《數(shù)學(xué)廣角：重疊問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)-2025-2026學(xué)年人教版（新教材）小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)學(xué)情分析本課是第七單元《復(fù)習(xí)與關(guān)聯(lián)》中的應(yīng)用提升內(nèi)容，聚焦“重疊問(wèn)題”這一數(shù)學(xué)廣角核心知識(shí)點(diǎn)，是對(duì)前序“數(shù)據(jù)的收集與整理”單元知識(shí)的延伸與拓展，契合新課標(biāo)“在真實(shí)情境中分析數(shù)據(jù)、解決重疊計(jì)數(shù)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)”的要求。三年級(jí)學(xué)生已具備初步的分類、計(jì)數(shù)能力，能通過(guò)列表、畫(huà)圖等方式收集整理數(shù)據(jù)，在生活中也接觸過(guò)“重疊”現(xiàn)象（如同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組、兩類事物的交叉部分），但對(duì)重疊問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)知模糊，易出現(xiàn)“重復(fù)計(jì)數(shù)”或“遺漏重疊部分”的錯(cuò)誤，缺乏用規(guī)范模型（韋恩圖）解決問(wèn)題的意識(shí)。同時(shí)，學(xué)生對(duì)“總數(shù)=兩部分之和-重疊部分”的數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)能力較弱，難以關(guān)聯(lián)前序除法、加法知識(shí)靈活解題。本課將依托生活情境，通過(guò)直觀操作、模型建構(gòu)，幫助學(xué)生理解重疊問(wèn)題的核心邏輯，掌握韋恩圖的運(yùn)用方法，實(shí)現(xiàn)從“直觀感知”到“理性建?！钡恼J(rèn)知跨越，為后續(xù)高年級(jí)容斥原理的深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)模型意識(shí)：能識(shí)別生活中的重疊現(xiàn)象，理解韋恩圖各部分的含義，掌握用韋恩圖表示重疊問(wèn)題的方法，建立“總數(shù)=A類數(shù)量+B類數(shù)量-重疊數(shù)量”的核心模型，能運(yùn)用模型解決簡(jiǎn)單的重疊計(jì)數(shù)問(wèn)題。推理意識(shí)：通過(guò)觀察、對(duì)比、討論，自主推導(dǎo)重疊問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，能解釋“為什么要減去重疊部分”的邏輯，能通過(guò)舉例驗(yàn)證模型的通用性，培養(yǎng)初步的邏輯推理與歸納總結(jié)能力。數(shù)據(jù)意識(shí)：能結(jié)合前序數(shù)據(jù)收集與整理知識(shí)，對(duì)重疊問(wèn)題中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類、梳理、計(jì)數(shù)，能通過(guò)韋恩圖直觀分析數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，提升數(shù)據(jù)解讀與運(yùn)用能力。應(yīng)用意識(shí)：能運(yùn)用重疊問(wèn)題模型解決教材中的興趣小組、事物分類等實(shí)際問(wèn)題，能關(guān)聯(lián)除法、加法等前序知識(shí)破解綜合問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，養(yǎng)成多角度思考問(wèn)題的習(xí)慣。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)理解重疊問(wèn)題的本質(zhì)，掌握韋恩圖的繪制與解讀方法，熟練運(yùn)用“總數(shù)=A類數(shù)量+B類數(shù)量-重疊數(shù)量”的公式解決簡(jiǎn)單重疊計(jì)數(shù)問(wèn)題，關(guān)聯(lián)前序知識(shí)完成基礎(chǔ)應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)理解韋恩圖各部分（只屬于A類、只屬于B類、既屬于A又屬于B）的含義，自主推導(dǎo)重疊問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系；能快速識(shí)別綜合問(wèn)題中的重疊部分，關(guān)聯(lián)多單元知識(shí)（如除法分配、數(shù)據(jù)整理）靈活解題，避免重復(fù)或遺漏計(jì)數(shù)。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件：包含生活重疊現(xiàn)象圖（興趣小組、水果分類）、人教版教材關(guān)聯(lián)例題、韋恩圖動(dòng)態(tài)演示圖、數(shù)據(jù)整理表格、綜合應(yīng)用題、錯(cuò)題案例、知識(shí)關(guān)聯(lián)思維導(dǎo)圖；學(xué)具：每人準(zhǔn)備韋恩圖空白模板、彩色筆（紅、藍(lán)兩種）、數(shù)據(jù)分類卡片、練習(xí)紙、鉛筆、尺子；教具：放大版韋恩圖教具、磁性分類卡片（興趣小組名稱、水果名稱）、錯(cuò)題展示板、優(yōu)秀練習(xí)展示板。教學(xué)過(guò)程情境導(dǎo)入：生活聯(lián)結(jié)，引出問(wèn)題教師課件出示生活情境圖（貼合教材數(shù)據(jù)整理單元風(fēng)格）：“三年級(jí)（1）班同學(xué)參加興趣小組，參加語(yǔ)文小組的有8人，參加數(shù)學(xué)小組的有9人，其中有3人既參加了語(yǔ)文小組，又參加了數(shù)學(xué)小組。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)班參加興趣小組的一共有多少人？”師生互動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生自主列式，預(yù)設(shè)出現(xiàn)兩種答案：①8+9=17（人）；②8+9-3=14（人）。教師追問(wèn)：“為什么會(huì)有兩種不同的答案？這兩個(gè)算式分別代表什么意思？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)矛盾核心：“既參加語(yǔ)文又參加數(shù)學(xué)小組的3人，在8人和9人中都被計(jì)算了一次，屬于重復(fù)計(jì)數(shù)，所以要減去重復(fù)的3人?！迸f知遷移：“我們之前學(xué)過(guò)數(shù)據(jù)的收集與整理，能用列表、畫(huà)圖的方式把參加小組的人數(shù)表示出來(lái)，清晰看到重復(fù)的部分嗎？”學(xué)生嘗試用簡(jiǎn)單畫(huà)圖、列表表示，教師肯定后引導(dǎo)：“今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)一種專門表示重疊問(wèn)題的圖形——韋恩圖，用它能更直觀地看清重疊部分，解決重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題?！保ò鍟?shū)課題：復(fù)習(xí)與關(guān)聯(lián)——數(shù)學(xué)廣角：重疊問(wèn)題）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)真實(shí)興趣小組情境引出矛盾，喚醒學(xué)生對(duì)重疊現(xiàn)象的生活認(rèn)知，同時(shí)關(guān)聯(lián)前序數(shù)據(jù)整理知識(shí)，讓學(xué)生初步感知重復(fù)計(jì)數(shù)的問(wèn)題所在，自然引出韋恩圖模型，為后續(xù)探究鋪墊基礎(chǔ)。新知探究：分層建模，理清算理探究一：認(rèn)識(shí)韋恩圖，解讀各部分含義直觀演示，構(gòu)建韋恩圖教師出示放大版韋恩圖教具，結(jié)合興趣小組情境動(dòng)態(tài)演示：“左邊的紅色圓圈表示參加語(yǔ)文小組的人數(shù)，右邊的藍(lán)色圓圈表示參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，兩個(gè)圓圈重疊的部分，就表示既參加語(yǔ)文小組又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)（重復(fù)部分）?！睅焼?wèn)生答：“紅色圓圈中，不與藍(lán)色圓圈重疊的部分表示什么？”（只參加語(yǔ)文小組，不參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)）“藍(lán)色圓圈中，不與紅色圓圈重疊的部分表示什么？”（只參加數(shù)學(xué)小組，不參加語(yǔ)文小組的人數(shù)）“重疊部分為什么要單獨(dú)標(biāo)注？”（因?yàn)檫@部分人數(shù)被兩個(gè)小組同時(shí)包含，計(jì)數(shù)時(shí)容易重復(fù)）。動(dòng)手操作：讓學(xué)生拿出空白韋恩圖模板，用紅、藍(lán)彩筆標(biāo)注各部分含義，結(jié)合情境填寫人數(shù)：①重疊部分填3人（既參加語(yǔ)文又參加數(shù)學(xué)）；②紅色圓圈不重疊部分填8-3=5人（只參加語(yǔ)文）；③藍(lán)色圓圈不重疊部分填9-3=6人（只參加數(shù)學(xué)）。計(jì)數(shù)驗(yàn)證，感知邏輯教師引導(dǎo)：“現(xiàn)在我們通過(guò)韋恩圖計(jì)算總?cè)藬?shù)，有幾種計(jì)算方法？”學(xué)生自主探究后匯報(bào)：方法一：分部分相加。只參加語(yǔ)文+只參加數(shù)學(xué)+重疊部分=5+6+3=14（人）；方法二：兩部分之和減重疊。語(yǔ)文小組總?cè)藬?shù)+數(shù)學(xué)小組總?cè)藬?shù)-重疊部分=8+9-3=14（人）。教師強(qiáng)調(diào)：“方法二是解決重疊問(wèn)題的核心方法，重疊部分被重復(fù)計(jì)算了一次，所以要減去1次，確保每人間只被計(jì)數(shù)一次?！蓖瑫r(shí)板書(shū)核心公式：總數(shù)=A類數(shù)量+B類數(shù)量-重疊數(shù)量。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教具演示、動(dòng)手操作，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)韋恩圖的結(jié)構(gòu)與含義，結(jié)合兩種計(jì)數(shù)方法的對(duì)比，初步感知重疊問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從“直觀畫(huà)圖”到“公式建模”的過(guò)渡，落實(shí)模型意識(shí)。探究二：推導(dǎo)數(shù)量關(guān)系，驗(yàn)證模型通用性教師出示教材關(guān)聯(lián)例題（改編自數(shù)據(jù)整理單元）：“學(xué)校組織學(xué)生整理圖書(shū)，整理故事書(shū)的有10人，整理科技書(shū)的有12人，其中有4人既整理故事書(shū)又整理科技書(shū)，參與整理圖書(shū)的一共有多少人？”小組討論：“請(qǐng)同學(xué)們用韋恩圖表示這道題的數(shù)量關(guān)系，自主計(jì)算總?cè)藬?shù)，再討論：核心公式‘總數(shù)=A+B-重疊’是否適用？為什么？”匯報(bào)交流：小組代表展示韋恩圖及計(jì)算過(guò)程（10+12-4=18人），說(shuō)明公式適用性：“既整理故事書(shū)又整理科技書(shū)的4人，在10人和12人中各算一次，重復(fù)計(jì)數(shù)了，所以要減去4人。”變式推導(dǎo)：教師追問(wèn)：“如果知道總?cè)藬?shù)和A、B兩類數(shù)量，怎么求重疊部分？”結(jié)合例題變式：“參與整理圖書(shū)的一共有18人，整理故事書(shū)的有10人，整理科技書(shū)的有12人，既整理故事書(shū)又整理科技書(shū)的有幾人？”引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)變式公式：重疊數(shù)量=A類數(shù)量+B類數(shù)量-總數(shù)，列式：10+12-18=4（人）。舉例驗(yàn)證：讓學(xué)生自主列舉生活中的重疊現(xiàn)象（如同時(shí)喜歡蘋果和香蕉的同學(xué)、既會(huì)游泳又會(huì)跑步的運(yùn)動(dòng)員），用韋恩圖和公式計(jì)算，驗(yàn)證模型的通用性。教師總結(jié)：“只要存在兩類事物的重疊現(xiàn)象，都可以用韋恩圖表示，用核心公式及變式解決計(jì)數(shù)問(wèn)題。”錯(cuò)題辨析：課件出示常見(jiàn)錯(cuò)題（如：整理故事書(shū)10人，整理科技書(shū)12人，重疊4人，錯(cuò)誤計(jì)算為10+12=22人；總?cè)藬?shù)18人，A類10人，B類12人，錯(cuò)誤計(jì)算重疊人數(shù)為18-10-12=-4人），讓學(xué)生分組分析錯(cuò)誤原因：“第一題遺漏重疊部分，重復(fù)計(jì)數(shù)；第二題混淆公式，重疊人數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需用A+B-總數(shù)推導(dǎo)?！痹O(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題、變式、舉例三重環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)核心公式及變式，驗(yàn)證模型通用性，結(jié)合錯(cuò)題辨析糾正易混點(diǎn)，讓學(xué)生深刻理解重疊問(wèn)題的邏輯本質(zhì)，落實(shí)推理意識(shí)和模型意識(shí)。探究三：跨單元綜合應(yīng)用，突破難點(diǎn)教師出示綜合應(yīng)用題（串聯(lián)除法、數(shù)據(jù)整理知識(shí)）：“三年級(jí)（2）班有42名同學(xué)，每人至少參加一項(xiàng)課外活動(dòng)，參加跳繩的有28人，參加踢毽子的有24人。（1）既參加跳繩又參加踢毽子的有多少人？（2）只參加跳繩的人數(shù)是只參加踢毽子人數(shù)的幾倍？”師生互動(dòng)拆解：求重疊人數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生明確“每人至少參加一項(xiàng)”，無(wú)遺漏人數(shù)，運(yùn)用變式公式：重疊人數(shù)=28+24-42=10（人），結(jié)合韋恩圖驗(yàn)證：只參加跳繩28-10=18人，只參加踢毽子24-10=14人，18+14+10=42人，結(jié)果正確。求倍數(shù)關(guān)系。關(guān)聯(lián)除法知識(shí)，列式：18÷14？（此處修正為18÷14不符合整數(shù)倍，調(diào)整數(shù)據(jù)為只參加跳繩16人，只參加踢毽子8人，重疊4人，總數(shù)16+8+4=28人，變式提問(wèn)：只參加跳繩的人數(shù)是只參加踢毽子人數(shù)的幾倍？）列式：16÷8=2，強(qiáng)調(diào)：“先通過(guò)重疊問(wèn)題公式求出各部分人數(shù)，再用除法計(jì)算倍數(shù)關(guān)系，串聯(lián)跨單元知識(shí)。”再出示拓展綜合題（關(guān)聯(lián)面積、分類知識(shí)）：“一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)15米，寬8米，菜地一半種黃瓜，一半種番茄，其中有5平方米的菜地既種了黃瓜又種了番茄（套種），這塊菜地實(shí)際種植面積是多少平方米？”引導(dǎo)學(xué)生分析：黃瓜種植面積75平方米，番茄種植面積60平方米，實(shí)際面積=75+60-5=130平方米（避免重復(fù)計(jì)算套種部分），關(guān)聯(lián)長(zhǎng)方形面積公式與重疊模型。設(shè)計(jì)意圖：緊扣復(fù)習(xí)課“跨單元整合”的提升要求，通過(guò)綜合應(yīng)用題串聯(lián)除法、面積、倍數(shù)等前序知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生分步拆解問(wèn)題，先解決重疊計(jì)數(shù)，再運(yùn)用其他知識(shí)求解，突破“知識(shí)割裂”的難點(diǎn)，落實(shí)應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算能力。鞏固練習(xí)：分層遞進(jìn)，深化應(yīng)用基礎(chǔ)題：模型應(yīng)用，夯實(shí)基礎(chǔ)課件出示題目：（1）三（3）班同學(xué)喜歡吃水果，喜歡蘋果的有15人，喜歡香蕉的有12人，兩種都喜歡的有4人，喜歡吃水果的一共有多少人？（2）學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，參加跑步的有20人，參加跳遠(yuǎn)的有16人，既參加跑步又參加跳遠(yuǎn)的有6人，只參加跑步的有多少人？學(xué)生獨(dú)立完成，要求繪制韋恩圖并標(biāo)注公式。完成后開(kāi)展“同桌互查”，邀請(qǐng)2名學(xué)生展示韋恩圖和解題過(guò)程，教師針對(duì)“只參加某類人數(shù)=該類總?cè)藬?shù)-重疊人數(shù)”的計(jì)算易錯(cuò)點(diǎn)強(qiáng)化講解，夯實(shí)模型應(yīng)用能力。提升題：變式應(yīng)用，強(qiáng)化推理課件出示題目：（1）一群小動(dòng)物，會(huì)飛的有8種，會(huì)游的有10種，既會(huì)飛又會(huì)游的有3種，這群小動(dòng)物一共有多少種？（2）全班35人，每人至少訂一種刊物，訂《語(yǔ)文報(bào)》的有20人，訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有22人，兩種都訂的有多少人？只訂一種刊物的有多少人？小組討論解題思路，教師巡回指導(dǎo)，重點(diǎn)關(guān)注變式公式的運(yùn)用和“只訂一種”人數(shù)的計(jì)算（總?cè)藬?shù)-重疊人數(shù)）。匯報(bào)時(shí)要求學(xué)生說(shuō)明每一步的數(shù)量關(guān)系，教師板書(shū)解題流程，強(qiáng)化分步解題意識(shí)。拓展題：綜合應(yīng)用，靈活解題出示題目：（1）三（4）班有30名同學(xué)，參加美術(shù)小組的人數(shù)是參加音樂(lè)小組人數(shù)的2倍，參加美術(shù)小組的有18人，兩種小組都參加的有6人，參加音樂(lè)小組的有多少人？（2）一塊長(zhǎng)方形草坪，長(zhǎng)12米，寬6米，草坪上種了月季和牡丹，種月季的面積是40平方米，種牡丹的面積是30平方米，兩種花重疊種植的面積是多少平方米？師生互動(dòng)解答：第（1）題，先通過(guò)除法求出音樂(lè)小組人數(shù)（18÷2=9人），再驗(yàn)證重疊人數(shù)合理性（9+18-30=-3，修正數(shù)據(jù)為參加美術(shù)小組20人，音樂(lè)小組10人，重疊0人，總數(shù)30人，變式提問(wèn)：兩種都參加的有多少人？）列式：20+10-30=0人；第（2）題，先求草坪面積12×6=72平方米，再用公式求重疊面積40+30-72=-2，修正數(shù)據(jù)為種月季45平方米，牡丹35平方米，重疊45+35-72=8平方米。教師強(qiáng)調(diào)：“解決綜合題時(shí)，要先理清各知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，再結(jié)合重疊模型求解，確保數(shù)據(jù)合理?！痹O(shè)計(jì)意圖：分層練習(xí)貼合復(fù)習(xí)課難度梯度，從基礎(chǔ)模型應(yīng)用到變式推理，再到跨單元綜合，兼顧不同水平學(xué)生；通過(guò)小組討論、思路匯報(bào)，強(qiáng)化重疊模型與前序知識(shí)的融合應(yīng)用，提升學(xué)生綜合解題能力和推理意識(shí)。課堂小結(jié)：自主梳理，構(gòu)建體系教師引導(dǎo)學(xué)生自主小結(jié)：“今天我們學(xué)習(xí)了重疊問(wèn)題，你掌握了哪些核心知識(shí)？解決重疊問(wèn)題時(shí)要注意什么？”學(xué)生發(fā)言后，教師結(jié)合韋恩圖教具和板書(shū)，梳理核心要點(diǎn)：核心模型：韋恩圖是表示重疊問(wèn)題的重要工具，分為只屬于A類、只屬于B類、既屬于A又屬于B三類部分；核心公式：總數(shù)=A+B-重疊，變式：重疊=A+B-總數(shù)、只屬于A類=A-重疊；解題關(guān)鍵：先找準(zhǔn)重疊部分，避免重復(fù)計(jì)數(shù)或遺漏，復(fù)雜問(wèn)題可通過(guò)韋恩圖直觀分析；知識(shí)關(guān)聯(lián)：解決綜合問(wèn)題時(shí)，需串聯(lián)除法、面積、倍數(shù)等前序知識(shí)，分步拆解、逐步求解；生活應(yīng)用：重疊現(xiàn)象在生活中廣泛存在，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決這類問(wèn)題，能提升我們的計(jì)數(shù)準(zhǔn)確性和邏輯思維。最后強(qiáng)調(diào)：“希望同學(xué)們課后能主動(dòng)觀察生活中的重疊現(xiàn)象，用今天學(xué)的韋恩圖和公式解決實(shí)際問(wèn)題，打通知識(shí)壁壘，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力?！痹O(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主梳理知識(shí)體系，強(qiáng)化對(duì)韋恩圖模型和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)知；教師補(bǔ)充升華，幫助學(xué)生構(gòu)建“模型+應(yīng)用”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)課“鞏固基礎(chǔ)、提升能力”的目標(biāo)。教學(xué)反思本課作為第七單元《復(fù)習(xí)與關(guān)聯(lián)》的應(yīng)用提升內(nèi)容，緊扣新課標(biāo)“整合知識(shí)、發(fā)展素養(yǎng)”的要求，以“情境感知—模型建構(gòu)—綜合應(yīng)用”為主線，構(gòu)建了層層遞進(jìn)的教學(xué)流程。教學(xué)中依托興趣小組、圖書(shū)整理等真實(shí)情境，通過(guò)韋恩圖教具演示、動(dòng)手操作、變式推導(dǎo)，幫助學(xué)生理解重疊問(wèn)題的本質(zhì)邏輯，掌握核心公式及變式，有效突破了“重復(fù)計(jì)數(shù)、韋恩圖解讀”等重難點(diǎn)。課堂中注重跨單元知識(shí)融合，通過(guò)綜合應(yīng)用題串聯(lián)除法、面積、倍數(shù)等前序知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生分步拆解問(wèn)題、規(guī)范解題流程，讓學(xué)生在“思中悟、