一、教學(xué)背景分析：為何要學(xué)習(xí)圓的組合圖形面積？演講人教學(xué)背景分析：為何要學(xué)習(xí)圓的組合圖形面積？課后作業(yè)：讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活總結(jié)升華：從方法到思想的凝練（5分鐘）教學(xué)過程設(shè)計(jì)：從具象到抽象的思維進(jìn)階教學(xué)目標(biāo)設(shè)定：從知識(shí)到素養(yǎng)的進(jìn)階目錄2025小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓的組合圖形面積課件作為一名深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終相信：數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)從來(lái)不是孤立的符號(hào)運(yùn)算，而是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象與重構(gòu)。當(dāng)孩子們從單一圓的面積計(jì)算邁向圓與其他圖形的組合探究時(shí)，這不僅是知識(shí)的延伸，更是空間觀念、邏輯思維與問題解決能力的綜合升級(jí)。今天，我將以“圓的組合圖形面積”為核心，從教學(xué)背景、目標(biāo)設(shè)定、探究過程到總結(jié)升華，為大家展開這節(jié)數(shù)學(xué)課的完整設(shè)計(jì)。01教學(xué)背景分析：為何要學(xué)習(xí)圓的組合圖形面積？1課標(biāo)與教材定位《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“圖形與幾何”領(lǐng)域明確提出：第二學(xué)段（5-6年級(jí)）學(xué)生需“能解決與圓的周長(zhǎng)和面積相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題”，并“經(jīng)歷用不同方式測(cè)量物體長(zhǎng)度的過程，體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性”。六年級(jí)上冊(cè)“圓”單元中，教材在編排完“圓的認(rèn)識(shí)”“圓的周長(zhǎng)”“圓的面積”后，專門設(shè)置“組合圖形的面積”課時(shí)，這既是對(duì)單一圖形面積計(jì)算的拓展，也是為初中“平面幾何”學(xué)習(xí)埋下思維伏筆。2學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)經(jīng)過前期學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握：①圓的面積公式(S=\pir^2)及推導(dǎo)過程（轉(zhuǎn)化為近似長(zhǎng)方形）；②長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形等基本圖形的面積計(jì)算；③初步的圖形分割意識(shí)（如將不規(guī)則圖形分割為規(guī)則圖形）。但實(shí)際教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍存在兩大困惑：一是面對(duì)“圓與其他圖形疊加”時(shí)，無(wú)法快速識(shí)別基本圖形；二是對(duì)“重疊部分”“缺口部分”的面積處理缺乏系統(tǒng)方法。這正是本節(jié)課需要突破的關(guān)鍵點(diǎn)。3現(xiàn)實(shí)意義生活中，圓的組合圖形隨處可見：小區(qū)里的環(huán)形花壇（圓+圓環(huán)）、鐘表表面（圓+指針覆蓋區(qū)域）、蛋糕包裝紙（圓+扇形）……讓學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算這些圖形的面積，本質(zhì)上是在培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)，正如我常對(duì)學(xué)生說的：“數(shù)學(xué)不是黑板上的公式，而是你手里的量尺、眼里的形狀?！?2教學(xué)目標(biāo)設(shè)定：從知識(shí)到素養(yǎng)的進(jìn)階教學(xué)目標(biāo)設(shè)定：從知識(shí)到素養(yǎng)的進(jìn)階基于課程標(biāo)準(zhǔn)、教材要求與學(xué)生實(shí)際，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為“三維一體”：1知識(shí)與技能目標(biāo)能正確計(jì)算組合圖形的面積（含重疊、缺口等特殊情況），誤差控制在合理范圍內(nèi)。掌握“分割法”“添補(bǔ)法”“割補(bǔ)法”三種分解組合圖形的核心方法；能準(zhǔn)確識(shí)別圓與長(zhǎng)方形、正方形、三角形等基本圖形組合而成的復(fù)合圖形；CBA2過程與方法目標(biāo)1通過“觀察—猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”的探究路徑，經(jīng)歷從復(fù)雜圖形到基本圖形的轉(zhuǎn)化過程；2在小組合作中，學(xué)會(huì)用不同方法分解同一組合圖形（如既可用分割法也可用添補(bǔ)法），發(fā)展思維的靈活性；3通過“生活實(shí)例→數(shù)學(xué)模型→問題解決”的建模過程，提升抽象概括能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)在解決真實(shí)問題（如計(jì)算班級(jí)植物角圓形花臺(tái)與外圍正方形護(hù)欄的占地面積差）的過程中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；教學(xué)重點(diǎn)：掌握組合圖形的分解方法，正確計(jì)算圓與其他圖形組合的面積。通過攻克“重疊部分面積”等難點(diǎn)，體驗(yàn)“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的學(xué)習(xí)樂趣；培養(yǎng)“有序思考、嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算”的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如用不同顏色筆標(biāo)注分解后的圖形，避免重復(fù)或遺漏。教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確識(shí)別隱藏的半徑（如正方形內(nèi)切圓的半徑是邊長(zhǎng)的一半），合理處理重疊或缺口部分的面積。010203040503教學(xué)過程設(shè)計(jì)：從具象到抽象的思維進(jìn)階1情境導(dǎo)入：生活中的圓組合圖形（5分鐘）“同學(xué)們，上周春游時(shí)我們參觀了學(xué)校附近的文化廣場(chǎng)，大家還記得廣場(chǎng)上的景觀嗎？”（展示照片：中心圓形噴泉，外圍正方形花壇；鐘表造型的景觀墻，時(shí)針、分針覆蓋的扇形區(qū)域；兒童游樂區(qū)的半圓秋千架與長(zhǎng)方形底座。）“這些美麗的景觀中，藏著我們今天要研究的數(shù)學(xué)問題——圓的組合圖形面積。請(qǐng)大家仔細(xì)觀察照片，說說你看到了哪些圖形的組合？”（學(xué)生可能回答：圓+正方形、圓+扇形、半圓+長(zhǎng)方形……教師板書關(guān)鍵詞：組合圖形=基本圖形之和/差）設(shè)計(jì)意圖：用學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景導(dǎo)入，激活已有經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)滲透“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”的理念。2探究新知：分解組合圖形的三大方法（25分鐘）2.1方法一：分割法——化整為零“如果我們要計(jì)算噴泉與外圍花壇的占地面積差，該怎么想呢？”（展示平面圖：外沿是邊長(zhǎng)8米的正方形，中心是直徑6米的圓形噴泉）引導(dǎo)學(xué)生思考：“整個(gè)區(qū)域可以看作哪兩個(gè)基本圖形？”（正方形面積-圓形面積）教師總結(jié)：“當(dāng)組合圖形由幾個(gè)不重疊的基本圖形組成時(shí)，我們可以用‘分割法’，把它分解為幾個(gè)基本圖形，分別計(jì)算面積后相加；如果是‘包含’關(guān)系（如正方形包含圓），則用總面積減去部分面積?！奔磿r(shí)練習(xí)：計(jì)算“半圓+長(zhǎng)方形”的圖形面積（半圓直徑=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=10cm，長(zhǎng)方形寬=6cm）。學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后，教師展示兩種分割思路：①長(zhǎng)方形面積+半圓面積；②將半圓補(bǔ)為整圓，計(jì)算整圓面積÷2后再加長(zhǎng)方形面積。強(qiáng)調(diào)“分割的關(guān)鍵是找到基本圖形的尺寸關(guān)聯(lián)”（如半圓直徑=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)）。2探究新知：分解組合圖形的三大方法（25分鐘）2.2方法二：添補(bǔ)法——補(bǔ)全求差“接下來(lái)我們看另一種情況：文化廣場(chǎng)有一塊‘月牙形’裝飾（展示圖形：大圓半徑4cm，小圓半徑3cm，兩圓部分重疊形成月牙），如何計(jì)算月牙的面積？”學(xué)生可能疑惑：“月牙不是基本圖形，怎么分解？”教師引導(dǎo)：“如果我們把月牙補(bǔ)成一個(gè)完整的大圓，會(huì)發(fā)現(xiàn)月牙=大圓面積-重疊部分面積。但重疊部分也是一個(gè)不規(guī)則圖形，這時(shí)候可以換個(gè)思路——月牙其實(shí)是大圓減去小圓的一部分？”（展示動(dòng)態(tài)課件：大圓覆蓋小圓，月牙是大圓超出小圓的部分）“哦！原來(lái)月牙面積=大圓面積-小圓面積？”有學(xué)生突然醒悟。教師追問：“這個(gè)結(jié)論成立的前提是什么？”（兩圓同心，且小圓完全在大圓內(nèi)）總結(jié)“添補(bǔ)法”：當(dāng)組合圖形存在缺口或不規(guī)則邊緣時(shí)，可先補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則圖形（如完整的圓、長(zhǎng)方形），再減去補(bǔ)上的部分面積。2探究新知：分解組合圖形的三大方法（25分鐘）2.2方法二：添補(bǔ)法——補(bǔ)全求差典型例題：計(jì)算“正方形缺四分之一圓”的面積（正方形邊長(zhǎng)10cm，缺口是半徑10cm的四分之一圓）。學(xué)生嘗試用添補(bǔ)法：正方形面積-四分之一圓面積=10×10-?×π×102=100-25π。2探究新知：分解組合圖形的三大方法（25分鐘）2.3方法三：割補(bǔ)法——等積變形1“現(xiàn)在我們挑戰(zhàn)更難的圖形：兩個(gè)半徑均為5cm的圓部分重疊，重疊區(qū)域是一個(gè)‘橄欖形’（展示韋恩圖），如何計(jì)算單個(gè)圓除去重疊部分的面積？”2學(xué)生討論后，教師引導(dǎo)：“如果我們把其中一個(gè)圓的重疊部分‘割’下來(lái)，‘補(bǔ)’到另一個(gè)圓的缺口處，會(huì)發(fā)生什么？”（動(dòng)態(tài)演示割補(bǔ)過程，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓未重疊部分的總面積=一個(gè)圓的面積）3“這說明，割補(bǔ)法的核心是利用‘等積變形’，將不規(guī)則部分轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形?！苯處熝a(bǔ)充：“這種方法在古代數(shù)學(xué)中早有應(yīng)用，比如劉徽的‘割圓術(shù)’，就是通過割補(bǔ)將圓轉(zhuǎn)化為近似多邊形。”4學(xué)生活動(dòng)：用透明圓片動(dòng)手操作，兩人一組模擬割補(bǔ)過程，記錄發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（如重疊部分面積=兩圓面積之和-組合圖形總面積）。3難點(diǎn)突破：隱藏的半徑與重疊面積（15分鐘）3.1如何找到隱藏的半徑？“同學(xué)們?cè)诰毩?xí)中常問：‘題目沒直接給半徑，怎么找？’其實(shí)，圖形的位置關(guān)系會(huì)給出線索?！保ㄕ故救N典型情況）1情況1：圓內(nèi)切于正方形（正方形邊長(zhǎng)=圓的直徑）2例：正方形邊長(zhǎng)12cm，內(nèi)切圓的半徑=12÷2=6cm，面積=π×62=36πcm2。3情況2：圓外切于正方形（正方形對(duì)角線=圓的直徑）4例：正方形邊長(zhǎng)10cm，對(duì)角線=10√2cm，圓半徑=5√2cm，面積=π×(5√2)2=50πcm2。5情況3：半圓與長(zhǎng)方形拼接（長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=半圓的直徑）6例：長(zhǎng)方形長(zhǎng)8cm，寬5cm，半圓直徑=8cm，半徑=4cm，半圓面積=?×π×42=8πcm2。73難點(diǎn)突破：隱藏的半徑與重疊面積（15分鐘）3.2重疊部分面積的計(jì)算“當(dāng)兩個(gè)圓重疊時(shí)，重疊部分是一個(gè)‘透鏡形’，計(jì)算它的面積需要用到扇形面積與三角形面積的差?！保ㄕ故緢A心距d=6cm，半徑r=5cm的兩圓）教師分步講解：連接兩圓圓心O?、O?，以及重疊部分的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，形成菱形O?AO?B；計(jì)算∠AO?B的度數(shù)（用余弦定理：cosθ=(r2+r2-d2)/(2r2)=(25+25-36)/(2×25)=14/50=0.28，θ≈73.74）；扇形O?AB的面積=(θ/360)×πr2≈(73.74/360)×25π≈5.12π；三角形O?AB的面積=?×r2×sinθ≈?×25×sin73.74≈12.5×0.96≈12；3難點(diǎn)突破：隱藏的半徑與重疊面積（15分鐘）3.2重疊部分面積的計(jì)算重疊部分面積=2×(扇形面積-三角形面積)≈2×(5.12π-12)=10.24π-24（cm2）?！斑@個(gè)過程有點(diǎn)復(fù)雜，但同學(xué)們要記?。褐丿B面積=兩個(gè)扇形面積之和-菱形面積?！苯處熖嵝眩骸靶W(xué)階段不要求精確計(jì)算角度，遇到具體題目時(shí)，題目通常會(huì)給出特殊角度（如90、60），方便計(jì)算?！?鞏固練習(xí)：分層設(shè)計(jì)，思維進(jìn)階（10分鐘）4.1基礎(chǔ)題（面向全體）計(jì)算下圖面積（單位：cm）：圖1：正方形邊長(zhǎng)10cm，內(nèi)部有一個(gè)最大的圓（求正方形與圓的面積差）；圖2：長(zhǎng)方形長(zhǎng)12cm、寬8cm，上下各有一個(gè)半圓（求整個(gè)圖形的面積）。0102034鞏固練習(xí)：分層設(shè)計(jì)，思維進(jìn)階（10分鐘）4.2提高題（面向中等生）圓形花壇直徑8米，周圍有一條寬1米的石子路（求石子路的面積，即圓環(huán)面積）；鐘表表面半徑10cm，時(shí)針長(zhǎng)6cm、分針長(zhǎng)8cm（求12:00到12:15分針掃過的面積）。4鞏固練習(xí)：分層設(shè)計(jì)，思維進(jìn)階（10分鐘）4.3拓展題（面向?qū)W優(yōu)生）兩個(gè)相同的半圓組成“太極圖”（展示圖形），大圓直徑10cm，求黑色部分的面積（提示：利用對(duì)稱性，黑色部分=半圓面積）。反饋方式：學(xué)生獨(dú)立完成后，小組內(nèi)互查，教師抽取3-5名學(xué)生上臺(tái)講解思路，重點(diǎn)關(guān)注“分解方法是否合理”“半徑是否找對(duì)”“重疊部分是否漏算”。04總結(jié)升華：從方法到思想的凝練（5分鐘）總結(jié)升華：從方法到思想的凝練（5分鐘）“同學(xué)們，今天我們一起探索了圓的組合圖形面積計(jì)算，現(xiàn)在請(qǐng)大家閉上眼睛，回憶一下：你學(xué)會(huì)了哪些方法？”（學(xué)生自由發(fā)言：分割法、添補(bǔ)法、割補(bǔ)法）“這些方法的核心是什么？”（轉(zhuǎn)化——將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形）“數(shù)學(xué)中，‘轉(zhuǎn)化’是一種重要的思想方法，就像我們以前學(xué)過的‘平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形’‘圓轉(zhuǎn)化為近似長(zhǎng)方形’。今天的學(xué)習(xí)，不僅讓我們能計(jì)算組合圖形的面積，更讓我們體會(huì)到：遇到新問題時(shí)，不妨退一步，看看能不能用學(xué)過的知識(shí)解決?！弊詈?，我會(huì)用一句話與學(xué)生共勉：“圖形再?gòu)?fù)雜，分解見真章；面積雖難算，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵?！?5課后作業(yè)：讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活課后作業(yè)：讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活基礎(chǔ)作業(yè)：課本第78頁(yè)練習(xí)十五第3、5題（計(jì)算組合圖形面積）；實(shí)踐作業(yè)：測(cè)量家中一個(gè)