數(shù)字信號處理第1章

離散時間信號第2章

離散信號系統(tǒng)的分析第3章Z變換第4章

離散序列的傅里葉變換第5章

快速傅立葉FFT第6章

確定性信號的譜分析第7章

數(shù)字濾波器第8章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計第9FIR數(shù)字濾波器章第10章

數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計和工具設(shè)計法全套可編輯PPT課件

第1章

離散時間信號1.1數(shù)字信號處理緒論1.2離散時間信號1.3序列的運(yùn)算與變換1.1數(shù)字信號處理緒論1.1.1數(shù)字信號處理理論和技術(shù)的發(fā)展1.1.2數(shù)字信號處理系統(tǒng)的組成1.1.3數(shù)字信號處理的主要特點(diǎn)1.1.4數(shù)字信號處理的實現(xiàn)1.1.1

數(shù)字信號處理理論和技術(shù)的發(fā)展1數(shù)字信號處理的基本概念2數(shù)字信號處理理論和技術(shù)的發(fā)展3“數(shù)字信號處理”的理論基礎(chǔ)和課程的主要任務(wù)4數(shù)字信號處理技術(shù)的應(yīng)用信號：信息的物理表現(xiàn)形式。系統(tǒng)：若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成的具有特定功能的整體。信號處理：對信號進(jìn)行提取、變換、分析和綜合等處理過程的統(tǒng)稱。信號處理目的：去偽存真、特征抽取、編碼解碼信號處理內(nèi)容：濾波、變換、檢測、譜分析、估計、壓縮、識別數(shù)字信號處理：是把信號用數(shù)字或符號表示的序列，通過計算機(jī)或通用（專用）信號處理設(shè)備，用數(shù)字的數(shù)值計算方法處理，以達(dá)到提取有用信息便于應(yīng)用的目的。1數(shù)字信號處理的基本概念1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey提出FFT算法。20世紀(jì)60年代中期，數(shù)字濾波器設(shè)計方法的完善。20世紀(jì)70年代，數(shù)字信號處理已經(jīng)發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科。20世紀(jì)80年代以后，數(shù)字信號處理的理論和技術(shù)更加成熟，并滲透到各個重要學(xué)科領(lǐng)域，與語音、圖像、通信等信息產(chǎn)業(yè)緊密結(jié)合，不斷地在理論上有所突破，在技術(shù)上有所創(chuàng)新，開辟了一個個新的學(xué)科分支。2

數(shù)字信號處理理論和技術(shù)的發(fā)展使學(xué)生掌握數(shù)字信號處理的基本概念、基本理論和基本方法，對數(shù)字信號處理技術(shù)有一個較全面、系統(tǒng)的了解。掌握離散信號的頻域分析和處理，離散傅立葉變換DFT理論及其快速算法FFT，特別是掌握FFT理論。掌握IIR和FIR數(shù)字濾波器的理論和設(shè)計方法。掌握用“數(shù)字”的方法對“信號”進(jìn)行“處理”的理論和技術(shù)。掌握MATLAB等工具在上述任務(wù)中的應(yīng)用。3

“數(shù)字信號處理”的理論基礎(chǔ)和課程的主要任務(wù)數(shù)字信號處理技術(shù)應(yīng)用非常廣泛，如圖片圖像處理、生物醫(yī)學(xué)工程、語音、聲學(xué)、雷達(dá)、地震、通信等，近來新興的一些學(xué)科，如人工智能、模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，都與數(shù)字信號處理技術(shù)密不可分。4

數(shù)字信號處理技術(shù)的應(yīng)用1.1.2

數(shù)字信號處理系統(tǒng)的組成前置低通濾波器：濾除A/D轉(zhuǎn)換器帶寬之外的高頻成分，防止采樣過程引起的頻譜混疊，因此該濾波器也稱為“抗折疊”濾波器。A/D轉(zhuǎn)換器：將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。D/A轉(zhuǎn)換器：將數(shù)字信號還原為模擬信號。模擬低通濾波器：濾除信號處理過程中殘留的高頻成分，使模擬信號更加平滑。1.1.3

數(shù)字信號處理的主要特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：

精度高、穩(wěn)定性好、可靠性高、靈活性強(qiáng)、便于時分復(fù)用、便于大規(guī)模集成和系統(tǒng)小型化、多維處理、具有抗噪聲能力等。缺點(diǎn)：

系統(tǒng)復(fù)雜性提高、應(yīng)用的頻率范圍有限。1.1.4

數(shù)字信號處理的實現(xiàn)1軟件實現(xiàn)2硬件實現(xiàn)3軟硬件結(jié)合實現(xiàn)1.2離散時間信號1.2.1信號的描述與分類1.2.2序列的概念1.2.3離散信號的描述方法1.2.4離散信號的能量與功率1.2.5離散信號及MATLAB實例1.2.1

信號的描述與分類1連續(xù)信號和離散信號2周期性信號和非周期性信號3確定性信號和非確定性信號4因果信號、非因果信號5離散信號的獲取方法1連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號與模擬信號圖1-2-1（a）與（b）離散信號與數(shù)字信號圖1-2-1（c）與（d）圖1-2-1連續(xù)信號和離散信號2周期性信號和非周期性信號周期性信號序列為

或

時，不一定是周期序列，分析如下：設(shè)

，那么如果

，則要求

，N、k均取整數(shù)，k的取值要保證N是最小的整數(shù)。滿足這些條件，正弦序列、復(fù)指數(shù)序列才是以N為周期的周期序列。判斷方法如下：163例1-2-1

判斷下列序列是否為周期信號注：連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。3確定性信號和非確定性信號確定性信號：其每個時間點(diǎn)上的值可以用某個數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖表唯一地確定的信號。隨機(jī)信號：不能用一個明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式精確地描述，因而也不能準(zhǔn)確預(yù)測任意時刻的信號精確值，即信號在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性，如在某時刻取某一數(shù)值的概率，這樣的信號是不確定性信號，或稱為“隨機(jī)”信號。4因果信號和非因果信號因果信號：如果信號在時間零點(diǎn)之前取值為零，則稱為因果信號。非因果信號：在時間零點(diǎn)之前信號也存在。5

離散信號的獲取方法直接獲?。簭膽?yīng)用實踐中直接取得離散信號，例如人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，氣象站每隔一定時間測量的溫度、風(fēng)速等數(shù)據(jù)。對連續(xù)時間信號進(jìn)行取樣獲得離散信號：連續(xù)時間信號（模擬信號）若在數(shù)字傳輸系統(tǒng)中傳輸，首先需要對其采樣（即離散化），采樣后的結(jié)果就是離散信號，取樣間隔一般為均勻間隔，記為或f(kT)。T為抽樣周期，一般簡寫為f(k)或x(n)。將得到的離散時間信號再進(jìn)行量化，得到的就是數(shù)字信號，換句話說數(shù)字信號是離散時間信號量化的結(jié)果。1.2.2

序列的概念1序列的概念

2一般序列的表示方法對于任意序列，都可用單位脈沖序列δ(n)的移位加權(quán)和表示。

在離散時間信號的傳輸、分析和處理系統(tǒng)中，常把

按一定順序排列成一組數(shù)據(jù)放在存儲器中。1數(shù)學(xué)解析式2序列形式3圖形形式雙邊序列單邊序列有限序列1.2.3

離散信號的描述方法1離散信號的能量與帕斯瓦爾定理，反映了信號在一個域及其對應(yīng)的變換域中的能量守恒。2離散信號的功率能量有限的信號稱為能量信號功率有限的信號稱為功率信號周期信號都是功率信號1.2.4

離散信號的能量與功率1.2.5

離散信號及MATLAB實例1離散周期正弦信號2單位沖激脈沖序列3單位階躍序列4斜變序列5矩形序列6復(fù)指數(shù)序列7實指數(shù)序列1-2-3繪制函數(shù)離散正弦信號。clearall;A=3;f0=5;phi=pi/6;K=20;%抽樣頻率倍數(shù)w0=2*pi*f0;%基頻fs=K*f0;%抽樣頻率w=w0/fs;k=2;%正弦波周期數(shù)N=k*2*pi/w;n=0:N;%時間向量x=A*sin(w*n+phi);%離散正弦信號stem(n,x,'.’);xlabel('(n)');ylabel('離散正弦信號x(n)');line([0,1],[0,0]);line([0,0],[-2,2]);title('x=A*sin(w*n+phi)')1

離散周期正弦信號1.3序列的運(yùn)算與變換1.3.1序列的算術(shù)運(yùn)算1.3.2序列的幅度與時間尺度變換1.3.3序列的位置變換及MATLAB實例1.3.4序列的差分與累加及MATLAB實例1.3.1序列的算術(shù)運(yùn)算1序列的相加（減）

把兩序列同序號元素的數(shù)值相加（減），構(gòu)成一個新的序列。2序列的相乘

把兩序列同序號的數(shù)值相乘，構(gòu)成一個新的序列。

序列的乘法是一種非線性運(yùn)算，可用于信號的調(diào)制。1.3.2序列的幅度與時間尺度變換1序列的幅度變換（數(shù)乘）2序列的時間尺度變換（抽取與插值）序列的時間尺度變換是將波形壓縮（或擴(kuò)展）而構(gòu)成一個新的序列，即序列的抽取與插值。

抽?。簻p小抽樣頻率。

插值：加大抽樣頻率。

1.3.3序列的位置變換及MATLAB實例1序列的位移2序列的反褶3序列的倒相1.3.4序列的差分與累加和及MATLAB實例1序列的差分

序列的差分運(yùn)算，仍為序列。一階前向差分與一階后向差分的關(guān)系：前者是后者左移一位的結(jié)果，后者是前者右移一位的結(jié)果。2序列的累加求和再見數(shù)字信號處理CONTENTS第2章離散時間系統(tǒng)的時域分析01離散時間系統(tǒng)02線性離散卷積03差分方程2.1離散時間系統(tǒng)2.1.1線性系統(tǒng)2.1.2時不變性2.1.3線性時不變系統(tǒng)2.1.4因果穩(wěn)定系統(tǒng)2.1.5線性時不變系統(tǒng)2.1.1

線性系統(tǒng)系統(tǒng)是一個由若干互相有關(guān)聯(lián)的單元組成，并且有某種功能來用以完成、達(dá)到特定目的的一個整體。系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的輸入、輸出信號均表現(xiàn)為脈沖序列或數(shù)碼形式的離散信號（數(shù)字信號），該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程式，也可以用系統(tǒng)函數(shù)、方框圖、信號流圖來表示，在離散時間系統(tǒng)中，基本運(yùn)算單元是移位（延遲）、乘系數(shù)和相加。2.1.1

線性系統(tǒng)在離散系統(tǒng)中，若滿足疊加性和比例性（或齊次性）特點(diǎn)的為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。若對兩個激勵：式中a、b為任意常數(shù)，該式具有滿足疊加性和齊次性的特點(diǎn)。線性系統(tǒng)具有“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性，也可以由此判斷是否為線性系統(tǒng)。2.1.1

線性系統(tǒng)2.1.2

時不變性系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時不變系統(tǒng)LTI”，描述該離散系統(tǒng)的輸入、輸出特性使用常系數(shù)線性差分方程。若系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)，則該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。時不變系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化，即不管輸入信號作用的時間先后，對應(yīng)輸出響應(yīng)信號的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時間不同。由于在離散系統(tǒng)中時間的變化主要靠移位來實現(xiàn)，故一般也稱為移不變系統(tǒng)（LSI）?？杀硎緸椋?.1.2

時不變性2.1.3

線性時不變性在離散系統(tǒng)中，既滿足疊加原理又具有時不變特性，即同時具有線性和移不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性移不變系統(tǒng)，簡稱為：LSI（LinearShiftInvariant）系統(tǒng)，它可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。單位脈沖響應(yīng)是輸入端為單位脈沖序列時的系統(tǒng)輸出，一般表示為：任一輸入序列的響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)對單位采樣序列δ(n)的響應(yīng)時h(n)2.1.5線性時不變系統(tǒng)的分析方法系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。因此，分析線性系統(tǒng)一般必須首先建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后再進(jìn)一步求得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的解。在建立系統(tǒng)模型方面，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法可分兩類：一類稱為輸入、輸出描述法（外部法）；另一類稱為狀態(tài)變量描述法（內(nèi)部法）。時域法是直接分析時間變量的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時域特性。變換域方法是將信號與系統(tǒng)的時間變量函數(shù)變換成相應(yīng)變換域的某個變量函數(shù)。（1）離散卷積。（2）Z變換。（3）傅里葉變換。2.2線性離散卷積2.2.1線性離散卷積的定義2.2.2線性離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)2.2.3離散序列卷積的圖解法2.2.4離散序列卷積的解析法2.2.5使用conv()函數(shù)計算序列卷積2.2.1

線性離散卷積的定義對線性時不變系統(tǒng)的任何有意義的輸入，都可以用卷積的方式來求其輸出。該離散卷積也稱為“線性離散卷積”或“直接離散卷積”。卷積結(jié)果的長度（即輸出的元素個數(shù)）為：length(y)=length(x)+length(h)-12.2.2

線性離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)交換律結(jié)合律分配律：篩選特性：與δ(n-k)卷積的移位性離散卷積不存在微分、積分性質(zhì)2.2.2

線性離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)結(jié)合律：級聯(lián)（串聯(lián)）系統(tǒng)的變換，在輸出結(jié)果上與級聯(lián)次序無關(guān)。其意義是，可以互換級聯(lián)（串聯(lián)）系統(tǒng)的順序。分配律：并聯(lián)系統(tǒng)的變換，等于各子系統(tǒng)變換之和。或并聯(lián)系統(tǒng)可以等效為一個系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出不變。2.2.3

離散序列卷積的圖解法：序列反褶移位相乘取和2.2.3

離散序列卷積的圖解法：序列反褶移位相乘取和依此類推，求出其他子項：y(n)=[0.511.522.52.521.510.5]2.2.3

離散序列卷積的圖解法：序列反褶移位相乘取和其長度為length(y)=length(x)+length(h)-1=10，其卷積結(jié)果序列圖形如圖2-2-7。2.2.4

離散序列卷積的解析法由x(n)、h(n)、

可得：卷積結(jié)果圖形與圖2-2-7相同。2.2.5

使用conv()函數(shù)計算序列卷積式中，x、h分別為待卷積的兩序列的向量表示，y是卷積的結(jié)果。如果N=length(x)、M=length(h)，則輸出序列y的長度length(y)=N+M-1。例如：>>x=[11111];h=[0.50.50.50.50.50.5];>>y=conv(x,h)>>m=length(y)-1;n=0:m;>>stem(n,y);axis([-5,15,0,3]);給出的卷積結(jié)果圖形與圖2-2-7相同，結(jié)果存放在數(shù)組y中。>>y=0.50001.00001.50002.00002.50002.50002.00001.50001.00000.5000注意：conv()函數(shù)默認(rèn)只能計算從n=0開始的右邊序列卷積。2.3差分方程2.3.1差分方程的建立2.3.2差分方程的經(jīng)典解法2.3.3差分方程的迭代解法及MATLAB實現(xiàn)2.3.4離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)及MATLAB實現(xiàn)2.3.1差分方程的建立1差分方程的時域模型2差分方程的獲得3差分方程的特點(diǎn)4常系數(shù)差分方程的求解方法2差分方程的獲得1由實際問題直接得到差分方程2由微分方程導(dǎo)出差分方程3由系統(tǒng)框圖寫差分方程如圖2-3-2所示是一個簡單的離散系統(tǒng)?？蓪憺閳D2-3-2一個簡單的離散系統(tǒng)3差分方程的特點(diǎn)（1）系統(tǒng)當(dāng)前的輸出（即在k時刻的輸出），不僅與激勵有關(guān)，而且與系統(tǒng)過去的輸出、、…有關(guān)，即系統(tǒng)具有記憶功能。（2）差分方程的階數(shù)：差分方程中變量的最高和最低序號差數(shù)為階數(shù)。（3）微分方程可以用差分方程來逼近，微分方程解是精確解，差分方程解是近似解，兩者有許多類似之處。（4）差分方程描述離散時間系統(tǒng)，輸入序列與輸出序列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有一一對應(yīng)關(guān)系。4常系數(shù)線性差分方程的求解方法（1）時域經(jīng)典法。與求解微分方程的步驟相同，先求齊次解和特解，然后代入邊界條件求待定系數(shù)。（2）遞推法，或稱迭代法。給定輸入序列和初始條件，…，，就可以由上述各式計算n≥0時的輸出。該方法簡單，但只能給出數(shù)值解，不能給出閉式解（即解析式）。（3）卷積法。利用離散卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。（4）Z變換法。2.3.2差分方程的經(jīng)典解法離散系統(tǒng)差分方程的經(jīng)典解法與求解連續(xù)系統(tǒng)微分方程的步驟類似，先求齊次解和特解，然后代入邊界條件求待定系數(shù)。離散系統(tǒng)響應(yīng)的分解方式與連續(xù)系統(tǒng)相同：齊次解代表零輸入響應(yīng)（Zero-input）、自由響應(yīng)（Natural）或暫態(tài)響應(yīng)（Transient）；特解代表零狀態(tài)響應(yīng)（Zero-state）、受迫響應(yīng)（強(qiáng)迫響應(yīng)forced）或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（Steady-state）。1求齊次解2特解3離散系統(tǒng)差分方程的全解3離散系統(tǒng)差分方程的全解3離散系統(tǒng)差分方程的全解2.3.3差分方程的迭代解法及MATLAB實現(xiàn)1差分方程的迭代解法2filter()函數(shù)解差分方程1差分方程的迭代解法2

filter()函數(shù)解差分方程圖2-3-4系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)2.3.4離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)及MATLAB實現(xiàn)1離散時間系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的定義2impz()函數(shù)求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)3LSI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與stepz()函數(shù)1離散時間系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的定義LSI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)可表示為如下的卷積計算式即為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是激勵信號

與單位沖激序列的卷積和。2impz()函數(shù)求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)在MATLAB中可以使用函數(shù)impz()求離散系統(tǒng)沖激響應(yīng)并繪制其時域波形。（1）[h,t]=impz(b,a)：根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的分母系數(shù)a和分子系數(shù)b，自動以t=[0:n-1]‘、n=length(t)計算濾波器的脈沖響應(yīng)，并返回脈沖響應(yīng)的列向量h和采樣時間列向量t。（2）[h,t]=impz(b,a,n)：指定采樣個數(shù)n，計算濾波器的n點(diǎn)脈沖響應(yīng)，t=[0:n-1]'。（3）[h,t]=impz(b,a,n,fs)：求數(shù)值解。計算濾波器的采樣時間為1/fs的n點(diǎn)脈沖響應(yīng)。（4）impz(b,a)：繪制其時域波形。根據(jù)分母系數(shù)a和分子系數(shù)b，自動以t=[0:n-1]'、n=length(t)計算濾波器的脈沖響應(yīng)，在當(dāng)前窗口繪制脈沖響應(yīng)曲線圖形。（5）impz(Hd)：繪制其時域波形。在fvtool窗口繪制脈沖響應(yīng)曲線圖形。輸入?yún)?shù)Hd是一個dfilt濾波器對象或dfilt濾波器對象的數(shù)組。2impz()函數(shù)求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)注：需要注意impz()函數(shù)自動選擇采樣長度的方法。3

LSI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與stepz()函數(shù)

如果輸入信號為單位階躍函數(shù)，則引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。stepz()函數(shù)用于離散系統(tǒng)或數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)：（1）[h,t]

=

stepz(b,a)：以分子多項式系數(shù)b和分母多項式系數(shù)a計算數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)。stepz自動選擇采樣時間并以列向量返回響應(yīng)h和采樣時間t，其中：t

=

[0:n-1]'，長度n

=

length(t)。（2）[h,t]

=

stepz(b,a,n)：計算n個樣本的階躍響應(yīng)，n是一個整數(shù)，t

=

[0:n-1]'。（3）[h,t]

=

stepz(b,a,n,fs)：指定采樣頻率fs，單位是Hz，采樣時間間隔是1/fs。調(diào)用無輸出參數(shù)的格式，可以只繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。3

LSI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與stepz()函數(shù)再見數(shù)字信號處理第3章Z變換3.1Z變換的定義與收斂域3.1.1Z變換的定義Z變換在離散系統(tǒng)中的地位與作用，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換，都是一種變換域運(yùn)算。對連續(xù)信號進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號：（3.1.1）兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得

（3.1.2）令，其中s為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)頻率。上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用表示；由得：（3.1.3）

（3.1.4）一般地把的Z變換記為：3.1.2Z變換的收斂域

在

Z變換的定義式（3.1.3）和（3.1.4）中，z是一個連續(xù)的復(fù)變量，具有實部和虛部，是一個以實部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐標(biāo)構(gòu)成的平面上的變量，這個復(fù)平面也稱z平面。

X(z)是關(guān)于z-1的冪級數(shù)，在數(shù)學(xué)上屬于復(fù)變函數(shù)中的羅朗（Laurent）級數(shù)，其系數(shù)是序列x(n)的值，因此Z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級數(shù)收斂，即

（3.1.5）時，其Z變換才存在。上式稱為絕對可和條件，它是序列的Z變換存在的充分必要條件。收斂域（Regionofconvergence簡稱ROC）的定義：對于任意給定的序列，滿足式（3.1.5）的所有z值組成的集合稱為Z變換的收斂域。或者換言之，使式（3.1.3）、（3.1.4）表示的級數(shù)收斂的所有z值組成的集合稱為Z變換的收斂域。一般來說，ROC是由某個極點(diǎn)構(gòu)成的或ROC常用收斂環(huán)表示，內(nèi)環(huán)是以為半徑的圓，可以小為0；外環(huán)是以可以大到。、通稱為收斂半徑。為半徑的圓組成的區(qū)域。為半徑的圓，

序列的Z變換大多數(shù)是z的有理函數(shù)，一般可以表示成有理分式的形式，即

（3.1.6）分子多項式的根是的零點(diǎn)，分母多項式的根是

在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)限定其邊界。的極點(diǎn)。序列的收斂域大致有一下幾種情況：有限長的序列、右邊序列（因果序列）、左邊序列（反因果序列）、雙邊序列。3.1.3有限長序列的收斂域圖3-1-1有限長序列的收斂域3.1.4右邊序列的收斂域時，序列有值，其它情況為0：其Z變換為：右邊序列，當(dāng)（3.1.8）圖3-1-2右邊、因果序列序列的收斂域3.1.5左邊序列的收斂域圖3-1-3左邊序列的收斂域數(shù)字信號處理（MATLAB

版）

1

X

(z)

x(n)z

n

x(n)z

n

x(n)z

nn

n

n

0（3.1.11）第

1

項為左邊序列，ROC

為：|

z

|

R1

；第

2

項為右邊序列，ROC

為：|

z

|

R2

。雙邊序列

Z

變換的收斂域為兩者的公共部分，即環(huán)狀區(qū)域：

R1

|

z

|

R2

，如圖

3-1-4

所示。

【例

3-1-2】求雙邊序列

x(k

)

k

bk, k

0的

Z

變換和收斂域。a

, k

0解：可見，其收斂域為|

a

|

|

z

|

|

b

|

，顯然要求|

a

|

|

b

|

，否則無共同收斂域。3.1.6

雙邊序列的收斂域雙邊序列是一般序列，有值區(qū)域是

。對雙邊序列，可以看作是一個左邊序列和一個右邊序列之和。第

3章Z變換如圖

3-1-4所示，|

a

|

R1

，|

b

|

R2

。圖

3-1-3

左邊序列的收斂域圖

3-1-4

雙邊序列的收斂域數(shù)字信號處理（MATLAB

版）31(1

1z

1)(1

2z

1)【例

3-1-3】討論

X

(

z

)

收斂域的形式及其對應(yīng)序列的種類。解：3由(1

1

z

1

)(1

2

z

1

)

0，可求得兩個極點(diǎn)：

2

和

1/3。收斂域?qū)?yīng)有下列三種情況：（1）

|z|>2：序列為因果序列；（2）

|z|<1/3：左邊序列；（3）

1/3<|z|<2：雙邊序列。第

3章Z變換3.2 Z

逆變換根據(jù)

X(z)和其收斂域求序列

x(n)，

就是求

Z

反變換，

也稱為逆

Z

變換，

其定義為x(n)

Z

1[

X

(z)]求

Z

反變換實質(zhì)上就是求

X(z)的冪級數(shù)展開式。與連續(xù)信號的傅立葉變換和拉普拉斯變換離散類似，求

Z

反變換

x(n)的方法通常有觀察法、

圍線積分法(留數(shù)法)、

冪級數(shù)法(長除法)和部分分式展開法，也可以使用

MATLAB

中符號運(yùn)算的

iztrans()函數(shù)來求

z

逆變換。觀察法是指利用常用序列的

Z

變換表，直接求出序列的方法，可以用于比較簡單的變換。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（3.2.1）則

z

逆變換為：（3.2.2）積分路徑

c

為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)一周的一條逆時針閉合單圍線，因此該方法也叫“圍線積分法”，如圖

3-2-1

所示。直接計算圍線積分比較麻煩，

一般采用留數(shù)定理求解。根據(jù)留數(shù)定理，有（3.2.3）zpi

為

c

內(nèi)的第

i

個極點(diǎn)，i

為有限值，Res[]表示極點(diǎn)

zpi

處的留數(shù)。

3.2.1

留數(shù)法（圍線積分法）留數(shù)（residue，又稱殘數(shù)），是復(fù)變函數(shù)論中一個重要的概念。如果：第

3章Z變換留數(shù)定理說明：

X

(z)z

n

1

沿圍線

c

逆時針方向的積分等于圍線內(nèi)的各極點(diǎn)之和。或根據(jù)留數(shù)輔助定理，若

X

(z)z

n

1的分母階次比分子階次高二階以上，有：（3.2.4）數(shù)字信號處理（MATLAB

版）圖

3-2-1

圍線積分路徑z

pk

為

c

外的第

k

個極點(diǎn)，k

為有限值，Res[]表示極點(diǎn)

z

pk

處的留數(shù)。留數(shù)輔助定理說明：X

(z)z

n

1沿圍線c

順時針方向的積分等于圍線外的各極點(diǎn)之和。第

3章Z變換式（3.2.3）、（3.2.4）說明，對于相同的函數(shù)

X

(z)z

n

1

，由于沿圍線

c逆時針方向的積分等于沿圍線順時針方向積分值的相反數(shù)。根據(jù)具體情況的不同，

可以選擇上述兩種方法中的一種。

當(dāng)

n

大于某一個值，

函數(shù)

X

(z)z

n

1

在

z=∞處可能有多重極點(diǎn)時，

若采用圍線外部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)運(yùn)算就比較麻煩，

因而通常選擇圍線內(nèi)部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)的計算；

當(dāng)

n

小于某一個值，

函數(shù)X

(z)z

n

1

在

z=0

處可能有多重極點(diǎn)時，

采用圍線內(nèi)部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)運(yùn)算同樣比較麻煩，

通常選擇圍線外部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)的計算就會很方便。注意：留數(shù)定理中的極點(diǎn)不是指

X(z)的極點(diǎn)，

而是

F(z)=

X

(z)z

n

1

的極點(diǎn)。在利用留數(shù)定理求

z逆變換時，首先要根據(jù)

X

(z)

的收斂域確定

x(n)

的性質(zhì)是左邊、右邊或雙邊序列。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）圍線

c

內(nèi)的極點(diǎn)一般對應(yīng)于因果序列，

n

0

時，應(yīng)使用式（3.2.3）；圍線

c外的極點(diǎn)一般對應(yīng)于非因果序列，

n

0

時，圍線內(nèi)可能有多重極點(diǎn)，計算留數(shù)就比較麻煩，應(yīng)使用式（3.2.4），計算圍線外的留數(shù)；雙邊序列則分別求之。n

1如果

z

p

0

是

X

(z)z 的單一（一階）極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有（3.2.5）Re

s[

X

(z)z

n

1

,

z ]

[(z

z )

X

(z)z

n

1

]p

0 p

0 z

z

p

0n

1如果

z

pk

是

X

(z)z 的

N

階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有]z

zpk1n

1Re

s[

X

(z)z ,zpk]

(N

1)!dzN

1[(z

zpk)

X(z)zd

N

1n

1

N（3.2.6）第

3章Z變換【例

3-2-1】留數(shù)法求

z

逆變換1（1）已知

X

(z)

1,|

z

|

|

a

|

（2）已知

X

(z)

,|z|

|a

|1

az

1 1

az

1分別求其

z

逆變換。解

（1）在

z

a

處有一極點(diǎn)，從其函數(shù)收斂域可知，收斂域在極點(diǎn)之外，其函數(shù)為右邊序列，當(dāng)n

0

時

x(n)

0

；只有當(dāng)n

0

時，

x(n)

有值。圍線

c

內(nèi)

X

(z)zn

1

有一極點(diǎn)

a，由式（3.2.5）得z

n所以：

x(n)

an

(n)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）當(dāng)n

0

時，

x(n)

0

；只有當(dāng)n

0

時，

x(n)

有值。由式（3.2.4）和（3.2.5）得：x(n)

an

(

n

1)可見，同一個函數(shù)，由于收斂域不同，得出的序列是完全不同的，收斂域在求

Z逆變換時是必須考慮的條件。（2）從其函數(shù)收斂域可知，收斂域在極點(diǎn)之內(nèi)，圍線

c

外有一極點(diǎn)

a，其函數(shù)為左邊序列。第

3章Z變換分子多項式

B(z)

的根是

X

(z)

的零點(diǎn)，分母多項式

A(z)的根是

X

(z)

的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處

Z

變換不存在，將其展開：其中：

Bk

bk

/

a0

，

Ak

ak

/

a0部分分式展開式中，zpk

poles

為第

k個極點(diǎn)、rk

residues

為第

k個極點(diǎn)對應(yīng)的留數(shù)，r0

為

z=0（即

zp

0

0

）處的留數(shù)，

ck

為第

k

個余項，當(dāng)分子多項式的階次小于分母多項3.2.2

部分分式法Z

變換是一種線性變換，可以把它分解成許多常見的部分分式之和。然后查表求得各部分分式的

Z

反變換，最后把這些

Z

反變換相加即可。在實際應(yīng)用中，

X

(z)

一般是z

的有理多項式，即

（3.2.7）數(shù)字信號處理（MATLAB

版）式的階次，即

M<N

時，余項ck

0

，如果

X

(z)

含有的極點(diǎn)都是一階極點(diǎn)，則

X

(z)

可以展開為：（3.2.8）即：（3.2.9）式中，

r0

、rk

分別為

X

Z

/

z

在

z=0，

z

zpk

極點(diǎn)處的留數(shù)。因此：（1）如果式（3.2.1）中的收斂域(

z

R1

)

，則

x(n)

為因果序列，根據(jù)式（3.2.3）計算出的結(jié)果，第

3章Z變換得（3.2.10）（2）如果式（3.2.1）中的收斂域(

z

R2

)

，則

x(n)

為左邊序列，根據(jù)例

3-1-3(2)計算的結(jié)果，得：

（3.2.11）（3）如果果式（3.2.1）中的收斂域(R1

z

R2

)

，則

x(n)

為雙邊序列，則根據(jù)具體情況結(jié)合上述兩種方法解決。如果

X

(z)

只含有高于一階的極點(diǎn)，則

X

(z)

可以降階修改后用該辦法解決。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

3-2-2】部分分式法求

z

逆變換。，求信號

x(n)

的

z

逆變換。已知信號的

z

頻譜函數(shù)為

解：原式可分解為：

第

1

項為右邊序列，第

2

項為左邊序列。查Z變換表知道：則：第

3章Z變換3.2.3

冪級數(shù)展開法（長除法）根據(jù)式（3.1.3）Z

變換的定義，可知：所以只要在給定的收斂域內(nèi)，把

X（z）展開成冪級數(shù)，則級數(shù)的系數(shù)就是序列

x(n)

?！纠?/p>

3-2-3】冪級數(shù)展開法求

Z

反變換:

解：直接將其展開：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）因此可以看出：

x(

2)

1，

x(0)

1

，其它為

0，即：

0

1n

2n

0其他x(n)

1把

X

(z)

展開成冪級數(shù)的方法很多，當(dāng)

X

(z)

是

log、sin、cos

等函數(shù)時，可以利用已知的冪級數(shù)展開式將其展開。如果

X

(z)

是一個有理分式，分子和分母都是

z

的多項式時可以利用長除法展開。第

3章Z變換解：（1）

X

(z)

在

z

a

處有一極點(diǎn)，收斂域在極點(diǎn)所在圓外，是一種因果序列（右邊序列），

X

(z)

應(yīng)展開為

z

的降冪級數(shù)，所以可按降冪順次長除，有：【例3-2-4】長除法求的Z反變換。（1）(2)故數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（2）X

(z)

在

z

a

處有一極點(diǎn)，但收斂域在極點(diǎn)所在圓內(nèi)，是一種左邊序列，X(z)應(yīng)展開為

z

的升冪級數(shù)，所以可按

z

升冪順次長除，有：故

第

3章Z變換3.3.1

求

Z

變換如果離散序列

x(n)

可以用符號表達(dá)式，則可以直接用

MATLAB

的

ztrans()函數(shù)來求離散序列的單邊

Z

變換，其語法如下：X=

ztrans(x)該語法計算符號表達(dá)式

x

的

z

變換。其中

x

是變量

n

的函數(shù)，返回值

X

是

z

的函數(shù)。ztrans()函數(shù)的定義如下：（3.3.1）該函數(shù)只能計算從

0

開始的右邊序列。3.3Z

變換的

MATLAB

實現(xiàn)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

3-3-1】求信號

f

(n)

e

an

的

Z

變換。編寫

MATLAB

程序：>>symsnaz;>>

f=exp(-a*n);>>

simplify(ztrans(f))結(jié)果為：ans=

z/(z

-exp(-a))即：z

1

zea

1 z

e

a1F(z)

Z[e

an]

（3.3.2）【例

3-3-2】求右邊序列的

z變換。已知

x(n)

an

(n)

，求其

Z

變換。解：這是一個右邊序列，且是因果序列，其

Z

變換為：第

3章Z變換

X(z)

x(n)z

n

an

(n)z

n

anz

n

(az

1)nn

n

n

0 n

0求該數(shù)列可得：1 zX(z)

,|

z|

|a|1

az

1 z

a（3.3.3）這是一個無窮等比級數(shù)求和，只有在|

z

|

|

a

|

處收斂，

X

(z)

在

z

=

0

處有一個零點(diǎn)，在

z

=a處有一個極點(diǎn)，收斂域正是該極點(diǎn)所在圓|

z

|

|

a

|

以外的區(qū)域，如圖

3-3-1(1)所示。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）解：這是一個左邊序列，且是反因果序列，其

Z

變換為：

X

(z)

(a

1

z)mm

0（3.3.4）求該式得出結(jié)果為：1 aX(z)

,|z|

a1

a

1

z a

z（3.3.5）該級數(shù)只有在|

z

|

|

a

|

處收斂，收斂域正是該極點(diǎn)所在圓|

z

|

|

a

|

以內(nèi)的區(qū)域，如圖3-3-1(2)所示。用

MATLAB

的

ztrans()函數(shù)來求

z

變換。根據(jù)

ztrans()函數(shù)的定義可知，該函數(shù)只【例

3-3-3】求左邊序列的

z

變換。已知

，求其

Z

變換。令

m=-n

得：第

3章Z變換能計算從

0

開始的右邊序列，因此式（3.3.4）可變?yōu)椋?/p>

X

(z)

(a

1

z)m

(a

1

z

2)m

z

mm

0 m

0即：

x(m)

(z

2/

a)m編寫

MATLAB

程序：>>symsmaz;>>X=

ztrans((z^2/a)^m)輸出結(jié)果：X=ztrans((z^2/a)^m,z,w)z a即：

X

(z)

,|z|

|a

|z

z

2/

a a

z圖

3-3-1

右邊、左邊序列的收斂域第

3章Z變換（3.3.6）其語法為：x

=ztrans(X)【例

3-3-4】用

MATLAB

的

iztrans()函數(shù)求

z

逆變換解：上例

3-2-2

可用下列程序求出逆變換：>>symsna

z;>>F=z/(z-1/3)-z/(z-2);>>

iztrans(F)輸出結(jié)果：ans=(1/3)^n-2^n3.3.2

求

Z

逆變換用

iztrans()函數(shù)來求

z

逆變換。iztrans()函數(shù)的定義如下：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）3.3.3

留數(shù)法、部分分式法求

Z

逆變換在

MATLAB

中，residue()函數(shù)是執(zhí)行部分分式展開和多項式系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，可用

residue()函數(shù)計算極點(diǎn)和留數(shù)。因此可以用于留數(shù)法和部分分式法求

Z

逆變換。語法如下：[r,p,k]

=

residue(b,a)：返回部分分式展開式中的極點(diǎn)

p(poles)、相應(yīng)極點(diǎn)對應(yīng)的留數(shù)

r(residues)和余項

k，a、b為多項式的系數(shù)。（3.3.7）如果

M<N，則k

(z)

=0，注意

MATLAB

的下標(biāo)是從

1

開始，N

=

length(a)-1?！纠?/p>

3-3-5】留數(shù)法求

z

逆變換。z(z

1)(z

0.5)z

3

2z

2

1已知信號的

z

頻譜函數(shù)為

X

(z)

|

z

|

1

，求信號

x(n)

。第

3章Z變換解：由于

X(z)的收斂域為

z

1

，所以

x(n)

必然為因果序列，即

n≥0。將

X(z)的分母展開：>>expand(z*(z-1)*(z-0.5))得到結(jié)果為：ans

=z^3-3/2*z^2+1/2*zz

3

1.5z

2

0.5zz

3

2z

2

1即：

X

(z)

則根據(jù)X

(z)z z

4

1.5z

3

0.5z

2z

3

2z

2

1

求留數(shù)，程序如下：A=[1 -1.5 0.5 0 0];B=[0 1 2 0 1];[r,p,k]=residue(B,A)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）輸出結(jié)果為：r

= 8-1362p= 1.00000.500000k= []則信號為：第

3章Z變換3.3.4求函數(shù)零、極點(diǎn)可以用

MATLAB

的下列函數(shù)求函數(shù)的零極點(diǎn)。使用

tf2zpk()函數(shù)求零、極點(diǎn)使用[z,p,k]=tf2zpk(b,a)，可求出函數(shù)的零點(diǎn)

z、極點(diǎn)

p

和增益

k。2.

使用

roots()函數(shù)求零、極點(diǎn)可以使用多項式的

roots()函數(shù)分別求出分子多項式

B(z)

0

和分母

A(z)

0

的根，獲得函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）3.

繪制零極點(diǎn)圖用上述函數(shù)求得零極點(diǎn)后，就可以用

plot()函數(shù)繪制出零極點(diǎn)圖。也可以用下列函數(shù)直接繪制出零極點(diǎn)圖：zplane()函數(shù)用于繪制離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，用法如下：zplane(z,p)：使用已知的零極點(diǎn)繪制零極點(diǎn)圖，并顯示單位圓。zplane(b,a)：直接使用系統(tǒng)函數(shù)的分子向量

b

和分母向量

a

繪制零極點(diǎn)圖，并顯示單位圓。MATLAB還提供了函數(shù)

pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置圖，其用法如下：[p,z]=pzmap(b,a)：返回多項式形式的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量，而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。pzmap(b,a)：繪制出函數(shù)的零極點(diǎn)位置圖。第

3章Z變換Z

變換的性質(zhì)反映離散信號在時域特性和

z

域特性之間的關(guān)系，若無特別說明該性質(zhì)既適用于單邊也適用于雙邊序列。1.

線性滿足齊次性（比例性）和可加性（疊加性）。若：則：Z[ax(n)

by(n)]

aX

(z)

bY

(z)

（3.4.1）其中，a、b

為任意常數(shù)。3.4 Z

變換的性質(zhì)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）ROC：一般情況下，取二者的重疊部分，即max(Rx1

,

Ry1

)

z

min(Rx

2

,

Ry

2)

。注意：如相加過程出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消情況，收斂域可能變大。2.

雙邊

Z

變換的移序（移位）性質(zhì)若序列

x(n)

的雙邊

z

變換：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：（3.4.2）

原序列長度不變，只影響在時間軸上的位置，如圖

3-4-1

所示。第

3章Z變換圖

3-4-1

雙邊

z

變換的移序性質(zhì)3.

單邊

Z

變換的移序性質(zhì)若

x(n)

為雙邊序列，其單邊

z變換為：

Z

x(n)

(n)

雙邊序列的移位序列

x

n

m

、x

n

m

只是位置發(fā)生變化，長度與原序列

x

n

的長度一樣，如圖

3-4-1

所示。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）而雙邊序列的單邊

Z

變換序列的移位序列

x

n

m

n

、x

n

m

n

，比

x(n)

(n)

的長度有所增減，如圖

3-4-2

所示。圖

3-4-2

單邊

Z

變換序列的移位第

3章Z變換（1）左移位性質(zhì)若：

Z[x(n)

(n)]

X

(z)，z

R1則：（3.4.3）其中

m

為正整數(shù)。Z[x(n

m)

(n

m)]

z

m

X

(z)（3.4.4）由此可推出：（3.4.5）x

n

1

(n)

zX

z

zx

0

x

n

2

(n)

z

2

X

z

z

2

x

0

zx

1

（3.4.6）（3.4.7）數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

3-1-12】收斂域擴(kuò)大。zz

a已知：

x(k

)

ak

(k

)

，

X

(z)

，z

a

。則：

x(k

)

y(k

)

ak

(k

)

ak

(k

1)

δ

k

1

，

X

(z)

Y

(z)

1零極點(diǎn)相消，收斂域擴(kuò)大為整個

z平面。第

3章Z變換（3.4.8）其中

m

為正整數(shù)。例如：

x

k

1

(k

)

z

1

X

z

x

1

，

x

k

2

(k

)

z

2

X

z

z

1

x

1

x

2

對于因果序列k

0

時，

x

k

0

，則：（3.4.9）（3.4.10）（2）右移位性質(zhì)若：

Z[x(n)

(n)]

X

(z)，z

R1

，則：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）若：

Z[x(n)]

X

(z) R1

z

R

2則序列指數(shù)加權(quán)乘an

，a

為非

0

常數(shù)：（3.4.11）5.

時域求和性質(zhì)若：

Z[x(n)]

X

(z)R1

z

，則：zn

X

(z)z

1Z[ x(i)]

i

max(R1,1)

z（3.4.12）4.

Z

域尺度定理在時域乘指數(shù)序列相當(dāng)于在

z

域進(jìn)行尺度變換。第

3章Z變換6.

時域卷積定理時域卷積定理，也叫序列的卷積和定理。兩序列在時域的卷積，其

Z

變換等于兩序列在

Z

域中

z

變換的乘積。

若：

y(n)

x(n)

h(n)

x(m)h(n

m)m

且：

X

(z)

Z[x(n)]

,

Rx1

z

Rx

2

，

H

(z)

Z[h(n)]

,

Rh1

z

Rh

2

，則：Y

(z)

Z[

y(n)]

X

(z)H

(z)

，

max[Rx1

,

Rh1

]

z

min[Rx

2

,

Rh

2]

（3.4.13）收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分：

(

z

max(R1

,

R2

)

。注意：如果在相乘過程中有零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）7.

Z

域卷積定理若：

y(n)

x(n)

h(n)且：

X

(z)

Z[x(n)]

,

Rx1

z

Rx

2

，

H

(z)

Z[h(n)]

,

Rh1

z

Rh

2

，則：（3.4.14）收斂域：

Rx1

Rh1

z

Rx

2

Rh

2第

3章Z變換8.

Z

域微分定理在時域乘

k（線性加權(quán)），相當(dāng)于在

Z

域中對

Z

變換求導(dǎo)再乘-z。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（3.4.16a）其中m

為整數(shù)，且n

m

0當(dāng)m

0

時，（3.4.16b）10.

時域反轉(zhuǎn)若：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：

（3.4.17）說明信號在時域反轉(zhuǎn)時，在

z

域坐標(biāo)變換為

z

1

，其收斂域為倒置（因果變?yōu)榉匆蚬?.

Z

域積分定理除n

m

定理。若：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：第

3章Z變換11.

初值定理若

x(n)

為因果序列，

Z[x(n)

(n)]

X

(z)

，且

x(0)

存在，則：z

x(0)

limX

(z)（3.4.18）z

112.

終值定理若

x(n)

為因果序列，

Z[x(n)

(n)]

X

(z)

，且

x(

)

存在，則：x(

)

lim[(z

1)

X

(z)]

Re

s[

X

(z)]z

1 （3.4.19）終值

x(

)

存在，表明(z

1)

X

(z)

在

z=1

處是收斂的。

X

(z)

的收斂域至少在包含單位圓的圓外（因果序列），

X(z)

的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，如在單位圓上有極點(diǎn)，也只能是一階極點(diǎn)且位于

z=1（z=-1

不允許）。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）13.

共軛序列、翻褶序列若：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：Z[x*(n)]

X*(z*

)

，R

z

Rx1 x

2（3.4.20）其中

x*

(n)

為

x(n)

的共軛序列。翻褶序列：zZ[x(

n)]

X(

)1，

1Rx

2

z

1Rx1（3.4.21）第

3章Z變換系統(tǒng)函數(shù)決定了系統(tǒng)在時域和頻域的一些基本特性。系統(tǒng)的時域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來。3.5.1

差分方程的

z

域解法差分方程的

z

域解法是離散系統(tǒng)時域分析的一種間接求解法或變換域求解法，即先通過

Z

變換將差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程進(jìn)行分析計算，然后通過反變換求得時域的解。單邊

Z

變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。差分方程的一般形式為：3.5

離散系統(tǒng)函數(shù)及

MATLAB

實現(xiàn)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）如果輸入激勵

x(n)

為因果序列，得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的

Z

變換為：（3.5.1）將Y

(z)

進(jìn)行反變換即可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：y(n)

Z

1[Y

(z)]（3.5.2）將該式兩邊進(jìn)行

Z

變換，得：第

3章Z變換【例

3-5-1】差分方程的

z

域解法。已知離散系統(tǒng)的差分方程為：

y(n)

by(n

1)

x(n)

。求

x(n)

an

(n)

，

y(

1)

0

時的系統(tǒng)響應(yīng)

y(n)

。解：（1）將上式兩邊進(jìn)行

Z

變換：

Z[

y(n)

by(n

1)]

Z[x(n)]

，得：1

bz

1X

(z)Y

(z)

bz

1Y

(z)

X

(z)

，即： Y(z)

（2）已知輸入序列

x(n)

an

(n)

，求出

Z

變換。zz

a，(z

|a

|)這是一個右邊序列，由例

3-3-2

的（3.3.3）式得：

X

(z)

Z[an

(n)]

（3）將上述結(jié)果代入得：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）1 az bzz

2

(

)(z

a)(z

b) a

bz

a z

bz/(z

a)Y

(z)

11

bz（4）將Y

(z)

進(jìn)行反變換即可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：1(an

1

bn

1)

(n)a

by(n)

數(shù)字信號處理（MATLAB

版）

3.5.2

離散系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)的時域特性用單位脈沖響應(yīng)h(n)

表示，對h(n)

進(jìn)行傅里葉變換，得到：（3.5.3）稱

H

(e

j

)

為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，所以又稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。第

3章Z變換將h(n)

進(jìn)行

Z

變換，得到

H

(z)

h(n)z

nn

（3.5.4）h(n)

和

H

(z)

為一對

z

變換對：

Z

h(n)

H

(z)

，

h(n)

Z

1

H

(z)

一般稱

H

(z)

為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。根據(jù)

Z

變換的時域卷積定理，可知系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一對

Z

變換，即（3.5.5）如果

H

(z)

的收斂域包含單位圓|

z

|

1

，則：（3.5.6）因此在

z

平面單位圓上計算的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，或者說系統(tǒng)的傳輸函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)在單位圓上的

Z

變換。第

3章Z變換由此定義系統(tǒng)函數(shù)的多項式形式為：（3.5.7）注意：（1）系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

描述了系統(tǒng)的特性，H

(z)

只與系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)向量（分母向量用

A、分子向量用

B表示）、結(jié)構(gòu)有關(guān)。3.5.3

系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系從式（3.5.1）可知，對于線性時不變系統(tǒng)，如果輸入激勵

x(n)

為因果序列，得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的

Z

變換為：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（2）系統(tǒng)函數(shù)按

z

的降冪排列時，系數(shù)向量應(yīng)由最高次項系數(shù)開始，直到常數(shù)項，缺項補(bǔ)零。z

4

2z

3

3z

2

7z

53z

3

5z

2

11z例如：

H

(z)

則：A=[1,2,-3,7,5];B=[0,3,-5,11,0]（3）系統(tǒng)函數(shù)按

z-1

的升冪排列時分子、分母多項式應(yīng)保證維數(shù)相同，缺項補(bǔ)零。例如：則：A=[2,-5,7];B=[1,-5,0]（4）根據(jù)差分方程可以求出系統(tǒng)函數(shù)，反之亦然。（5）離散系統(tǒng)根據(jù)系數(shù)的不同，可分為

FIR

系統(tǒng)與

IIR

系統(tǒng)，這構(gòu)成了數(shù)字濾波器的兩大類型。第

3章Z變換【例

3-5-3】由差分方程求系統(tǒng)函數(shù)。已知離散系統(tǒng)的差分方程為：

y(n)

2

y(n

1)

x(n)

，求系統(tǒng)函數(shù)。解：參考例

3-5-1可知，將上式兩邊進(jìn)行

Z

變換，得Y(z)

X

(z)

11

2z

1 X

(z) 1

2z

1，即：

H

(z)

Y

(z)

在式（3.5.7）中，Y

(z)

是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的

Z變換，

X

(z)

是輸入序列的

Z

變換，則有：Y

(z)

H

(z)

X

(z) （3.5.8）線性時不變系統(tǒng)的輸出的Z

變換Y(Z)等于輸入信號的Z

變換X(Z)與系統(tǒng)函數(shù)H(Z)的乘積。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)函數(shù)的形式，即包含了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，包括幅頻特性和相頻特性。相應(yīng)的，零極點(diǎn)分布也決定了系統(tǒng)時域特性，極點(diǎn)決定系統(tǒng)的固有頻率或自然頻率，零點(diǎn)的分布情況只影響時域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率。3.6.1離散系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)對于實際的物理系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)必為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，極點(diǎn)決定時域的模態(tài)，零點(diǎn)影響各模態(tài)的幅度和震蕩模態(tài)的相位。離散系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)定義將式（3.5.7）所示的系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

進(jìn)行因式分解，采用根的形式表示為多項式，即：3.6

離散系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)及

MATLAB

實現(xiàn)第