第=page22頁，共=sectionpages22頁2025-2026學年吉林省長春市榆樹市慧望中學八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A. B. C. D.3.141414…2.下列整式運算正確的是（）A.3a+2b=5ab B.a2?a3=a6 C.（-a3b）2=a6b2 D.a2b3÷a=a33.以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.3，4，5 B. C.32，42，52 D.4.下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A.a（x+y）=ax+ay B.x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x

C.5x2+10x=5x（x+2） D.x2-4x-4=（x-2）25.長春冰雪大世界的工匠雕刻一座等腰三角形冰雕時，為保證冰雕對稱美觀、重心穩(wěn)定，雕刻時需先確定關(guān)鍵基準線.工匠在冰雕的頂角頂點處系了一根鉛錘線（重力作用下鉛錘線始終垂直于水平面），若鉛錘線恰好經(jīng)過底邊的中點，則可判斷該冰雕的兩腰長度相等，且鉛錘線為底邊上的高.能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是（）A.等邊對等角 B.垂線段最短

C.三角形具有穩(wěn)定性 D.等腰三角形“三線合一”6.《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學著作.書中記載的“折竹抵地”問題：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，問折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高20尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為5尺，問折處高幾尺？即：如圖，AB+AC=20尺，BC=5尺，設(shè)AC為x尺，則下列方程正確的是（）A.x+（20-x）2=52 B.x2+20=（20-x）2

C.x2+2（20-x）=52 D.x2-52=（20-x）27.如圖，若AB=4，AC=3，△ADC的周長為7，下列尺規(guī)作圖方法中，不能確定BC的中點的是（）A.

B.

C.

D.8.中國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中，給出證明三角形面積公式的出入相補法.如圖，在△ABC中，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE，過點A作AF⊥DE，垂足為點F，將△ABC分割后拼接成長方形BCHG.已知DE=5，AF=3，則△ABC的面積為（）A.33

B.30

C.27

D.24二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9.8的立方根是

.10.=

.11.長方形的面積是6a2-2ab,若一邊長是2a,則另一邊長是

.12.如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是

.

13.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為______．

14.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，過點C作CD⊥AB于點D，過點B作BM⊥AC于點M，連接MD，過點D作DM⊥DN，交BM于點N.CD與BM相交于點E，若點E是CD的中點，則下列結(jié)論：①△BDE≌△CDA；②DM=NE；③∠AMD=45°；④EM：MC：NE=1：2：3.正確的是

（填序號）.三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題6分)

計算：

（1）；

（2）（x-3）（x+4）-x（x+6）.16.(本小題6分)

因式分解：

（1）3a3-12a2+12a；

（2）（2x+y）2-（x+2y）2.17.(本小題6分)

先化簡，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a-4）-13，其中.18.(本小題7分)

如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D、E.

（1）求證：△ACD≌△CBE；

（2）延長EB至點F使得BF=DE，連接AF交CE于點G，若BF=8，BE=4，求AC的長.19.(本小題7分)

圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.點A、B、E、H均在格點上.只用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡.

（1）在圖①中，以AB為腰畫一個等腰三角形ABC；

（2）在圖②中，以AH為邊畫一個三角形AFH，使△ABH≌△HFA；

（3）在圖③中，畫△ABE的高線ED.20.(本小題7分)

2025年被定為“全國青少年冰雪運動推廣年”.某校響應號召，計劃開設(shè)冰壺、滑雪、滑冰、冰球四個冰雪運動社團，倡導學生全員參加，為了解學生對這四項運動的喜愛情況，隨機抽取部分學生進行“我最喜愛的冰雪運動項目”問卷調(diào)查（每名學生選擇且只能選擇一項），將這部分學生的問卷進行整理，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次抽取的學生總數(shù)為______人；

（2）請補全條形統(tǒng)計圖；

（3）m的值為______；

（4）若該校共有2000名學生，估計該校最喜愛滑雪運動的學生有多少人？21.(本小題8分)

如圖1是我國古代用于冷藏食物的青銅冰鑒，由放置食物的方尊缶（中間小正方形）和放置冰塊的方鑒（外圍大正方形）組成，從上方往下看的形狀如圖2所示.已知大正方形的邊長為（2a+b）cm,小正方形的邊長為（a-b）cm.

（1）放置冰塊的區(qū)域為大正方形與小正方形的面積差，請用含a,b的式子表示放置冰塊部分的面積并化簡；

（2）當a=40，b=5時，求放置冰塊區(qū)域的面積.22.(本小題9分)

【閱讀】公元前6世紀，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于______，這個結(jié)論在中國稱為“勾股定理”.

【驗證】我國三國時期的數(shù)學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖①的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”），其中四邊形ABDE和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過程，請你將他下面的證明過程補充完整：

已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b,BC=a,AB=c.

求證：a2+b2=c2.

證明：由圖可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG

∵S△ABC=______，正方形FCHG邊長=______；

∴S正方形ABDE=c2=4×，即c2=a2+b2.

【遷移】如圖②，將等腰直角三角板ABD頂點A放在直線l上，過點B作BC⊥l,過點D作DE⊥l,垂足分別為C、E.

（1）求證：△ABC≌△DAE；

（2）聰聰認真觀察圖②后發(fā)現(xiàn)：如果設(shè)AC=b,BC=a,AB=c,此圖也可以利用面積法證明勾股定理.請你幫聰聰完成證明過程.

【應用】如圖③，某景區(qū)內(nèi)有一塊三角形ABC草坪，∠C=90°，∠A=60°，AC=50m,BC=50m,點D為邊AB的中點，小明從A點出發(fā)，先到邊BC上某一點E，再到D點，最后回到A點，如何確定BC上點E的位置，才能使所走的路徑（AE+ED+DA）最短？并求直接寫出最短路徑的長為______.

23.(本小題10分)

【猜想論證】林林同學在探究三角形中線的相關(guān)知識時發(fā)現(xiàn)：在三角形中，若一條邊的中線長等于這條邊長的一半，那么這條邊所對的角就是直角.于是，他嘗試做出如下證明：如圖①，CD是△ABC的中線，且，求證：∠ACB=90°.

證明：∵CD是△ABC的中線，∴，

∵，∴AD=CD=BD，

∴∠DCB=∠B，∠ACD=∠A.（______）（填依據(jù)）

在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，

【證明過程缺失】

∴，即∠ACB=90°.

（1）請補全林林缺失的推理依據(jù)和證明過程；

【思維遷移】

（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一點，且CD=BD.求證：AD=CD；

【拓展運用】

（3）通過推理不難發(fā)現(xiàn)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，當D是AB的中點時，AD=CD=BD；請利用上述結(jié)論，解決下面的問題.

如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，將△DBE沿直線DE翻折，得到△DME，若BE=2，AE=5，連接AD，當∠ADM=60°時，DE的長為______.

24.(本小題12分)

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，動點P從點A出發(fā)，沿A-C-A以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿C-B-C以每秒1個單位長度的速度做往返運動（到達B后立即沿BC返回C），連結(jié)PQ.當點P到達點A時，P、Q同時停止運動.設(shè)點P的運動時間為t秒（t＞0）.

（1）在點P從A運動到C的過程中，線段CP的長為______；（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當點P與點C重合時，求線段BQ的長；

（3）當△CPQ為等腰直角三角形時，求t值；

（4）分別過點P、Q作PD⊥AB于點D，QE⊥AB于點E.當△APD≌△QBE時，直接寫出t的值.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】2

10.【答案】-4

11.【答案】3a-b

12.【答案】

13.【答案】cm

14.【答案】①③④

15.【答案】

-5x-12

16.【答案】3a（a-2）2

3（x+y）（x-y）

17.【答案】解：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a-4）-13

=（a2+6a+9）-（a2-1）-（4a-8）-13

=a2+6a+9-a2+1-4a+8-13

=2a+5，

當時，原式=．

18.【答案】∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠BEC=∠ADC=∠ACB=90°（垂直的定義），

即∠CBE+∠ECB=∠ACD+∠ECB，

∴∠CBE=∠ACD，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）

19.【答案】如圖所示，△ABC即為所求

如圖所示，△AFH即為所求

如圖所示，ED即為所求

20.【答案】50

補全條形統(tǒng)計圖如下：

24

720人

21.【答案】（3a2+6ab）cm2

6000cm2

22.【答案】∵∠ACB=∠DEA=90°，∠BAD=90°，

∴∠CAB+∠CBA=∠CAB+∠EAD=90°，

∴∠CBA=∠EAD，

又∵AB=DA，

∴△ABC≌△DAE（AAS）；

∵AE=BC=a，DE=AC=b，

∴CE=AC+AE=a+b，

∵S梯形BCED=S△ABC+S△ABD+S△ADE，

∴，

∴a2+2ab+b2=ab+c2+ab，

∴a2+b2=c2；

作點A關(guān)于直線BC的對稱點F，連接DF交BC于E，此時AE+ED+AD有最小值，最小值為

23.【答案】等邊對等角；∵CD是△ABC的中線，

∴，

∵，

∴