第1頁/共1頁高一（上）期末試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若集合，則集合的子集個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集的定義，結(jié)合子集個數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為集合，，所以，因為集合中只有一個元素，所以集合的子集個數(shù)是，故選：B2.已知命題，則為A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“”，的否定為“”故選B.3.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求使解析式中各部分都有意義的的取值范圍即可.【詳解】要使有意義，則，解得，且，故的定義域為.故選：D.4.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的定義域可排除B選項，求特殊函數(shù)值可排除AC選項.【詳解】選項A，，則，但由圖象可知，，不滿足題意，故A錯誤；選項B，，由，解得，由函數(shù)圖象可知，函數(shù)在處有定義，故B錯誤；選項C，，則，理由同A項，故C項也錯誤；故的解析式可能是D.故選：D5.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)和分式型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，故有，此時函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故有，此時函數(shù)的值域為，要想函數(shù)的值域為，只需，故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B.7.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為，，所以，于是有，因為，所以，而，所以有，即，故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.8.設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，推得函數(shù)的周期為，令，得到且，進(jìn)而求得，，再由，即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，則，即又由為偶函數(shù)，可得，即，可得，即，所以所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因且令，可得且，又因為，即，即因為時，，可得，解得，再令，可得，即，所以，可得，所以，則.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.設(shè)為定義在R上的偶函數(shù)，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：顯然該函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，因為，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意；B：顯然該函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，因為，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，符合題意；C：顯然該函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，因為，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，符合題意；D：由該函數(shù)的解析式可知，顯然該函數(shù)的定義域不為全體實數(shù)，不符合題意，故選：BC10.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算法則逐一判斷即可.【詳解】A：因為，，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，因此本選項結(jié)論正確；B：因為，所以，因為，所以，即，于是有，因此本選項結(jié)論正確；C：當(dāng)時，顯然成立，而，所以本選項結(jié)論不正確；D：因為，，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，因此本選項結(jié)論正確，故選：ABD11.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A.若對任意，，總有，則是奇函數(shù)B.若對任意，，總有，則是偶函數(shù)C.若對任意，；總有，則D.若對任意，，總有，則【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷.【詳解】對于A，對任意，，總有，令得；令得，所以；令得，所以；令得，所以是奇函數(shù)，故A正確；對于B，對任意，，總有，令得；令得，所以是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，對任意，，總有，由A選項分析，令得，又因為，所以，故C正確；對于D，對任意，，總有，由B選項分析，令得，令得，所以；令得令得，所以令得，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.函數(shù)的最小正周期是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式，即可求得答案.【詳解】函數(shù)，，則，即函數(shù)的最小正周期為.故答案為：13.已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)存在性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因為函數(shù)對稱軸為，所以當(dāng)時，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因為存在，使得不等式成立，所以有，或，因此實數(shù)的取值范圍為，故答案為：14.已知函數(shù)，對任意實數(shù)，使得以，，數(shù)值為邊長可構(gòu)成三角形，則實數(shù)取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對鉤函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合絕對值的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】要想對任意實數(shù)，使得以，，數(shù)值為邊長可構(gòu)成三角形，只需，設(shè)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，因為，所以，當(dāng)時，即時，，此時，因此由，而，所以；當(dāng)時，即當(dāng)時，此時，此時，因此由，而，所以，若時，即時，若，即當(dāng)時，顯然此時，由，顯然，若，即當(dāng)時，顯然此時，因此由，而，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用對鉤函數(shù)的單調(diào)性求出的最值，再結(jié)合最值的正負(fù)性分類討論.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合，集合.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合交集的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合集合并集的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由，或，即或，若，所以【小問2詳解】由，或，即，因為，所以，即實數(shù)的取值范圍為.16.已知（1）化簡；（2）若，，且，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）運用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求解即可；（2）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的余弦公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】，【小問2詳解】因為，由（1）得，，結(jié)合，，則，所以,又因為所以所以，所以.17.北京時間2023年12月15日21時41分，我國在海南文昌航天發(fā)射中心用長征五號運載火箭成功將遙感四十一號衛(wèi)星順利送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功.據(jù)了解，在不考慮空氣動力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計算火箭的最大速度（單位：米/秒），其中（單位：米/秒）是噴流相對速度（即噴流相對火箭箭體噴出的速度，由火箭發(fā)動機性能決定，運動過程中視為常數(shù)），是指火箭的初始速度（單級火箭初始速度視為0，二級火箭視為上一飛行階段火箭的最大速度），在每個飛行階段中，（單位：噸）是火箭消耗的推進(jìn)劑的質(zhì)量，（單位：噸）是指火箭在該階段的總質(zhì)量（含推進(jìn)劑），稱為總質(zhì)比，已知型火箭是一枚單級火箭，型火箭是一枚二級火箭，它們的噴流相對速度均為1000米/秒.（參考數(shù)據(jù)：，）.（1）型火箭飛行時會經(jīng)歷兩個飛行階段，先點燃一級助推器，一級助推器燃料耗盡后將其拋掉，再點然二級火箭進(jìn)入第二階段，型火箭的總質(zhì)量共12噸，其中一級助推器總重量7噸，裝載了6噸推進(jìn)劑，二級火箭總重為5噸，裝載了4噸推進(jìn)劑，求理想狀態(tài)下型火箭的最大速度；（2）型火箭只有一個飛行階段，經(jīng)過技術(shù)改進(jìn)后其噴流相對速度提高到了原來的倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使型火箭在理想狀態(tài)下的最大速度至少增加500米/秒，求在技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值【答案】（1）米/秒（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知公式，結(jié)合公式中字母代表的意義、對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】第一階段：，，所以最大速度為，第二階段，最大速度為，因此理想狀態(tài)下型火箭的最大速度為米/秒；【小問2詳解】設(shè)，要使型火箭在理想狀態(tài)下的最大速度至少增加500米/秒，則有，因為，所以，因此技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值為.18.已知函數(shù)，的圖像關(guān)于點中心對稱.（1）求實數(shù)的值：（2）探究的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的平移性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為函數(shù)，的圖像關(guān)于點中心對稱，所以該函數(shù)向下平行一個單位，得到的函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，即函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，因此函數(shù)是奇函數(shù)，于有，即，因為，所以是奇函數(shù)，因此符合題意；【小問2詳解】因為，所以，設(shè)是任意兩個實數(shù)，且，，因為，所以，因此，所以函數(shù)是增函數(shù)；【小問3詳解】因為函數(shù)，的圖像關(guān)于點中心對稱，所以，即，所以由，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，或，解得，或，因此原不等式的解集為.19.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）用表示，中的最大值，設(shè)函數(shù)，，試討論的圖象與軸的交點個數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列出不等式組求解即得.（2）由時，得無零點，當(dāng)時，，再分類討論在上的零點即得.【小問1詳解】函數(shù)在是增函數(shù)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)在上單調(diào)遞增，且，于是，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】當(dāng)時，，因此在上無零點；則只須討論在上的零點個數(shù)，又時，，則只須討論在上的零點個數(shù)，對，，，對稱軸為，，①當(dāng)，即時，在上恒成立，則，無零點；②當(dāng)，則，在上單調(diào)遞減，顯然，，則存在唯一的，有，