一、課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然銜接演講人CONTENTS課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然銜接知識(shí)鋪墊：長(zhǎng)方體表面積的基礎(chǔ)回顧核心探究：長(zhǎng)方體拼接后的表面積變化規(guī)律常見誤區(qū)與解題策略課堂實(shí)踐：動(dòng)手操作與鞏固提升總結(jié)與升華：從數(shù)學(xué)規(guī)律到生活應(yīng)用目錄2025小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)長(zhǎng)方體拼接后的表面積課件01課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然銜接課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然銜接各位同學(xué)，今天我們要探討一個(gè)與生活緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)問題——長(zhǎng)方體拼接后的表面積變化。上周課間，我看到幾個(gè)同學(xué)用樂高積木搭城堡，其中有個(gè)細(xì)節(jié)特別有意思：當(dāng)他們把兩塊長(zhǎng)方體積木“粘”在一起時(shí)，原本兩塊積木外露的“接觸面”突然“消失”了。這讓我想到，數(shù)學(xué)中“表面積”的概念，是否也會(huì)因?yàn)檫@種“拼接”發(fā)生變化呢？其實(shí)，生活中類似的場(chǎng)景比比皆是：超市里堆疊的牛奶盒、裝修時(shí)拼接的木板、甚至我們每天用的書本（多頁(yè)紙疊成的長(zhǎng)方體），都涉及長(zhǎng)方體的拼接。今天，我們就從這些熟悉的場(chǎng)景出發(fā)，一步步揭開“拼接后表面積變化”的數(shù)學(xué)規(guī)律。02知識(shí)鋪墊：長(zhǎng)方體表面積的基礎(chǔ)回顧知識(shí)鋪墊：長(zhǎng)方體表面積的基礎(chǔ)回顧要研究拼接后的表面積變化，首先需要牢固掌握長(zhǎng)方體表面積的基本計(jì)算方法。讓我們先通過一組問題，喚醒已有的知識(shí)儲(chǔ)備。1長(zhǎng)方體表面積的定義與公式長(zhǎng)方體是由6個(gè)長(zhǎng)方形（特殊情況下有2個(gè)面是正方形）圍成的立體圖形。表面積指的是長(zhǎng)方體所有面的面積之和。假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為(a)，寬為(b)，高為(h)，則其表面積(S)的計(jì)算公式為：[S=2(ab+ah+bh)]這個(gè)公式的邏輯很清晰：長(zhǎng)方體有3組相對(duì)的面，每組兩個(gè)面的面積分別是(ab)（上下底面）、(ah)（前后面）、(bh)（左右側(cè)面），因此總和需要乘以2。2基礎(chǔ)練習(xí)：?jiǎn)蝹€(gè)長(zhǎng)方體表面積計(jì)算為了確保大家掌握公式，我們先做一個(gè)簡(jiǎn)單練習(xí)：例1：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是5cm，寬是3cm，高是2cm，它的表面積是多少？計(jì)算過程：[S=2×(5×3+5×2+3×2)=2×(15+10+6)=2×31=62,\text{cm}^2]這個(gè)結(jié)果是否正確？我們可以通過“數(shù)面”驗(yàn)證：上下底面積各15cm2（共30cm2），前后面各10cm2（共20cm2），左右側(cè)面各6cm2（共12cm2），總和30+20+12=62cm2，完全吻合。03核心探究：長(zhǎng)方體拼接后的表面積變化規(guī)律核心探究：長(zhǎng)方體拼接后的表面積變化規(guī)律現(xiàn)在，我們進(jìn)入今天的核心問題：當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)長(zhǎng)方體拼接時(shí)，表面積會(huì)如何變化？1兩個(gè)相同長(zhǎng)方體的拼接：以“面”為單位的變化我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手：兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體，通過“面與面完全重合”的方式拼接成一個(gè)新的長(zhǎng)方體。1兩個(gè)相同長(zhǎng)方體的拼接：以“面”為單位的變化1.1拼接方式分類1長(zhǎng)方體有3組不同的面，因此拼接時(shí)可能選擇不同的面作為“接觸面”：2方式1：將兩個(gè)長(zhǎng)方體的“長(zhǎng)寬面”（面積(ab)）拼接；5無(wú)論哪種方式，拼接后都會(huì)形成一個(gè)新的長(zhǎng)方體，但新長(zhǎng)方體的表面積會(huì)比原兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和減少。4方式3：將兩個(gè)長(zhǎng)方體的“寬高面”（面積(bh)）拼接。3方式2：將兩個(gè)長(zhǎng)方體的“長(zhǎng)高面”（面積(ah)）拼接；1兩個(gè)相同長(zhǎng)方體的拼接：以“面”為單位的變化1.2具體案例分析（以方式1為例）例2：兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)5cm，寬3cm，高2cm（同例1），將它們的“長(zhǎng)寬面”（即5×3的面）拼接，求拼接后新長(zhǎng)方體的表面積。步驟1：計(jì)算原兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和。單個(gè)表面積為62cm2（例1結(jié)果），兩個(gè)之和為(62×2=124,\text{cm}^2)。步驟2：分析拼接后減少的面積。當(dāng)兩個(gè)長(zhǎng)方體的“長(zhǎng)寬面”拼接時(shí)，這兩個(gè)面會(huì)被“粘合”在一起，不再暴露在外部。因此，拼接后減少的面積是兩個(gè)接觸面的面積（每個(gè)長(zhǎng)方體貢獻(xiàn)一個(gè)面）。接觸面面積為(5×3=15,\text{cm}^2)，因此減少的總面積為(15×2=30,\text{cm}^2)。1兩個(gè)相同長(zhǎng)方體的拼接：以“面”為單位的變化1.2具體案例分析（以方式1為例）步驟3：計(jì)算拼接后的表面積。新表面積=原兩個(gè)表面積之和-減少的面積=(124-30=94,\text{cm}^2)。驗(yàn)證：我們也可以直接計(jì)算新長(zhǎng)方體的尺寸，再用表面積公式驗(yàn)證。拼接后，原兩個(gè)長(zhǎng)方體的“高”方向疊加（因?yàn)槠唇拥氖情L(zhǎng)寬面，高度變?yōu)?2×2=4,\text{cm})），新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)5cm，寬3cm，高4cm。新表面積(S=2×(5×3+5×4+3×4)=2×(15+20+12)=2×47=94,\text{cm}^2)，與之前結(jié)果一致。1兩個(gè)相同長(zhǎng)方體的拼接：以“面”為單位的變化1.3不同拼接方式的對(duì)比我們?cè)儆猛瑯拥拈L(zhǎng)方體，分別嘗試方式2（拼接長(zhǎng)高面）和方式3（拼接寬高面），觀察結(jié)果差異：方式2（拼接長(zhǎng)高面，面積(5×2=10,\text{cm}^2)）：減少的面積為(10×2=20,\text{cm}^2)，原表面積之和124cm2，新表面積(124-20=104,\text{cm}^2)。新長(zhǎng)方體尺寸：長(zhǎng)5cm，寬(3×2=6,\text{cm})，高2cm，表面積(2×(5×6+5×2+6×2)=2×(30+10+12)=104,\text{cm}^2)，正確。1兩個(gè)相同長(zhǎng)方體的拼接：以“面”為單位的變化1.3不同拼接方式的對(duì)比方式3（拼接寬高面，面積(3×2=6,\text{cm}^2)）：減少的面積為(6×2=12,\text{cm}^2)，新表面積(124-12=112,\text{cm}^2)。新長(zhǎng)方體尺寸：長(zhǎng)(5×2=10,\text{cm})，寬3cm，高2cm，表面積(2×(10×3+10×2+3×2)=2×(30+20+6)=112,\text{cm}^2)，正確。結(jié)論1：兩個(gè)相同長(zhǎng)方體拼接時(shí)，表面積減少的量等于兩個(gè)接觸面的面積之和（即(2×)單個(gè)接觸面面積）；接觸面面積越大，表面積減少越多，最終拼接后的表面積越小。2兩個(gè)不同長(zhǎng)方體的拼接：更復(fù)雜的“面匹配”問題實(shí)際生活中，拼接的長(zhǎng)方體可能大小不同，此時(shí)需要注意：只有當(dāng)兩個(gè)長(zhǎng)方體存在“大小相同的面”時(shí)，才能完全拼接（否則無(wú)法緊密貼合）。例如，一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)6cm、寬4cm、高3cm，另一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)4cm、寬3cm、高2cm，它們的“4×3”面可以完全重合，因此可以拼接。例3：長(zhǎng)方體A（長(zhǎng)6cm，寬4cm，高3cm）和長(zhǎng)方體B（長(zhǎng)4cm，寬3cm，高2cm），將它們的“4×3”面拼接，求拼接后新長(zhǎng)方體的表面積。步驟1：計(jì)算原兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和。長(zhǎng)方體A的表面積：(2×(6×4+6×3+4×3)=2×(24+18+12)=2×54=108,\text{cm}^2)。2兩個(gè)不同長(zhǎng)方體的拼接：更復(fù)雜的“面匹配”問題長(zhǎng)方體B的表面積：(2×(4×3+4×2+3×2)=2×(12+8+6)=2×26=52,\text{cm}^2)。總和為(108+52=160,\text{cm}^2)。步驟2：計(jì)算減少的面積。接觸面是“4×3”的面，面積(4×3=12,\text{cm}^2)，減少的總面積為(12×2=24,\text{cm}^2)（注意：即使兩個(gè)長(zhǎng)方體大小不同，只要接觸面完全重合，減少的面積仍是兩個(gè)面的面積之和）。2兩個(gè)不同長(zhǎng)方體的拼接：更復(fù)雜的“面匹配”問題步驟3：計(jì)算新表面積。新表面積(=160-24=136,\text{cm}^2)。驗(yàn)證：拼接后，長(zhǎng)方體A的“長(zhǎng)”方向保持6cm，長(zhǎng)方體B的“長(zhǎng)”方向?yàn)?cm，但由于拼接的是“4×3”面，新長(zhǎng)方體的尺寸需要根據(jù)拼接方向確定。假設(shè)沿長(zhǎng)方體A的“高”方向拼接（即長(zhǎng)方體B的“高”2cm與長(zhǎng)方體A的“高”3cm疊加），則新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)6cm，寬4cm，高(3+2=5,\text{cm})。新表面積(=2×(6×4+6×5+4×5)=2×(24+30+20)=2×74=148,\text{cm}^2)？這里出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明我的假設(shè)拼接方向有誤。2兩個(gè)不同長(zhǎng)方體的拼接：更復(fù)雜的“面匹配”問題哦，這里需要注意：當(dāng)兩個(gè)長(zhǎng)方體拼接時(shí)，拼接后的新長(zhǎng)方體的尺寸取決于“哪條棱被延長(zhǎng)”。例如，長(zhǎng)方體A的面是“長(zhǎng)×寬=6×4”，“長(zhǎng)×高=6×3”，“寬×高=4×3”；長(zhǎng)方體B的面是“長(zhǎng)×寬=4×3”，“長(zhǎng)×高=4×2”，“寬×高=3×2”。它們的公共接觸面是“寬×高=4×3”（長(zhǎng)方體A）和“長(zhǎng)×寬=4×3”（長(zhǎng)方體B），因此拼接時(shí)，長(zhǎng)方體A的“寬”和“高”方向與長(zhǎng)方體B的“長(zhǎng)”和“寬”方向重合，導(dǎo)致新長(zhǎng)方體的尺寸應(yīng)為：長(zhǎng)(6+2=8,\text{cm})（長(zhǎng)方體A的長(zhǎng)6cm+長(zhǎng)方體B的高2cm），寬4cm，高3cm。此時(shí)新表面積(=2×(8×4+8×3+4×3)=2×(32+24+12)=2×68=136,\text{cm}^2)，與之前結(jié)果一致。2兩個(gè)不同長(zhǎng)方體的拼接：更復(fù)雜的“面匹配”問題這說(shuō)明：當(dāng)拼接不同長(zhǎng)方體時(shí)，需要明確拼接后各棱的長(zhǎng)度如何變化，避免因方向錯(cuò)誤導(dǎo)致計(jì)算失誤。3多個(gè)長(zhǎng)方體的拼接：規(guī)律的延伸與推廣如果有3個(gè)、4個(gè)甚至更多長(zhǎng)方體拼接，表面積的變化是否有規(guī)律可循？3多個(gè)長(zhǎng)方體的拼接：規(guī)律的延伸與推廣3.1一字排列拼接（直線型拼接）例4：4個(gè)長(zhǎng)5cm、寬3cm、高2cm的長(zhǎng)方體，沿“長(zhǎng)寬面”一字拼接，求表面積。05原4個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和：(4×62=248,\text{cm}^2)（單個(gè)表面積62cm2，例1）。06第2次拼接（2個(gè)→3個(gè)）：再減少2個(gè)接觸面（面積(2ab)）；03總減少面積：(2ab×(3-1)=4ab)（因?yàn)閚個(gè)長(zhǎng)方體拼接成直線，需要(n-1)次拼接，每次減少2個(gè)接觸面）。04以3個(gè)相同的長(zhǎng)方體（長(zhǎng)a，寬b，高h(yuǎn)）為例，沿“長(zhǎng)寬面”依次拼接成一條直線，此時(shí)每?jī)蓚€(gè)相鄰長(zhǎng)方體之間有一個(gè)接觸面。01第1次拼接（1個(gè)→2個(gè)）：減少2個(gè)接觸面（面積(2ab)）；023多個(gè)長(zhǎng)方體的拼接：規(guī)律的延伸與推廣3.1一字排列拼接（直線型拼接）拼接次數(shù)：(4-1=3)次，每次減少(2×(5×3)=30,\text{cm}^2)。總減少面積：(3×30=90,\text{cm}^2)。新表面積：(248-90=158,\text{cm}^2)。驗(yàn)證：拼接后新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)5cm，寬3cm，高(2×4=8,\text{cm})（因?yàn)檠亻L(zhǎng)寬面拼接，高度疊加）。表面積(=2×(5×3+5×8+3×8)=2×(15+40+24)=2×79=158,\text{cm}^2)，正確。3多個(gè)長(zhǎng)方體的拼接：規(guī)律的延伸與推廣3.2堆疊式拼接（立體型拼接）如果將多個(gè)長(zhǎng)方體堆疊成“L型”或“田字型”，表面積的減少會(huì)更復(fù)雜，因?yàn)榭赡艽嬖诙鄠€(gè)接觸面。例如，4個(gè)相同長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大正方體（當(dāng)原長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高滿足(a=b=2h)時(shí)），此時(shí)每個(gè)內(nèi)部拼接處都會(huì)減少2個(gè)面。例5：4個(gè)長(zhǎng)4cm、寬4cm、高2cm的長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方體（2層×2列）。原4個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和：(4×[2×(4×4+4×2+4×2)]=4×[2×(16+8+8)]=4×48=192,\text{cm}^2)。拼接后的正方體表面積：(6×(4×4)=96,\text{cm}^2)。3多個(gè)長(zhǎng)方體的拼接：規(guī)律的延伸與推廣3.2堆疊式拼接（立體型拼接）減少的面積：(192-96=96,\text{cm}^2)。分析減少的面：每個(gè)長(zhǎng)方體有3個(gè)面與其他長(zhǎng)方體接觸（上下左右），但實(shí)際在正方體中，內(nèi)部共有((2-1)×(2-1)×2=2)個(gè)水平接觸面（每層內(nèi)部）和((2-1)×2×2=4)個(gè)垂直接觸面（列之間），總接觸面數(shù)為((2×2×2-2×2)=4)個(gè)？其實(shí)更簡(jiǎn)單的方式是：正方體由4個(gè)長(zhǎng)方體組成，每個(gè)長(zhǎng)方體貢獻(xiàn)了(6-3=3)個(gè)外露面（因?yàn)槊總€(gè)長(zhǎng)方體在正方體中被3個(gè)面遮擋），但這種方法容易混淆。更直接的規(guī)律是：立體拼接中，每有一個(gè)內(nèi)部接觸面，就減少2個(gè)面的面積（兩個(gè)長(zhǎng)方體各一個(gè)面）。在正方體案例中，共有((2×2×2-6)=2)個(gè)內(nèi)部接觸面？不，可能更簡(jiǎn)單的是通過總減少面積反推：正方體表面積比4個(gè)長(zhǎng)方體之和少了96cm2，3多個(gè)長(zhǎng)方體的拼接：規(guī)律的延伸與推廣3.2堆疊式拼接（立體型拼接）而每個(gè)接觸面面積是(4×4=16,\text{cm}^2)（原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬面），拼接后寬高面？原長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬4cm，高2cm，所以接觸面可能是長(zhǎng)寬面（4×4）或?qū)捀呙妫?×2）。這里可能我的例子設(shè)計(jì)有誤，需要調(diào)整。其實(shí)，更清晰的案例是：4個(gè)1×1×2的長(zhǎng)方體，拼成2×2×2的正方體。每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是(2×(1×1+1×2+1×2)=10,\text{cm}^2)，4個(gè)之和是40cm2。正方體表面積是(6×(2×2)=24,\text{cm}^2)，減少了16cm2。每個(gè)拼接處的接觸面是1×1的面（因?yàn)殚L(zhǎng)方體的高是2，拼接時(shí)沿高度方向疊加），共有4個(gè)接觸面（上下各兩個(gè)，左右各兩個(gè)），每個(gè)接觸面減少2個(gè)面（1×1×2），總減少面積(4×2×1×1=8,\text{cm}^2)？這顯然與結(jié)果不符，說(shuō)明立體拼接的規(guī)律需要更細(xì)致的分析。3多個(gè)長(zhǎng)方體的拼接：規(guī)律的延伸與推廣3.2堆疊式拼接（立體型拼接）結(jié)論2：多個(gè)長(zhǎng)方體拼接時(shí)，表面積減少的總量等于所有內(nèi)部接觸面面積之和的2倍（每個(gè)接觸面由兩個(gè)長(zhǎng)方體各貢獻(xiàn)一個(gè)面）。直線型拼接時(shí)，減少的面積與拼接次數(shù)成正比（(2×)接觸面面積(×(n-1))）；立體拼接時(shí)，需具體分析每個(gè)內(nèi)部接觸面的數(shù)量和面積。04常見誤區(qū)與解題策略常見誤區(qū)與解題策略在學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)以下錯(cuò)誤，需要特別注意：1誤區(qū)1：認(rèn)為“拼接后表面積減少一個(gè)面的面積”錯(cuò)誤表現(xiàn)：計(jì)算兩個(gè)長(zhǎng)方體拼接后的表面積時(shí)，僅減去一個(gè)接觸面的面積（如(S_{\text{新}}=2S_{\text{單}}-ab)）。錯(cuò)誤原因：忽略了兩個(gè)長(zhǎng)方體各有一個(gè)面被粘合，因此減少的是兩個(gè)面的面積（(2ab)）。糾正方法：通過實(shí)物操作（如用兩個(gè)橡皮擦拼接）觀察：拼接后，原本兩個(gè)長(zhǎng)方體各有一個(gè)面“消失”，因此減少的是兩個(gè)面的面積。2誤區(qū)2：拼接后尺寸計(jì)算錯(cuò)誤錯(cuò)誤表現(xiàn)：拼接后新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高計(jì)算錯(cuò)誤，例如將“長(zhǎng)高面”拼接時(shí)，錯(cuò)誤地認(rèn)為寬度增加，而實(shí)際是寬度保持不變，長(zhǎng)度或高度增加。糾正方法：明確拼接方向：拼接“長(zhǎng)寬面”（面積(ab)）時(shí)，高度疊加（(h_{\text{新}}=2h)）；拼接“長(zhǎng)高面”（面積(ah)）時(shí)，寬度疊加（(b_{\text{新}}=2b)）；拼接“寬高面”（面積(bh)）時(shí)，長(zhǎng)度疊加（(a_{\text{新}}=2a)）。3誤區(qū)3：多個(gè)長(zhǎng)方體拼接時(shí)遺漏內(nèi)部接觸面錯(cuò)誤表現(xiàn)：計(jì)算3個(gè)長(zhǎng)方體拼接后的表面積時(shí)，僅減去2個(gè)接觸面的面積（如(2×2ab)），而實(shí)際需要減去(2×(n-1)ab)（n為長(zhǎng)方體數(shù)量）。糾正方法：通過畫圖或?qū)嵨镅菔荆^察每增加一個(gè)長(zhǎng)方體，會(huì)新增一個(gè)接觸面，因此總接觸面數(shù)為(n-1)個(gè)，每個(gè)接觸面減少2個(gè)面的面積。05課堂實(shí)踐：動(dòng)手操作與鞏固提升課堂實(shí)踐：動(dòng)手操作與鞏固提升為了加深理解，我們進(jìn)行一個(gè)“拼接小實(shí)驗(yàn)”：1實(shí)驗(yàn)材料每位同學(xué)準(zhǔn)備2個(gè)相同的長(zhǎng)方體學(xué)具（建議尺寸：長(zhǎng)4cm，寬3cm，高2cm），計(jì)算器，記錄紙。2實(shí)驗(yàn)步驟計(jì)算單個(gè)長(zhǎng)方體的表面積（(2×(4×3+4×2+3×2)=52,\text{cm}^2)）。1嘗試三種拼接方式（長(zhǎng)寬面、長(zhǎng)高面、寬高面），分別計(jì)算拼接后的表面積。2對(duì)比三種方式的結(jié)果，總結(jié)“哪種拼接方式使表面積減少最多”。33實(shí)驗(yàn)結(jié)論（學(xué)生匯報(bào)