2026屆江蘇省蘇州市吳江汾湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.2．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.3．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績，在高考后對我縣6000名考生進行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本，這項調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機抽樣法4．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓5．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.6．若將雙曲線繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.7．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.88．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.9．如圖，O是坐標(biāo)原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.10．若數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，若，且，則等于（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)的定義域為，若，則（）A. B.C. D.12．若雙曲線的一個焦點為，則的值為（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為______________14．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________15．已知空間向量，，若，則______16．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長18．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大??；（2）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積19．（12分）已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2,、分別為其左、右焦點．請從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件,完成下面的問題:①過點且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過點的直線l與橢圓E交于A,B兩點,與直線交于H點,若,．證明:為定值20．（12分）為讓“雙減”工作落實到位，某中學(xué)積極響應(yīng)上級號召，全面推進中小學(xué)生課后延時服務(wù)，推行課后服務(wù)“”模式，開展了內(nèi)容豐富、形式多樣、有利于學(xué)生身心成長的活動.該中學(xué)初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務(wù)更受歡迎，該校準備推行體育類與藝術(shù)類兩大類活動于2021年9月在初一學(xué)生中進行了問卷調(diào)查.（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男學(xué)生和的女學(xué)生愿意參加體育類活動，其他男學(xué)生與女學(xué)生都不愿意參加體育類活動，請完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認為愿意參加體育類活動與學(xué)生的性別相關(guān)？愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學(xué)生女學(xué)生合計（2）在開展了兩個月活動課后，為了了解學(xué)生的活動課情況，在初一年級學(xué)生中按男女比例分層抽取7名學(xué)生調(diào)查情況，并從這7名學(xué)生中隨機選擇3名學(xué)生進行展示，用X表示選出進行展示的3名學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.21．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項和，①求；②若不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∴若與關(guān)于x軸對稱，則，即，當(dāng)三點不共線時，當(dāng)三點共線時，所以同理(當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號)所以當(dāng)三點共線時，當(dāng)三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.2、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因為是的中點，是的中點，，故選：B3、B【解析】考生分為幾個不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】設(shè)點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【詳解】設(shè)點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數(shù)圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.5、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.6、C【解析】由題意，可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，再確定參數(shù)的正負即可求解.【詳解】雙曲線，令，則，顯然，則一條漸近線方程為，繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，則漸近線就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標(biāo)軸重合，故漸近線方程的傾斜角為120°，即，該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C7、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：B8、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.9、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B10、B【解析】由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求出的首項和公差，即可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得：，所以.故選：B.11、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得.故選：D.12、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點在軸，從而可得，再列方程可求得結(jié)果【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，，所以，解得，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當(dāng)三點共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當(dāng)三點共線時，最小，.故答案為：.14、【解析】分析：應(yīng)用換元法，令，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，確定關(guān)系式，即可求得答案.詳解：函數(shù)對稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調(diào)遞增，，解得，即實數(shù)的取值范圍是故答案為.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，考查了復(fù)合函數(shù)問題求解的換元法15、7【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知，因為，所以，即，解得故答案為：716、【解析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及積的求導(dǎo)法則計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，則，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.18、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關(guān)系可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)求其大小即可.（2）由（1）及題設(shè)有，應(yīng)用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個內(nèi)角，則，所以或；【小問2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負值），則∴19、（1）（2）證明見解析【解析】(1)選①:直線與橢圓聯(lián)立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公式即可(2)用直線參數(shù)方程的幾何意義求解【小問1詳解】選①:由題知,過點且斜率為1的直線方程為聯(lián)立,得由,得所以橢圓的方程為選②:由題知,所以由,得所以橢圓的方程為【小問2詳解】證明:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)A,B,H對應(yīng)的參數(shù)分別為,顯然將代入橢圓,得即.所以將代入直線,得由,得,所以由,得,所以所以所以為定值【點睛】關(guān)鍵點點睛：直線的參數(shù)方程作為一種工具，要充分發(fā)揮它的作用，參數(shù)的幾何意義并不局限于加絕對值表示距離，還要注意方向性.請考生在22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)初一男生數(shù)和女生數(shù)，結(jié)合有的男學(xué)生和的女學(xué)生，愿意參加體育類活動求解；計算的值，再與臨界值表對照下結(jié)論；（2）根據(jù)這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機選擇3名由抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因為初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名，且有的男學(xué)生和的女學(xué)生，所以愿意參加體育類活動的男生有300名，女生有200名，則列聯(lián)表如下：愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學(xué)生300100400女學(xué)生200100300合計500200700，所以有的把握認為愿意參加體育類活動與學(xué)生的性別相關(guān)；【小問2詳解】這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機選擇3名學(xué)生進行展示，抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機變量X分布列如下：X0123p21、（1）證明見解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項公式，從而得到的通項公式；（2）①由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問1詳解】證明：由，，當(dāng)時，可得，解得，當(dāng)時，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因為不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即22、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因為M