第8題數(shù)陣尋源數(shù)列分組問(wèn)題（解透一題）【2025屆浙江省名校協(xié)作體T11】觀察下面一組等式：記表示第個(gè)等式中等號(hào)右邊第個(gè)數(shù)，如，，則（

）A．

B．C．

D．本題借助給出的一組等式，要求剖析等式右邊數(shù)字的規(guī)律，進(jìn)而考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等方面的知識(shí).例如，需要探尋等式右邊每一項(xiàng)數(shù)字的通項(xiàng)公式，并依據(jù)通項(xiàng)公式開(kāi)展相關(guān)的計(jì)算與判斷.同時(shí)檢驗(yàn)歸納推理能力：需從給定的有限個(gè)等式中歸納出一般性規(guī)律，比如，通過(guò)觀察等式右邊數(shù)字的起始值、公差等特征，總結(jié)出第個(gè)等式中右邊數(shù)字的通項(xiàng)公式.另外考查運(yùn)算求解能力：在獲取通項(xiàng)公式后，需要進(jìn)行一系列運(yùn)算，如判斷某個(gè)數(shù)是否處于特定的數(shù)列集合中、計(jì)算數(shù)列的和等，以此考查運(yùn)算求解能力.一、問(wèn)題拆解觀察等式右邊的數(shù)：第1個(gè)等式右邊有1個(gè)數(shù)，第2個(gè)等式右邊有2個(gè)數(shù)，第3個(gè)等式右邊有3個(gè)數(shù)，??，第n個(gè)等式右邊有n個(gè)數(shù).這些數(shù)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.故問(wèn)題可以看作將首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列按第1組1個(gè)，第2組2個(gè)，……，第k組k個(gè)的規(guī)律分組，得到分組數(shù)列：.從而轉(zhuǎn)化為分組數(shù)列問(wèn)題研究.二、詳細(xì)解析先分析等式右邊數(shù)字的起始值規(guī)律：第1個(gè)等式右邊第1個(gè)數(shù)是1；第2個(gè)等式右邊第1個(gè)數(shù)是；第3個(gè)等式右邊第1個(gè)數(shù)是；第4個(gè)等式右邊第1個(gè)數(shù)是.由此可歸納出第個(gè)等式右邊第1個(gè)數(shù)的表達(dá)式為.再看每個(gè)等式右邊數(shù)字的公差為2，那么第個(gè)等式中第個(gè)數(shù).現(xiàn)在對(duì)選項(xiàng)逐一分析：選項(xiàng)A本質(zhì)考察項(xiàng)2025是否在第45組內(nèi).由，可知，，而，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B考察就是的推導(dǎo)運(yùn)用，該選項(xiàng)錯(cuò)誤.選項(xiàng)C考察以及數(shù)列求和的運(yùn)用.由知故(與等差/等比數(shù)列相結(jié)合，考查通項(xiàng)拆分能力；經(jīng)放縮后進(jìn)行裂項(xiàng)，以證明數(shù)列不等式)聯(lián)想到經(jīng)典裂項(xiàng)公式，則選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，.同時(shí)需要注意，故.（易錯(cuò)點(diǎn)：忽略組中元素的個(gè)數(shù)）所以，D正確．綜上，答案為ACD.

對(duì)于給定數(shù)列，將它的各項(xiàng)按一定的規(guī)則分組，以所得的組為單位的新數(shù)列稱(chēng)為分群數(shù)列.研究分群數(shù)列時(shí)，要根據(jù)分組規(guī)則找出分群數(shù)列的組數(shù)與原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，從而把分群數(shù)列的問(wèn)題歸結(jié)為原數(shù)列的問(wèn)題.解題時(shí)往往需要求出第n組數(shù)的首項(xiàng)或末項(xiàng)，然后通過(guò)分組規(guī)則列出不等式.高中數(shù)學(xué)中的分組數(shù)列問(wèn)題，是將原數(shù)列按特定規(guī)則重新分組形成的新數(shù)列，其核心在于通過(guò)分組規(guī)律確定原數(shù)列中某一項(xiàng)在分組數(shù)列中的位置或求和問(wèn)題.確定某項(xiàng)在分組中的位置步驟：(1)確定分組規(guī)律：計(jì)算前k組的總元素?cái)?shù).(2)建立不等式：通過(guò)前k?1組的總元素?cái)?shù)與目標(biāo)數(shù)的關(guān)系，確定所在組.(3)計(jì)算組內(nèi)位置：用目標(biāo)數(shù)減去前k?1組的總元素?cái)?shù)，得到組內(nèi)序號(hào).

求數(shù)列的前n項(xiàng)和：可先確定前n項(xiàng)包含了完整的前k組以及第k+1組的部分項(xiàng)，分別計(jì)算前k組的和以及第k+1組部分項(xiàng)的和，再將它們相加.前k組的和可根據(jù)分組規(guī)律分別計(jì)算每組的和再相加；第k+1組部分項(xiàng)的和可根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算.【訓(xùn)練目的：學(xué)會(huì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)為為分組數(shù)列.】（2024屆星云聯(lián)盟2月線上調(diào)研11）1．已知數(shù)列：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1項(xiàng)為1，接下來(lái)的2項(xiàng)為1，2，接下來(lái)的3項(xiàng)為1，3，5，再接下來(lái)的4項(xiàng)為1，4，7，10，依此類(lèi)推，則（

）A．B．C．存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列D．有且僅有3個(gè)不同的正整數(shù)，使得【整理證明典例，尋求解透基礎(chǔ)】2．設(shè)為等差數(shù)列，是公差.把它按照“第n組含有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組：求證：(1)第n組的首項(xiàng)為.(2)第n組中n個(gè)數(shù)的和為.【高考尋源2008·江蘇·高考真題】3．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第3個(gè)數(shù)為．【高考尋源2008·山東·高考】4．將數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成下表：……記表中的第一列數(shù)、、、……構(gòu)成的數(shù)列為，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足（I）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求上表中第行所有項(xiàng)的和（2024屆山東棗莊二模）5．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：從第2行開(kāi)始每一行比上一行多兩項(xiàng)，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列；第1列數(shù)成等差數(shù)列．若，則（

）A． B．C．位于第45行第88列 D．2024在數(shù)陣中出現(xiàn)兩次（2022屆武漢市高三質(zhì)量檢