

可以定義一個隨機擾動項

，使得

滿足：

這樣，可以把模型(12.19)重新寫成VAR(1)模型的形式，即：

在一階MS模型中，我們還可以得到比模型(12.23)更一般的結(jié)論，即：無條件期望對應(yīng)的是其中一個狀態(tài)的期數(shù)占總共狀態(tài)期數(shù)的比重。我們知道，對于只有兩個狀態(tài)的MS模型來說，在每一個時刻點，只有一個狀態(tài)，也只有一個擾動項。從模型(12.16)和(12.21)，我們得到：

這個VAR模型系統(tǒng)對應(yīng)的兩個分等式給出的是：

因為概率p和q都介于0與1之間，所以：

對于模型(12.29)，不等式兩端的情形（-1和1）分別對應(yīng)的是兩個特殊情況。當

時，對應(yīng)的是p和q都為0的情況。在這種情況下，每個時刻點都發(fā)生區(qū)制轉(zhuǎn)移。

而當

時，對應(yīng)的是p和q都為1的情況。此時，區(qū)制轉(zhuǎn)移不再發(fā)生。

除了這兩種極端情況之外，(12.28)是平穩(wěn)序列。利用AR模型的性質(zhì)，我們可以獲得狀態(tài)

的無條件期望，即

12.2.4.3區(qū)制的預(yù)測

利用模型(12.21)以及第8章介紹的VAR模型的屬性，得到下列等式：因為模型(12.24)知道,

所以：如果假設(shè)現(xiàn)在處在狀態(tài)1，那么未來1期轉(zhuǎn)移概率可以分別計算為：和

12.2.5區(qū)制的推斷問題

貝葉斯定理（BayesianRule）

（14.33）

假設(shè)

代表到樣本端點時刻T時的所有信息集，序列

的初始值

已知，并且在時刻t，區(qū)制為

。故有：結(jié)合貝葉斯定理，可得：

由于

只能取0或者1，所以

可以通過分別與這兩個可能取的值對應(yīng)的兩個聯(lián)合概率密度函數(shù)的和:

當我們考慮更一般的情況時，則可以把模型(12.34)拓展為：其中：

我們可以通過模型(12.36)到(12.38)，來獲得從

的概率

。這些概率一般被稱為區(qū)制的濾波概率。而與濾波概率相對的另一個相關(guān)的概率是“平滑概率”，定義為

。

在MS模型應(yīng)用中，這些平滑概率有著極為重要的作用。

12.2.6馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型的估計與假設(shè)檢驗

假定我們考慮的序列為,樣本大小為,條件密度函數(shù)是,其中

,表示待估計的系數(shù)矩陣。

若區(qū)制轉(zhuǎn)移發(fā)生在,對于前

個觀測值,對應(yīng)的密度函數(shù)為

.對于剩下的

個觀測值,對應(yīng)的密度函數(shù)為.與MS模型對應(yīng)的似然函數(shù)就是：

兩個區(qū)制對應(yīng)的密度函數(shù)可以寫成：為消掉這個密度函數(shù)中的未知狀態(tài)變量以使用,利用平滑概率

和條件密度函數(shù),可以獲得：加總所有可能的狀態(tài)變量值,就獲得了

。從而,我們可以獲得條件似然函數(shù)：

（14.42）

假定條件概率

為固定值,這樣也就是把它也看作一個系數(shù)。如果仍然假設(shè)正態(tài)分布的擾動項,則似然函數(shù)可以寫成：假設(shè)我們研究的序列

可以使用一個AR(p)模型來刻畫其動態(tài)過程，并且該AR模型為一個馬爾可夫過程，AR模型的系數(shù)、均值和方差都出現(xiàn)區(qū)制轉(zhuǎn)移，即：密度函數(shù)就可以寫成：從而可以進一步獲得模型(14.42)對應(yīng)的條件似然函數(shù)。

獲得了似然函數(shù)之后，對于一個MS模型,其估計方法可以使用準最大似然估計。當然在估計過程中,除了模型中的系數(shù)之外,平滑概率也是一個需要估計的變量。當模型的系數(shù)估計出來之后，一般情況下我們可以利用傳統(tǒng)的假設(shè)檢驗方法，檢驗?zāi)Ｐ椭懈鱾€系數(shù)的顯著性。

12.3門限模型門限模型的核心不涉及概率轉(zhuǎn)移矩陣，而是根據(jù)設(shè)定的門限，來分析模型在不同區(qū)制的變化。在門限模型中，區(qū)制的變化可以體現(xiàn)在模型在兩個不同狀態(tài)下的變化，也可以是平滑性的變化。一般以自回歸模型為研究對象，所以前者對應(yīng)的是門限自回歸模型，而后者對應(yīng)的是平滑自回歸模型。

12.3.1門限自回歸模型

假設(shè)對于一個AR(1)模型，如果其均值在某個時刻發(fā)生變化，這種情況就是門限模型的一種。如圖12-2所示，對于一個樣本為T的

序列，在d時刻之前均值為

，而在d時刻后，其均值跳躍到

。這樣我們可以把AR(1)模型寫成：更一般地，TAR模型可以寫成如下形式:圖12-2均值發(fā)生區(qū)制轉(zhuǎn)移的yt序列與其均值變化圖示圖12-2均值發(fā)生區(qū)制轉(zhuǎn)移的yt序列與其均值變化圖示

TAR模型與MS模型的設(shè)立不同,TAR模型不涉及轉(zhuǎn)移概率矩陣,而是利用一個門限值,(如),來區(qū)分不同的狀態(tài)。例如,假設(shè)存在一個分割點d,在

之前和之后發(fā)生區(qū)制轉(zhuǎn)變，那么：

現(xiàn)在,如果要估計模型(12.43)，我們需要確定門限值和分割點d是否為已知的。如果這兩個變量均為給定的,那么就可以利用OLS分別對不同區(qū)制內(nèi)的模型進行回歸估計。在估計之后還可以利用傳統(tǒng)的假設(shè)檢驗來檢驗區(qū)制是否確實發(fā)生轉(zhuǎn)變。例如，可以使用F檢驗，即：

其中：

和

分別表示有約束條件和無約束條件下對應(yīng)的殘差平方和,表示約束條件的個數(shù)(如發(fā)生區(qū)制變化的系數(shù)的個數(shù)),表示包括常數(shù)項在內(nèi)的自變量的個數(shù)。注意,當d和

都未知或者其中有一個未知時,由于干擾系數(shù)問題,待檢驗統(tǒng)計量不再服從F分布,從而F檢驗不再適用。例如,如果d已知,而

未知,可以利用搜索方法。如果這兩個變量都未知,仍然可以利用搜索方法獲得。此時門限模型的估計和檢驗,可以使用Andrews(1993)和AndrewsandPloberger(1994)的SupWald