復(fù)習(xí)任務(wù)群一現(xiàn)代文閱讀Ⅰ把握共性之“新”打通應(yīng)考之“脈”第五章函數(shù)應(yīng)用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖象交點(diǎn)三者之間的關(guān)系．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．會(huì)借助零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間．(重點(diǎn))3．能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題加以解決，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．1．函數(shù)零點(diǎn)的概念是什么？

2．如何判斷函數(shù)的零點(diǎn)？

3．零點(diǎn)存在定理的內(nèi)容是什么？4．方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間有什么聯(lián)系？必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知1．函數(shù)的零點(diǎn)概念(1)概念：使得__________的數(shù)x0稱(chēng)為方程

f(x)＝0的解，也稱(chēng)為函數(shù)

f(x)的零點(diǎn)．(2)方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝f(x)的____就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與________________，也就是方程

f(x)＝0的解．f(x0)＝0

零點(diǎn)x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2．零點(diǎn)存在定理若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條_____的曲線(xiàn)，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值________，即____________，則在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間(a，b)內(nèi)相應(yīng)的方程f(x)＝0至少有一個(gè)解．

連續(xù)一正一負(fù)

f(a)·f(b)<0

思考(1)函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)點(diǎn)嗎？(2)若f(a)·f(b)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎？[提示]

(1)不是，函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)數(shù)，一個(gè)使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x．實(shí)際上是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)不一定．如y＝x2－1在區(qū)間(－2，2)上有兩個(gè)零點(diǎn)，但f(2)·f(－2)>0．體驗(yàn)1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)所有的函數(shù)都有零點(diǎn)． (

)(2)若方程

f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解x1，x2，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)． (

)(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)，則一定有

f(a)·f(b)<0． (

)體驗(yàn)2．函數(shù)

f(x)＝log2x的零點(diǎn)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4√×

×

×

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難

反思領(lǐng)悟

函數(shù)零點(diǎn)的兩種方法(1)代數(shù)法：求方程

f(x)＝0的實(shí)數(shù)根；(2)幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．函數(shù)

f(x)＝(lgx)2－lgx的零點(diǎn)為_(kāi)_______．1和10

[由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10．]1和10

類(lèi)型2判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3－x－1僅有一個(gè)正零點(diǎn)，則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A．(3，4)

B．(2，3)C．(1，2)

D．(0，1)√C

[∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0．∴f(1)·f(2)<0，此零點(diǎn)一定在(1，2)內(nèi)．]反思領(lǐng)悟

確定函數(shù)

f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0．若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．函數(shù)

f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A．(－2，－1)

B．(－1，0)C．(0，1)

D．(1，2)√C

[∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)．]

法二：由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的圖象在(1，2)上是不間斷的，所以

f(x)在(1，2)上必有零點(diǎn)，又

f(x)在(0，＋∞)上是遞增的，所以零點(diǎn)只有一個(gè)．[母題探究]1．若本例(1)中的函數(shù)改為“f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1”，且

f(x)在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

2．將本例(2)中的函數(shù)改為“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．[解]

法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零點(diǎn)．又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．故函數(shù)

f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．法二：在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖．由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即

f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個(gè)零點(diǎn)．反思領(lǐng)悟

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．若abc≠0，且b2＝ac，則函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_____．0

[∵ax2＋bx＋c＝0的根的判別式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0無(wú)實(shí)根．∴函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c無(wú)零點(diǎn)．]0

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)

√

×

×

×

2．下列各圖象表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是(

)√D

[選項(xiàng)D中的函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故該函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．]A

B

C

D

√

4．函數(shù)

f(x)＝x2－5x的零點(diǎn)是________．0和5

[令x2－5x＝0，解得x1＝0或x2＝5，所以函數(shù)f(x)＝x2－5x的零點(diǎn)是0和5．]0和5

5．已知函數(shù)

f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下x，f(x)的對(duì)應(yīng)值表：則函數(shù)

f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有____個(gè)．x123456f(x)1510－76－4－53

[由題表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·

f(5)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，故f(x)在區(qū)間[1，6]上至少有3個(gè)零點(diǎn)．]3

章末綜合測(cè)評(píng)(一)動(dòng)量守恒定律題號(hào)13524687910111213√1415課時(shí)分層作業(yè)(二十九)利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性一、選擇題1．函數(shù)

f(x)＝2x2－4x－3的零點(diǎn)有(

)A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．不能確定

題號(hào)213456879101112131415

√B

[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1．]題號(hào)213456879101112131415

√

題號(hào)213456879101112131415

√

題號(hào)2134568791011121314155．已知函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的，若f(a)·f(b)＜0，則方程

f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上(

)A．至少有一實(shí)數(shù)根

B．至多有一實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D．必有唯一的實(shí)數(shù)根√題號(hào)213456879101112131415D

[由題意知函數(shù)

f(x)為連續(xù)函數(shù)．∵f(a)·f(b)＜0，∴函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)．又∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)零點(diǎn)．故函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程

f(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實(shí)數(shù)根．故選D．]題號(hào)213456879101112131415二、填空題6．已知函數(shù)

f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)為_(kāi)_______．

－3題號(hào)2134568791011121314157．函數(shù)

f(x)＝x2－2x在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____．3

[由題意可知，函數(shù)

f(x)＝x2－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y＝2x，y＝x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如圖，畫(huà)出函數(shù)y＝2x，y＝x2的大致圖象．由圖象可知有3個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝x2－2x有3個(gè)零點(diǎn)．]3

題號(hào)2134568791011121314158．若函數(shù)

f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．(1，＋∞)

[f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，需f(1)＝m－1>0，即m>1．](1，＋∞)

題號(hào)213456879101112131415

題號(hào)21345687910111213141510．已知函數(shù)

f(x)＝2x－x2，問(wèn)：方程

f(x)＝0在區(qū)間[－1，0]內(nèi)是否有解？為什么？

√題號(hào)21345687910111213141511．函數(shù)y＝x2＋a存在零點(diǎn)，則a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)>0

B．a(chǎn)≤0C．a(chǎn)≥0

D．a(chǎn)<0B

[函數(shù)y＝x2＋a存在零點(diǎn)，則x2＝－a有解，所以a≤0．]題號(hào)21345687910111213141512．(多選)下列說(shuō)法中正確的是(

)A．f(x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零點(diǎn)為(－1，0)B．f(x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零點(diǎn)為－1C．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，即y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)D．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，即y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)√BD

[根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可知f(x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零點(diǎn)為－1；函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)即y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因此，只有說(shuō)法BD正確，AC錯(cuò)誤．]√題號(hào)21345687910111213141513．已知函數(shù)