雙曲線知識點總結(jié)班級____________姓名—上我的橫坐好滿足xE-adxMa.（3>頂點：①雙的線與它的著稱軸的交戊你為雙的廢的頂點.

仞識由一：雙曲線Y）定義在平面內(nèi).到兩個定點罵、瑪?shù)募从碇傅慕^對也等T常數(shù)2a不小于

0“2。<陽段）的動點尸的軌邊叫作雙曲段.這兩個定巾耳鳥叫雙曲兩你點的距離叫②雙曲畿。'<n>0,b>0>與坐";柏的兩個交點即為雙用我的兩個頂點，坐。分別為

A.<-a.0>.A..,.0）.JQ盧世密的怠中距離近來的，'

作雙州找的便距.③兩個頂點間的線段AM叫作雙曲線的實軸：設(shè)B,<0.-b>.B,（0.b）為y軸上的兩個點.

注在：1.雙業(yè)規(guī)的定義中,常數(shù)2。應當法足的妁束條件卜隨「2“<1號為I,這可以借助則線&B,B.叫做雙曲他的由觸，女釉和&釉的長也分別為IAA-2a.l?.B.I-2b,。叫做女曲線的黃牛

柏長,b叫儆雙曲痛的虔串做長.

于三角形中邊的"關(guān)性城"兩邊之里不不小于第三邊”來理的：

.1.'.：i.WWl紋乂到兩個頂點,而橢國有四個風也.內(nèi)交把雙■我的虛軸與橢團的掠/福酒

2.若去并定義中的“泊對也”,常奴0滿足的柬條件：閥,閥1=北<陽段9>0）.則動②雙曲段的焦點通在實軸上.③實軸和虛MW長的雙曲線稱為等軸雙曲戲.

2cc

點軌跡儀表達雙曲找中猛煤點吊的一支；若廬為HP用=2。<|4段<。>0）,則動點軌跡僅々

（4）榭心率：①雙曲線向熊卻與實林長的比叫做雙曲線的離心率.用。表達?記上2a

達雙蒯規(guī)中搴焦點R的一支I

3.若常數(shù)0疏足的柬條件?|網(wǎng)■阿卜2“■品|則動點恥^以艮.由—（5亨■爐

.F,為羯點的兩條射線（包②由于c>a>0.因北雙曲城的離心率

括端.立）?bb

4.若需攻。滿足約束條件:閥-網(wǎng)=2”監(jiān)|"訊及不存於因此a決定雙fll稅的開口大小，。越大.。也過大，雙曲統(tǒng)開”就推開闊.因此離心率可以用未我達

雙曲線開c的大小機鷹.③警岫雙曲段4=6.因此離心率6=應.

5,若盤軟。=0.則動點軌過為線段FF的垂直平分線.

知識點二?女曲淺的原則方程（5）漸近規(guī)：通過點AoA作y軸的平行規(guī)x土C,通過點口、B,作x軸的平行姚廣士b,四條H線

/J；

樹成書柜形（如圖）.S■形的柄條村用妓所在直線的方程達'a.我為把之為,。alfti

1.當假點在X油上時,雙曲段的保則方程I/V~（。>00>0）,其中

雙的餞的漸近蜿.

丁-Ll

注意：四曲線叮它的漸近或無瞅拿近,但永不相交?

2."i”.點在y軸上時,雙曲線的原則方程，戶戶（。>°上>0）.M中W_y=1>'-X'=i

注意：L只行當雙曲跳的中心為坐點,片林岫為坐E珈建立H角坐標系時，才能用我雙曲跳的感知識點四：雙胞線/V與//一（。>0/>0）的區(qū)別和聯(lián)絡(luò)

則方程；

2.在雙由線的兩種（O1方程中，均伍2=/+/；///X?

3.雙曲城的例點胞在實軸上，即系數(shù)為11：的項所對應的坐標拙上,‘與刀2的東軌為d：時,燉點在X整上，W則方程丁丁%>0.?>0)/■/=%>03>0)

雙曲理的他點坐標為（C°）,（Y?°）：當丁的東數(shù)為正時，,他點在尸物上,雙曲戲的他點坐標.為（°工）.

（0.Y）.r

以“p

如識點三，雙曲段的?KJ撲幾何性質(zhì)

Hi圖形

雙曲找/產(chǎn)（a>0.b>0）的簡樸兒柯性所b

“）對稱性?對于雙曲線原則方用/戶?4（FQ）,瑪（*O）*Q-c),&Q6

(a>0.b>0).把x換成一

印卜*3+/）用瑪卜加（C=J『+b2）

性順<5

x.或把y換成一y,或杷x、y刊步接或一X.-f.方杵都不變?因此雙曲段a(8>0.b

>0）ffiWxtt.yfrt為居林軸的軸刻稱圖形.」1是以質(zhì)點為描稱中心的中心刻稱圖形，這個時稼中心

(由《-/?成Co).y^R帥一身2。）一"

稱為以Cl戰(zhàn)G中心.范明

（2）范於雙曲或上所行的點都在兩條平行直線爐一?和磨**|4儂I耽仲的.因此對

對稱性力美X柏、y岫和里點刈林制自關(guān)線pj明、戶段」6瑪1和向結(jié)介心來.

頂點.也◎(O.±a)I-怎樣研定雙由我的爆則方程？當且僅當雙痛戲的對錢中。在坐標限點，對稱軸是會標地，x（曲找

的方程才是睨則方程形式.此時,雙曲找的焦點在坐忸軸上.

燦實岫K=2a.匹珀匕=》2.以曲推班劃方程中的三個量b.C的幾何承義

雙曲線原則方程中.mb、c三個量的大小與坐標系無關(guān).是由雙曲線自身所碉旋的.分刈衣達

離心率<?-(<>!)

a疝曲線的實半軸長.由半柏太和半強距長.均為正數(shù),且三個I*的大小美星為?c＞a.c＞b.且c：=b%力

”也.a3.怎樣由Mm畿電則方程“新戰(zhàn)點位置

附近戰(zhàn)方程…1X

aD業(yè)斷線的體點總在實粕匕因此已知以財方程.別斯靠點位置的描施是：石x'y：的耒數(shù)，黃如

_Z_］x'JJI的聚數(shù)是正的.那么焦點在X軸.匕假如y'項的系數(shù)是iE的.都么體危在，,2I.注意：對于雙

知識點五?雙曲紋的漸近姚：（】＞已如雙曲姚方程求於近線方程?若雙曲線方程為a'b2~.期曲線.a不一定不小了b,因此不能像81n那樣通過比較分母的人小來裝定優(yōu)點在.中條坐標物上.

I.方程Ax“By：=C（A、B.。均不為零）農(nóng)送女曲城的條件

鼻-4=0=＞-±q=Oy-±-x/

3?

只漸近線方丹為db2aba注意：＜l）已如72曲線方陽.旃雙曲線方xc￡

/一B

即

程中的“尊如換或"O",然后因大分桿即件漸近統(tǒng)方程.方程M+B/XOI化為cc.因此只布卜B#號.”程龍達雙南線.

＜2）己如漸近統(tǒng)方程求以由線方程?若雙曲線漸近姚方程為腐）土亞=0,Q］可設(shè)雙曲紋力程為

當:rt“時，戲曲式的輾點瞑軸匕當7°丁0時,雙曲稅的焦點修鈍上.

""一"寸=2.愜律（口知條件?求出義即可.＜3＞與雙曲找了爰"一二公共新造紋的雙曲線

5.求覆曲觸涼期〃巴的小月加城：①拘走京攻法：山HII條“曬走，”總的住K.從mifWiE〃”：的哭

梨.設(shè)出原則力和,再由豺I的定方年中的&敏a.b、c的值.我或贅環(huán)節(jié)是”先至型,再定H-I

方程可改為J.＜入＞0,焦效在X軸上，入＜0.熊點在：軸上＞（4）等犍雙副跳

Z定義法：由afl條件劉斷出動點的粘邊是什么圖形.然后再根據(jù)定義跑定方程.

的用近烘等觸*曲我的兩條漸近筑?工相京！1,為了=土X.網(wǎng)此的林雙曲技叩2為/-V=雙N*0）注意：若定義中“筌的也對假”中的絕對tU.拉,點的象臺成為“的戊的一支,先峭定方程類型.

再確定您改明b.即先定里.再定儀.并兩種類里均布也許.則然分類討論.

知識點六，雙曲戰(zhàn)圖像中線段的幾何特性，1］，］/

6.花樣處理與便點三角即APF,F,（P為雙曲線上的點）仃關(guān)的計算向咫？

雙曲/4=%＞。"）,如叫

與需點三角形△哨尸明美的il算何IS叭?？紤]到用以田戰(zhàn)的定義及氽弦定理（或勾股定理）.

⑴加軸id華b勿，虎軸K2〃焦矩I"內(nèi)卜次（2＞95.OT.I//\I卜，

三角形面枳公式'"遇V」颶忖n"”相結(jié)合的抵例行計g*臨招有關(guān)境段悶L

，山=叫皿地,唐…颶I.喀L有關(guān)爾4%站含起笈本小咨卜1%1、網(wǎng)1儼段之間的先系.

I網(wǎng)1班114鼎I"/。V7,⑶甌到保點哪調(diào)［4用.

l4?4l=c?。.〃段=|4?周="+c,⑷"4鳥中皓會定“附1卜產(chǎn)剛=〃匕金餞定理.

【殳式3]已如點P6.y*rM?；i^J（x-l）'+3-l）'?J（x+3）2+8+3y=4則動點p

7.紀樣的定離心辛。的取值狀況與雙曲線彩狀的關(guān)系？:離?率a,illfc-a^b:.用c、b表

的軌跡是（>

A.ttWB,雙曲線中的一支C.橋條射找D.以上都K對杵窠IB

e，=Jl+32

達力aVa,當。加大Bt.axa±.即淅近線夾仍，含x他i嫉大.勉開門球止，反之.

類型二：雙曲我的以劃方程：2.求，作曲線正T-而公共住點，且過巾（頭近⑵的雙■蝶的

e越小.開口小小.惠心小反成了雙曲投開口的大小,fie>l.

收則方程.

8.橢Ph雙曲線的區(qū)別和聯(lián)絡(luò):_________________________________________________________

x3y3

橢網(wǎng)雙曲一

耨法?.依依菰設(shè)咫曲我方FY為1一E丁=】；由己如褥J+b'=c'=20,又改由茂過點

根蛆MlMMF：|=2amiRlMFil-tf：|=±2a

f=20rJ=]2

a>c>0.0<a<c.3

（3。？/=1（3^2）_4_]=>L_?

R-)c-h>0)W⑵.a7；.*.a1b2：故所乘雙曲線的方程為

沁。//-1

//.

7V=l

解法二?依法窟設(shè)雙曲線力&為16-土4+**,招點（女尼.2）代入16-上4+方..解卻上=4

（8>b>0）<a>0.b>0.H不一定不小于b)

"=1因此雙曲線方程為128.【變式】求中心在隙力..可林軸為坐標柏.“攻八九,.，他來距為0

頗姍方獨統(tǒng)一為，mn

,=2LW.i

類型一?以角踐的定義1.已知。0”（x，5>?y：-3?fti（x-5）;*y;-9一力的雙曲統(tǒng)的期地方程【存窠】正7°

<D若動BIP與?！?。，均內(nèi)切.求動詞網(wǎng)心P點的軌邊：（2）苦動阿Q4；0,.。，均外切.求“，陽

已知雙曲我的兩個焦點之間的跑離為送上一點到兩點的的鷹之龍的結(jié)對值為

用心Q戲的軌跡.3.L.F,26.MittSi24.

求雙曲線的則方程.

解析：（1》設(shè)G5P半徑為R.二。。占00；相寓.AhiR-2.|P0>|=?-3.,.|P（X|-|PQ,I=1.Ki

解析I由題就科2?吆*2c-26..,.n-12.c-13.b*-l3:-12-25.

又I0QIT0

二由雙曲蛭的定義.P點的軌諼是以Q.缶為性點.2a=1.2c=10的雙曲褪的力2.X3_/_j

<2）設(shè)。Q卡徑為r,則1m-r?2.IQO.-r，3A|l?.-Q0,-1.幻0曲|?1。

l當雙曲線的焦點在x柏上N.雙前我的方程為14425：當四曲線的俅點在“他上時.以曲我

二山雙曲線的定義.Q點的軟跡是以n“Ok為焦點.2a=1.2c=10的雙曲她的左支.

塔-反:【變式】】已知定,也付（一2.0）.FK2.0）.平加內(nèi)滿足下列條件的動點I1的軌動為四曲線的

ft<）A.IPFJTPF,=±3B.IPF.|-|PF.I=±4C.lPFi|-|PFr|=±5D.F.--花「=±4[??]

的方程為M425.

A

的結(jié)升，“求雙曲線的原通方程謨是求a',上的值.同步還變確定便點所在的坐標物.雙曲我所

（45X2]已加點F,?>,13）.FJ0.13）.動點P到F,與F：的跑出之差的艷對值為26.■動點P

的挑選方程為（）在的生標粕.不ASK陽班科希x\/的分@的大小.而是看/、y'的系數(shù)的正負.

A.y-0B.廠：><x<一]3成”>13）C.K-0<lyl>13）P.Cl上切不對1件案】CM/

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【類型三?雙曲線的幾何性質(zhì)4.方抬mT\m\-2表達雙曲線.求實數(shù)”的取值范例，

加-5>0fw-5<0（w>5fw<5扇-（6揚：

__________l?|-2>0l|?|-2<0O[w<-2st?>2l-2<ffi<2

（j4sft程為49.?.?點兒&&揚在雙曲線上..'.49.制都4=4，所求立

=m>5或-2<附<2....玄敝1,的取值公國為你|m>5或-2（尚<?.±上=】

曲線力科為1636―

。結(jié)XI華I方程友達網(wǎng)曲岐時,A、R舁號.

士+―總結(jié)升華：求雙尚餞使方程,美城是求。、b.在解壯過程中應熟悉各元點（a、b.e.e及

【變式1】k>9林方程9-2k-4及通雙曲線的（）

戊投）之間的關(guān)系.并注尊方丹思杷的應川.若上知雙曲線的漸近埃方祝°萬士方=Q.可設(shè)立由我方

A.充足必要條件B.充足不必要條件C.仍要不充足條件D.既不充足又不必要條忤【符*】B

/_丁=1用//-/爐="'0八

【變式2】式雙曲段陽？+[24-rn的盤距.【答案】8

彳一g=1x=±-yy=±-x

總結(jié)升華?雙曲茂Ib2的港近線方程為aWb?若惠曲戲的方程為

根據(jù)F列條件,來刈&世方程.（D與“曲底§16"行共同的漸近戰(zhàn)，H過點（-3.2、歷：（2）

漸近我方程為為+2y=0,u雙曲線過點M（8,6j力.第析：（,）解法當他.點在x軸上時.~m~n（根?>0.4>0.優(yōu)點在XMil：.X<0,您點在y軸匕）.則H；漸近線方程為

—b=—4