三重積分上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁

設(shè)f(x

y

z)是空間有界閉區(qū)域

上的有界函數(shù)

將

任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

v1

v2

vn

其中

vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域

也表示它的體積

在每個(gè)小閉區(qū)域

vi上任取一點(diǎn)(

i

i

i)

作作和一、三重積分的概念下頁三重積分的定義

如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

趨于零時(shí)

這和的極限總存在

則稱此極限為函數(shù)f(x

y

z)在閉區(qū)域

上的三重下頁一、三重積分的概念三重積分的定義三重積分中的各部分的名稱

————積分號(hào)

f(x

y

z)——被積函數(shù)

f(x

y

z)dv—被積表達(dá)式

dv

————體積元素

x

y

z———積分變量

————積分區(qū)域

直角坐標(biāo)系中的三重積分一、三重積分的概念三重積分的定義

在直角坐標(biāo)系中

如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分

則

vi

xi

yi

zi

因此也把體積元素記為dv

dxdydz

三重積分記作

三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類似

三重積分的性質(zhì)首頁二、三重積分的計(jì)算下頁1

利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

{(x

y

z)|z1(x

y)

z

z2(x

y)

y1(x)

y

y2(x)

a

x

b}

>>>

設(shè)積分區(qū)域?yàn)?gt;>>

下頁平面x

2y

z

1所圍成的閉區(qū)域

區(qū)域

可表示為

解

先二重積分后定積分的方法下頁

一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分

設(shè)積分區(qū)域?yàn)?/p>

{(x

y

z)|(x

y)

Dz

c1

z

c2}

其中Dz是豎坐標(biāo)為z的平面截空間閉區(qū)域

所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域

則空間區(qū)域

可表為

解下頁點(diǎn)的柱面坐標(biāo)下頁2

利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x

y

z)為空間內(nèi)一點(diǎn)

并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P

的極坐標(biāo)為P(

)

則這樣的三個(gè)數(shù)

、

、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)

這里規(guī)定

、

、z的變化范圍為

0

<

0

2

<z<

直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系

x

cos

y

sin

z

z

柱面坐標(biāo)系中的體積元素

dv

d

d

dz

提示

簡單來說

dxdy

dxdydz

dxdy

dz

d

d

dz

d

d

柱面坐標(biāo)系中的三重積分下頁點(diǎn)的柱面坐標(biāo)2

利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x

y

z)為空間內(nèi)一點(diǎn)

并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P

的極坐標(biāo)為P(

)

則這樣的三個(gè)數(shù)

、

、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)

這里規(guī)定

、

、z的變化范圍為

0

<

0

2

<z<

直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系

x

cos

y

sin

z

z

柱面坐標(biāo)系中的體積元素

dv

d

d

dz

提示

的上邊界曲面為z=4

下邊界曲面為z

x2

y2

用極坐標(biāo)可表示為z

2

所以

2

z

4

提示

在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2

y24,用極坐標(biāo)可表示為:0

2,0

q

2

.下頁由曲面z

x2

y2與平面z

4所圍成的閉區(qū)域

閉區(qū)域

可表示為

解

2

z

4

0

2

0

2

這樣的三個(gè)數(shù)r、

、

叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)

這里r、

、

的變化范圍為

0

r<

0

<

0

2

下頁3

利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分球面坐標(biāo)系中的三重積分點(diǎn)的球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系球面坐標(biāo)系中的體積元素

dv

r2sin

drd

d

設(shè)M(x

y

z)為空間內(nèi)一點(diǎn)

則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、

、

來確定

如圖

x

rsin

cos

y

rsin

sin

z

rcos

提示

下頁

例4

求半徑為a的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積

解

該立體所占區(qū)域

可表示為

0

r

2acos

于是所求立體的體積為

此球面的方程為x2

y2

(z

a)2

a2

即x2

y2

z2

2az

在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2

2arcos

即r

2acos

0

0

2