第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年甘肅省蘭州市四校聯(lián)考九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共11小題，每小題3分，共33分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在數(shù)軸上，表示下列各數(shù)的點到原點距離最近的是（）A.+1 B.-2 C.+3 D.-42.中國的航天技術已達到世界先進水平，為世界科技進步貢獻了中國智慧.下列中國航天圖標中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，則tanB等于（）A. B. C. D.5.圖1為我國高鐵座位的實物圖，圖2是將其抽象得到的圖形，座位OA和座椅靠背OB的夾角∠AOB=105°，小桌板支撐桿OC與桌面CD的夾角∠OCD=125°，則座椅靠背OB與小桌板支撐桿C形成的夾角∠BOC的度數(shù)是（）A.10° B.15° C.20° D.25°6.如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，CD⊥AB于E，DE=2，AB=8，則AC的長為（）A.8

B.10

C.4

D.4

7.社團活動是豐富學生校園生活，發(fā)展學生個性的重要方式，深受學生喜愛.正面印有四個社團名稱的宣傳卡片如圖所示，它們除正面外完全相同.把這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機一次抽取兩張，卡片正面恰好為美術社和書法社的概率為（）

A. B. C. D.8.碳酸鈉的溶解度y（g）與溫度t（℃）之間的對應關系如圖所示，則下列說法正確的是（）A.當溫度為60℃時，碳酸鈉的溶解度為49g

B.碳酸鈉的溶解度隨著溫度的升高而增大

C.當溫度為40℃時，碳酸鈉的溶解度最大

D.要使碳酸鈉的溶解度大于43.6g,溫度只能控制在40℃～80℃9.我國古代數(shù)學名著《四元玉鑒》中記載：“九百九十九文錢，及時梨果買一千，一十一文梨九個，七枚果子四文錢.問梨果各幾何？”意思是：用999文錢買得梨和果共1000個，梨11文買9個，果4文買7個，問梨果各買了多少個？如果設梨買x個，果買y個，那么可列方程組為（）A. B.

C. D.10.“準、繩、規(guī)、矩”是我國古代使用的測量工具.一個簡單結(jié)構的“矩”指兩條邊成直角的曲尺（如圖1），它的兩條邊長分別為a、b.中國古老的天文和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中簡明扼要地闡述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以測量物體的高度.如圖2，從“矩”EFG的一端E處望向一根桿子的頂端B處，使視線通過“矩”的另一端G處，測得DE=1米，AD=4米，若“矩”的邊EF=1米，F(xiàn)G=0.5米，則這根桿子的長AB為（）?A.4米 B.3米 C.2米 D.1米11.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則（）A.abc＜0

B.2a+b＜0

C.2b-c＜0

D.a-b+c＜0二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。12.已知a6÷am=a2，m的值為______．13.拋物線的頂點坐標是

.14.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，BC與⊙O交于點D，連結(jié)OD．若∠C=55°，則∠AOD的度數(shù)為______．

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B分別在x軸和y軸上，點C為AB的中點，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C.若點B的坐標為（0，6），OC=5，則k=

.

三、計算題：本大題共1小題，共6分。16.解方程：x2－4x－1＝0．四、解答題：本題共10小題，共69分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

化簡：[（x+y）2-y（2x+y）-6x]÷2x.18.(本小題6分)

解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

19.(本小題6分)

如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線y=ax交于點D（1，4），點A是線段OD上的一個動點，過點A作y軸的垂線分別交反比例函數(shù)圖象和y軸于點B和點C.

（1）求k和a的值；

（2）根據(jù)圖象直接寫出的自變量x的取值范圍；

（3）當AB長為時，求點A的坐標.20.(本小題6分)

今年央視春晚節(jié)目《秧BOT》別出心裁，獨樹一幟，人機共舞為文化傳承搭建了新的橋梁，不僅舞出了精彩的節(jié)目，更是舞出了傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技交織的藝術新境界.科創(chuàng)小達人菲菲從某省的快遞分揀站隨機抽取A、B兩種型號的智能機器人各10臺，統(tǒng)計它們每天可分揀的快遞數(shù)量.

【數(shù)據(jù)收集與整理】

A型號的智能機器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬件）條形統(tǒng)計圖如圖所示：

B型號的智能機器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬件）如表所示：分揀快遞數(shù)量（萬件）1617202223機器人臺數(shù)（臺）11521【數(shù)據(jù)分析與運用】

兩組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)整理如表：眾數(shù)/萬件中位數(shù)/萬件平均數(shù)/萬件A型號14和16b15B型號a20c請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）填空：表中a=______，b=______；

（2）請計算表中c的值；（需要寫出計算過程）

（3）若該省共投放市場的A型號智能機器人有80臺，B型號智能機器人有100臺，請你估計該省每天用這兩種智能機器人分揀的快遞共有多少萬件？21.(本小題6分)

如圖，點D為∠ABC的角平分線上一點，DE垂直BC于點E.點G在射線EC上，且DB=DG.

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點D作AB的垂線交AB于點F（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫結(jié)論）；

（2）在（1）所作的圖形中，求證：BF=EG，請完成下面的證明過程.

證明：∵BD平分∠ABC，

∴①______，

∵DE⊥BC，DF⊥AB，

∴∠DEB=∠DFB=90°，

在△BED和△BFD中，

，

∴△BED≌△BFD（AAS），

∴④______，

∵DB=DG，DE⊥BC，

∴⑤______，

∴BF=EG.22.(本小題6分)

學完了三角函數(shù)知識后，我校“數(shù)學社團”的同學決定用自己學到的知識測量某塔的高度，他們把“測量塔高”作為一項課題活動，并制定了測量方案，利用課余時間完成了實地測量，測量結(jié)果如表：課題測量某塔的高測量說明測量示意圖說明：CD是高為1.5米的測角儀，在點C處測得塔頂A的仰角∠ACM=∠1，點E處測得此時塔頂A的仰角∠AEM=∠2，（B、F、D三點在同一條直線上）測量數(shù)據(jù)∠1的度數(shù)∠2的度數(shù)CE的水平距離40°60°26米請根據(jù)表中的測量數(shù)據(jù)，求塔高AB.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，）23.(本小題6分)

張麗是學校羽毛球社團的成員，某次在訓練時使用自助發(fā)球機進行訓練，如圖所示，將發(fā)球機放置在點O處.羽毛球發(fā)射的初始位置的高OA=1.5m.若羽毛球從點A發(fā)射后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，羽毛球在飛行過程中，在與點O的水平距離為5m時達到最高點，在與點O的水平距離為11m時的高度為0.4m,落地點為B，以OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系.

（1）求羽毛球飛行路線所在拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若張麗的身高為1.6m,在距離羽毛球發(fā)球機9m的C處使用球拍接球（球拍接觸到羽毛球的飛行路線即為接到球）時，球拍高出頭頂0.6m,她能否接到羽毛球，請通過計算說明理由.24.(本小題6分)

如圖，以點O為圓心，AB長為直徑作圓，在⊙O上取一點C，延長AB至點D，連接DC，∠DCB=∠DAC，過點A作AE⊥AD交DC的延長線于點E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若CD=4，DB=2，求AE的長．25.(本小題6分)

綜合與探究

【問題情境】

如圖1，小美將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在射線BD上，點B的對應點記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn).

【活動猜想】

（1）如圖2，當點B′與點D重合時，請判斷四邊形BEDF的形狀并證明；

【問題解決】

（2）如圖3，在矩形紙片ABCD中，若邊AB=8，，AC與BD交于點O.

①請判斷A′B′與對角線AC的位置關系，并說明理由；

②當B′D=4時，請求出此時AE的長.26.(本小題15分)

在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：對于圖形W和圖形W外一點P，若在圖形W上存在點M，N，使PM=2PN，則稱點P是圖形W的一個“2倍關聯(lián)點”.例如：如圖1，已知圖形W：△ABC，A（0，2），B（-1，0），C（1，0）；點P（0，-1）到△ABC上的點的最小距離為PO=1，到△ABC上的點的最大距離為PA=3，則PA＞2PO.因此在△ABC上存在點M，N，使得PM=2PN，則點P是△ABC的一個“2倍關聯(lián)點”.

（1）如圖2，已知A（0，1），B（2，1）.

①判斷點P1（2，-1）______線段AB的一個“2倍關聯(lián)點”；（填“是”或“不是”）

②若點P2（1，m）是線段AB的“2倍關聯(lián)點”，求m的最小值；

（2）如圖3，⊙O的圓心為原點，半徑為1，若在直線l：y=x+b上存在點Q是⊙O的“2倍關聯(lián)點”，求b的取值范圍.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】4

13.【答案】（3，4）

14.【答案】70°

15.【答案】12

16.【答案】解：∵x2-4x-1=0，

∴x2-4x=1，

∴x2-4x+4=1+4，

∴（x-2）2=5，

∴x=2±，

∴x1=2+，x2=2-．

17.【答案】解：[（x+y）2-y（2x+y）-6x]÷2x

=（x2+2xy+y2-2xy-y2-6x）÷2x

=（x2-6x）÷2x

=x2÷2x-6x÷2x

=．

18.【答案】1＜x≤4，．

19.【答案】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象與直線y=ax交于點D（1，4），

∴k=4，a=4，

（2）根據(jù)圖像可知，的自變量x的取值范圍為：0＜x＜1．

（3）由（1）可知，反比例函數(shù)解析式為y=，正比例函數(shù)解析式為：y=4x,

設A（m,4m）則B（m+，4m），

∵點B在反比例函數(shù)圖象上，

∴4m（m+）=4，

解得m=或m=-2（舍去），

∴A（，2）．

20.【答案】20

15

21.【答案】

∠1=∠2；∠DEB=∠DFB；BD=BD；BE=BF；BE=EG

22.【答案】44.0米．

23.【答案】（1）y=-0.1x2+x+1.5

（2）不能，理由：

當x=9時，y=-0.1×92+9+1.5=2.4，

球拍的高度為1.6+0.6=2.2m，

∵2.2＜2.4，

∴不能接到羽毛球

24.【答案】（1）證明：連接OC，OE，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，

又∵∠DCB=∠CAD，

∵∠CAD=∠OCA，

∴∠OCA=∠DCB，

∴∠DCB+∠BCO=90°，

即∠DCO=90°，

∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠DCO=90°，OC=OB，

∴OC2+CD2=OD2，

∴OB2+42=（OB+2）2，

∴OB=3，

∴AB=6，

∵AE⊥AD，AB是⊙O的直徑，

∴AE是⊙O的切線，

∵CD是⊙O的切線；

∴AE=CE，

∵AD2+AE2=DE2，

∴（6+2）2+AE2=（4+AE）2，

解得AE=6．

25.【答案】四邊形BEDF是菱形，證明見解析；

①A′B′∥AC，理由見解析；

②AE=或．

26.【答案】解：（1）①不是；

②如圖2，過點P作P2C⊥AB于點C．

當P2A=2P2C時，點P2是線段AB的“2倍關聯(lián)點”，此時m的值最?。?/p>

在Rt△ACP2中，∠P2AC=30°，

∴

∴，

又∵P2C=1-m,

∴，

解得：，

∴點m的