2025屆廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)高三調(diào)講測試（二）數(shù)學(xué)試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的

概率為

11

A.

23612

2.已知整數(shù)MV滿足/+y2?]0,記點M的坐標(biāo)為（x,y）,則點M滿足工+），之6的概率為（）

9657

A.—B.—C.—D.—

35353737

3.設(shè)/*）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)iNO時，/（x）=k）g2（x+l）+or2一。+1（。為常數(shù)），則不等式/（3x+4）＞-5

的解集為（）

A.（YO、-1）B.（—1,+＜?）C.（—＜?,—2）D.（-2,-KO）

4.已知函數(shù)〃#=（92,藝.有三個不同的零點孫心刈（其中必＜刈＜由），則（/%）2（/上）的值為（）

A,1B,-1c,aD.

5.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何

體的表面積是（）

俯視圖

A.16加+16乃

B.16逝+8〃

C.8a+16乃

D.8夜+8萬

6.過拋物線￡：/=2〃），（〃>0）的焦點尸作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)尸為拋物線上的一動點，Q（l,2）,若

磊+冊《則S+I陽的最小值是〈）

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，雙曲線C：T—3=1,>0力〉0）的左，右焦點分別是6（—。,0）,乙化,0）,直線y二五與雙曲線。的兩

TT

條漸近線分別相交于兩點.若/8￡瑪=5,則雙曲線。的離心率為（）

R4及

A.2!1.---------------

3

C.V2。譽

8.如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形A8C。，將平行四邊形ABCO沿對角線8。折起，使平面

A3O_L平面BCD,則直線AC與3。所成角余弦值為（）

2血

B瓜石

3V

9.阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個“圓

22

柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的彳，且球的表面積也是圓柱表面積的彳”這

33

一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為24〃，則該圓柱的內(nèi)切球體積為（）

4“1632

A.-7tB.164C.—兀D<—71

333

/5萬、

10.己知函數(shù)/（x）=Asin（〃）x+0）（其中A>0,<y>0,0<。<不）的圖象關(guān)于點M,0成中心對稱，且

112/

與點M相鄰的一個最低點為N（稱3）,則對于下列判斷：

①直線尸］是函數(shù)/（x）圖象的一條對稱軸；

②點［一卷，。］是函數(shù)/（X）的一個對稱中心；

V

③函數(shù)）=1與k/（”（4--等）的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為7冗.

其中正確的判斷是（）

A.①@B.①@C.②③D.①②?

11.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)〃7+工（〃?￡/?）是純虛數(shù)，則，〃的值為（）

3+1

A.-3B.-1C.1D.3

12.下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①已知函數(shù)/"）是一次函數(shù)，若數(shù)列｛%｝通項公式為q=/（〃），則該數(shù)列是等差數(shù)列；

②若直線/上有兩個不同的點到平面。的距離相等，貝!1///。；

③在AABC中，"cosA>cosB”是“B>A”的必要不充分條件；

④若。>0/>0,2。+〃=4,貝ij/?的最大值為2.

A.1B.2C.3D.0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)f（x）=d*過點P（60）且平行于y軸的直線與曲線C：y=/（x）的交點為Q,曲線C過點。的切

線交x軸于點K,若S（L/（1））,則△PKS的面積的最小值是____.

21I

14.假設(shè)10公里長跑，甲跑出優(yōu)秀的概率為；，乙跑出優(yōu)秀的概率為不，丙跑出優(yōu)秀的概率為一，則甲、乙、丙三

人同時參加10公里長跑，剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.

15.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，S〃=2（4+1）,則滿足S〃二-126的正整數(shù)〃的值為.

是否合格

不合格合格總計

性別

男生

女生

總計

(II)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取10人進行座談，現(xiàn)再從這10人中任選4

人,記所選4人的量化總分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(m)某評估機構(gòu)以指標(biāo)M(M,其中O(x)表示X的方差)來評估該校安全教育活動的成效，若M20.7,

則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(II)的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安

全教育方案？

n(ad-be)2

附表及公式：K2=其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k.)0.150.100.050.0250.010

%2.0722.7063.8415.0246.635

20.(12分)已知函數(shù)/("=|以一1卜卜+2|.

(1)解不等式/(x)〉2；

(2)記函數(shù)y=/(x)+5|x+2|的最小值為攵，正實數(shù)。、b滿足a+6b二3,求證：J竺上322#.

9vab

x=3cos(p

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為).((p為參數(shù))，在以O(shè)為極點，x軸的正

y=sirup

半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為(2,1)，半徑為1的圓.

(1)求曲線G的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)M為曲線Ci上的點，N為曲線C2上的點，求|NIN|的取值范圍.

22.(10分)已知數(shù)列｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列也｝為等差數(shù)列，且&=1=1,々=/+1,b$=a「7.

(1)求數(shù)列｛4｝與｛包｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛〃/”｝的前〃項和A“；

(3)設(shè)S“為數(shù)列｛片｝的前〃項和，若對于任意〃wN*，有S”+；=1?2”求實數(shù)，的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

求得基本事件的總數(shù)為〃二等xA；=6,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為〃z=C；C；用=2,

&

利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.

【題目詳解】

由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,

基本事件的總數(shù)為〃==6,

其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為機==2,

"7I

所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為〃=1=5,故選B.

【題目點撥】

本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基

本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查

了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解題分析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.

【題目詳解】

因為人，)是整數(shù)，所以所有滿足條件的點例(X,)，)是位于圓/+)尸=10(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點，滿足條件Y+)廣￡10

的整數(shù)點有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)共37個，

*7

滿足工+)，26的整數(shù)點有7個，則所求概率為方.

故選：O.

【題目點撥】

本題考查了古典概率的計算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

3、D

【解題分析】

2

由/(0)=0可得a=1,所以f(x)=log2(x+1)+x(x>0),由/(.VI為定義在R上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增

函數(shù)，可知)，=/(")在尺上單調(diào)遞增，注意到/(2)=/(2)=5,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.

【題目詳解】

因為Ax)在R上是奇函數(shù).所以/(0)=0,解得。=1,所以當(dāng)xNO時，

2

/(x)=log2(x+l)+x,且xt［0,+oo)時，單調(diào)遞增，所以

y=/(x)在H上單調(diào)遞增,因為/(2)=5,/(-2)=-5,

故有3%+4>—2,解得x>-2.

故選：D.

【題目點撥】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.

4、A

【解題分析】

令［，構(gòu)造8㈤=1，要使函數(shù)〃)_(2)2B有三個不同的零點孫入2%3(其中必<X2<X3)，則方程/+々_q=0需

要有兩個不同的根〃①，則/=/+々>0,解得〃>建°V.4結(jié)合式幻=；的圖象，并分°〃4兩個情況分類

討論，可求出(/上)2Q上)的值.

【題目詳解】

令*=/構(gòu)造g㈤=寧求導(dǎo)得加=?當(dāng)時，Co；當(dāng)x>［時，/編<夕

ffrff

故S聲（-8,1）上單調(diào)遞增，在G,+8）上單調(diào)遞減，且》V（J^s（x）<OX>（J^S（x）>Og（x）nm=g（l）=~可畫

出函數(shù)"的圖象（見下圖），要使函數(shù)._（土）2竺有三個不同的零點必,X2X3（其中必<X2<X2則方程

f（x）=\3/+下-a

+々/=0需要有兩個不同的根（其中〃<◎，則」=/+々>0，解得它?；蜻?4,且校+f2=?"

（tit2=-a

若a>3即在/+(2=-a<0,則力v0<心v，，則必<0<X2<1<X3f且g&2)=g&3)=5

"f2=?aV012c

故Q.1)Q.。(/j)=0-〃)2(/-t)2=[/-(0+t2)+〃小=(7+a-a)2=1

若a<-4'叱;；：；、：'由于哈、=g㈤冒故〃+”：<，’故aJ不符合題意，舍夫

解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

5、D

【解題分析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為

、4-4&+2乃乃-2-6=8近+8），故選D.

222

6、C

【解題分析】

22

設(shè)直線48的方程為了=乙+與，代入寸=2〃）?得：x-2pkx-p=Ot由根與系數(shù)的關(guān)系得巧+4=2/乂，

2

xAxB=-pt從而得到|48|=2〃（1+公），同理可得|8=2〃（1+《），再利用,+而7=:求得〃的值，

K|八力||1今

當(dāng)0,P,M三點共線時，即可得答案.

【題目詳解】

根據(jù)題意，可知拋物線的焦點為（0,4）,則直線的斜率存在且不為0,

設(shè)直線的方程為>=依I彳，代入/=2〃）?得；/一2〃入一〃2=（）.

由根與系數(shù)的關(guān)系得J+/=2〃左，xAxH=-/?,

所以|4例=2〃(1+公).

又直線CO的方程為y=—：x+4,同理|CO|=2〃(l+1),

k2k"

111111

----4-----=------------------=---=一

所以|A8|\CD\2P(1+公)2/?(1+±)2p4，

k

所以2〃=4.故f=4y.過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

則由拋物線的定義可得IP尸H尸MI.

所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ以MQ|=3,當(dāng)Q,p,M三點共線時，等號成立.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力

和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.

7、A

【解題分析】

cbeBT7t

易得8(-二，二一),過b作x軸的垂線，垂足為7;在中,利用音=tanq即可得到出"。的方程.

22。3

【題目詳解】

由已知，得伙一二，3),過〃作*軸的垂線，垂足為r,故甲r=g

22a2

兒

B7一

4乃6

加

廝

以

一---

3-6T39￡

2a

所以雙曲線。的離心率e={l+(,)2=2.

故選：A.

【題目點撥】

本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關(guān)鍵的是找到Q,〃,c的方程或不等式，本題屬于容易題.

8、C

【解題分析】

利用建系，假設(shè)A8長度，表示向量AC與8。，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【題目詳解】

由平面平面BCO,AB±BD

平面ABDc平面3CQ=B￡>,ABI平面ABD

所以4B_L平面BCD,又。Cu平面BCD

所以A8_LQC,又DB1,DC

所以作Z軸〃48,建立空間直角坐標(biāo)系B-M，Z

如圖

設(shè)AB=1,所以BD=l,DC=l,BC=也

則A（0,U）,3（0,l,0）,C（l,0,0）,￡>（0,0,0）

所以4c=（1,一1,一1）,笈力（0,-1,0）

/“g\ACBD16

所以cos（AC皿二月;丁

故選：C

【題目點撥】

本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利

用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎(chǔ)題.

9、D

【解題分析】

設(shè)圓柱的底面半徑為廣,則其母線長為/二2幾由圓柱的表面積求出，?，代入圓柱的體積公式求出其體積，結(jié)合題中的結(jié)論

即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.

【題目詳解】

設(shè)圓柱的底面半徑為r，則其母線長為/=2r,

因為圓柱的表面積公式為5回柱表=2"/+2不〃,

所以2乃產(chǎn)+2萬r、2r=244，解得r=2,

因為圓柱的休積公式為/柱=§〃=4產(chǎn)?2r,

所以%柱=4x2x23=16萬，

由題知，圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的;，

所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為

1/2232冗

V=3%柱=§xl6萬二亍.

故選:D

【題目點撥】

本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;

屬于中檔題.

10、C

【解題分析】

分析：根據(jù)最低點，判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點可求得解析式為

/（#=3sin（2x+￡],依次判斷各選項的正確與否.

\6）

詳解：因為用皚0）為對稱中心，且最低點為N仔,-3）,

所以A=3,且7=4M（得一言）=%

由。衛(wèi)二女=2

T71

所以/(x)=3sin(2x+0),將N彳,-3帶入得

I3/

兀

所以/(x)=3sin(2x+rJ

jr35TTTC

由此可得①錯誤，②正確，③當(dāng)-二WxW笠時，0W2X+=W6,T,所以與y=l有6個交點，設(shè)各個交點坐標(biāo)

12126

依次為工1，工2，七，匕，公，無，則玉+玉+七+乙+毛+冗=7不，所以③正確

所以選C

點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

11、A

【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得/〃的值.

【題目詳解】

由復(fù)數(shù)的除法運算化簡可得

10_.

m-\-------=+3一1,

3+i

因為是純虛數(shù)，所以根+3=0,

：?tn=-3,

故選：4

【題目點撥】

本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運算，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；

【題目詳解】

解：①已知函數(shù)/。)是一次函數(shù)，若數(shù)列｛%｝的通項公式為4=/(〃)，

可得〃,源-勺=〃供為一次項系數(shù))，則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確：

②若直線/上有兩個不同的點到平面。的距離相等，貝！1/與。可以相交或平行，故②錯誤；

③在AABC中，3,AE(O,I),而余弦函數(shù)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞減，故"cosA>cos3”可得由"8>A'

可得“cosA>cosB"，故"cosA>cos9”是“〃>A”的充要條件，故③錯誤；

④若〃>04>0,2。+〃=4,則4=2n+bN2j^H,所以c力W2,當(dāng)且僅當(dāng)2〃=〃=2時取等號，故④正確；

綜上可得正確的有①④共2個：

故選：B

【題目點撥】

本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運

算能力和推理能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

e

13、

2

【解題分析】

]11e1/(I)

計算7?。一一，0),PR=t-(/—)=-,APRS的面積為5=—,導(dǎo)數(shù),由卜=0得1=1,根據(jù)函數(shù)

ttt2/2r

的單調(diào)性得到最值.

【題目詳解】

???PQ〃y軸,P(f,0),：.Q(6/(/))即Q(￡,/),

又f(x)=/x(Z>0)的導(dǎo)數(shù)7(x)=〃x,???過。的切線斜率k=

設(shè)A(r,0),則----=1^f.*.r=/--,

t-rt

即0),PR=t-(/--)=-,

又S(L/(1))即S(l,d),???△PRS的面積為S=

2r

導(dǎo)數(shù)由s，=o得，=i,

2”

當(dāng)時，S，＞0,當(dāng)OVfVl時，S，VO,???i=l為極小值點，也為最小值點,

:APRS的面積的最小值為=.

2

故答案為：3.

【解題分析】

分跑出優(yōu)秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.

【題目詳解】

剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為其二是只有甲、丙

32V4

2（1A11，2、111

兩人跑出優(yōu)秀的概率為可'1X[=不；其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為1-鼻、彳、1=五■，三種情

況相加得；+5+五二].即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為1.

故答案為：-

O

【題目點撥】

本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎(chǔ)題.

15、6

【解題分析】

已知S〃=2（4+1）,利用4“=S“-S0T=2〃”-2（%,求出｛4｝通項，然后即可求解

【題目詳解】

,:S〃?！?當(dāng)〃時，工；?當(dāng)〃之時?！?S-=2aa

=2（1）,，=1=2（4+1）,q=-2；2，nl｝-2d/J_l,/.n=2aM，

故數(shù)列｛%｝是首項為2公比為2的等比數(shù)列，???/二一2".又S〃=2（a“+1）=-126,?,?4=-64,???-2〃二一64,

〃=6?

【題目點撥】

本題考查通項求解問題，屬于基礎(chǔ)題

16、-1

【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解z再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.

【題目詳解】

解：復(fù)數(shù)z=(l-i)-(a+i)=o+l+(l-a)i為純虛數(shù)，

.,.々+1=0,1-。。0,

解得a=T.

故答案為：T.

【題目點撥】

本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)-如豆

35

【解題分析】

(1)取43的中點。連接CO,。。，證得C'O_L。。，從而證得。。，平面ABO,再結(jié)合面面垂直的判定定理，

即可證得平面CABJL平面DAB；

(2)以。為原點，ABfOC所在的直線為『軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面ACO和平面BC'。的法向

量，利用向量的夾角公式，即可求解.

【題目詳解】

⑴取的中點。連接CO,DO,

在4C歸和他中，AB=2t則C'O=OO=1,

又CD=72，所以CO?+DO2-CD1,即CO_LOZ),

又COJLA3,RABC\OD=OfAROOu平面A8O,所以CO_L平面A3O,

又C，Ou平面CAB,所以平面CABJ■平面048

(2)以。為原點，ABfOC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

(fj]A

則4(0,4，0),以0,1,0),C(0,0,1),D—,-,0,

所以AC=(0,1,1)，8。'=(0,-1,1)，CD=

設(shè)平面ACD的法向量為〃產(chǎn)(%,%,Z1),

y+4=o

/?,.LACncAC=0

則即?，代入坐標(biāo)得61,

aLCD-n}CD=0~^x\+~yi-zi=o

令Z]=l,得力=-1,X\=6,所以=(G,—1,1),

設(shè)平面BC'Q的法向量為〃2=(W，,’2，Z2)，

-y+z=0

fl.IBC仇8仁二()22

則?一，即V~

[nlCDy[nCD=()代入坐標(biāo)得61，

22-X2+-y2~Z2=^

a(G

令々=1,得為=1，所以〃2=；，1，1

3I3

V3x^-+(-l)xl+lxl

所以cos(〃],&}二

，3十1+1

所以二面角A-CD-B的余弦值為一迪.

35

本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中

熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算

問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

18、(1)B=-(2)述+2

34

【解題分析】

(1)根據(jù)正弦定理化簡等式可得tan8=即B=

(2)根據(jù)題意，利用余弦定埋可得3c2=5-4COSO,再表示出SM℃=sin。，表示出四邊形果品。，進而可得最

值.

【題目詳解】

(1)6a=b(sinC+6cosC),由正弦定理得：>/3sinA=sinB(sinC+\/3cosC)

在AA8C中，sin>4=sin(B+C),則65后(3+。)=5由451］】。+\/55訪3<：05。，

即V3cosBsinC=sin8sinC,

?.sinCw0,A/3cos8=sin8,即lan5=

(2)在ABC。中，BD=2,CD=1/.BC2=12+22-2X1X2XCOSD=5-4COSD

2

又4=工，則AA"C為等邊三角形，S4BC=lBCxsin^=^-V3uo5Z)

3234

又S,=—xBDxDCxsinD=sin￡>,

{ne2

SABCD~~+sinD—>/3cosD=+2sin(Z)——)■

.?.當(dāng)。=?時，四邊形44co的面積取最大值，最大值為偵+2.

64

【題目點撥】

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19、（I）詳見解析；（II）詳見解析；（ID）不需要調(diào)整安全教育方案.

【解題分析】

（I）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好2x2列聯(lián)表，計算出《2的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過90%的前提下，不能

認為性別與安全測試是否合格有關(guān).（II）利用超幾何分布的計算公式，計算出X的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（H1）由

（II）中數(shù)據(jù)，計算出O（X）,進而求得M的值，從而得出該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.

【題目詳解】

解：（I）由頻率分布直方圖可知，得分在［20,40）的頻率為0.005x20=0.1,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為舟=60,

VZ?1

y=60x0.2=12,x=18.

性別與合格情況的2x2列聯(lián)表為:

是否合格

不合格合格小計

性別

男生141630

女生102030

小計243660

一縹

即在犯錯誤概率不超過90%的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關(guān).

(II)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為24:36=2:3,因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可

能的取值為20、15、103、0,

P（X=20）=*4,P（X=15）=等吟P（X=10）=普］

尸—5)=等嶗尸20)唔噎.

X的分布列為:

X20151050

18341

P

1421735210

所以Eg=20x'+15x色+10x』+5xq+0x」-

=12.

1421735210

（DI）由（H）知：D（X）=（20-I2）2X-1-4-（15-12）2X^-+（10-12）2X14-（5-12）2X^+（0-12）2X-^=16

E（X）123

/.M=—^-4=—=->0.7.

D（X）164

故我們認為該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.

【題目點撥】

本小題主要考查2x2列聯(lián)表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計算，所以中檔題.

20、（1）;(2)見解析.

【解題分析】

(1)分xW-2、-2<x<1>三種情況解不等式/(x)>2,綜合可得出原不等式的的解集；

(2)利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)y=/(x)+5|x+2|的最小值為k=9,進而可得出。+68=1,再將代數(shù)式

9+!與。+6〃相乘，利用基本不等式求得9+!的最小值，進而可證得結(jié)論成立.

abab

【題目詳解】

(1)當(dāng)xW—2時，由〃x)>2,得l—4x+x+2>2,即1一3%>0,解得此時xW—2；

I33

當(dāng)一2cxe一時，由/(戈)>2,得1一4工一工一2>2,即5I+3<0,解得x<-一，此時一2<工<一一；

455

當(dāng)轉(zhuǎn)，時，由/(x)>2,得4x—l—工一2>2,即3X一5>0,解得x>:，此時

33

綜上所述，不等式/(%)>2的解集為18,一|)

(2)y=/(x)+5|x+2|=|4x-l|+4|x+2|=|4x-l|+|4^+8|>|4x-l-(4x+8)|=9,

當(dāng)且僅當(dāng)(4x-l)(4x+8)K0時取等號，所以Z=9,a+6b=\.

所以9+，=(幺+」(〃+6〃)=6+迎+@+6212+2、^^=24,

abb「ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)迎二即〃=，，。二」-時等號成立，所以9+5224?

ab212ab

所以降即更?22遍.

\a