《定積分的概念》25.1.1引例引例1曲邊梯形的面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積。曲邊梯形:由連續(xù)曲線3解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得43)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積5引例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔[T1

,T2]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且v(t)0，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程。（1）“分割”（2）“代替”（3）“求和”（4）“取極限”路程的精確值6上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限（1）“分割”（2）“代替”（3）“求和”（4）“取極限”75.1.2定積分的概念定義5.1.1設(shè)函數(shù)f(x)在有界閉區(qū)間[a,b]上有定義,總趨于確定的極限I,則稱極限值I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，在區(qū)間[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)8被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和9注(1)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即10定理5.1.1(可積的必要條件)設(shè)f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界.定理5.1.2(可積的充分條件)（1）（2）且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)（3）有界但不可積如由定積分定義，前面討論兩例分別為11例1將下列極限表示成定積分形式。

iΔxi上式看成函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的積分和式。12

iΔxi135.1.3定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值14一內(nèi)容要點(diǎn)1定積分的概念被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和15注(1)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即162定積分的性質(zhì)173積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)184微積分的基本定理(牛頓—萊布尼茲公式)195定積分的換元積分法6定積分的分部積分法207廣義積分211.計(jì)算不定下列積分2210）設(shè)，求11）設(shè)求2312）設(shè)求

13）當(dāng)k為何值時(shí)，廣義積分收斂？當(dāng)k為何值時(shí),廣義積分取得最小值？

242.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且求3（1）若在上連續(xù)，證明（2）證明（3）證明254.（1）證明