一、課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象中感知數(shù)的“獨(dú)特性”演講人CONTENTS課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象中感知數(shù)的“獨(dú)特性”核心概念建構(gòu)：從因數(shù)個(gè)數(shù)到質(zhì)數(shù)合數(shù)的定義分類方法提升：從逐個(gè)判斷到系統(tǒng)篩選綜合應(yīng)用拓展：從知識(shí)理解到問題解決總結(jié)與展望：回顧本質(zhì)，連接未來目錄2025小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)質(zhì)數(shù)合數(shù)的分類提升課件各位同學(xué)、老師們，今天我們要共同探索數(shù)論中最基礎(chǔ)卻最迷人的一類知識(shí)——質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分類。作為五年級(jí)下冊(cè)的重點(diǎn)內(nèi)容，這部分知識(shí)不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的基石，更是培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維的重要載體。接下來，我將以“從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)，從基礎(chǔ)分類到能力提升”為主線，帶大家逐步揭開質(zhì)數(shù)與合數(shù)的神秘面紗。01課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象中感知數(shù)的“獨(dú)特性”1生活中的“分物困境”——引出研究需求上周，我在班級(jí)觀察到一個(gè)有趣的場(chǎng)景：明明帶了12顆糖果想平均分給小組同學(xué)，他發(fā)現(xiàn)可以分給2人（每人6顆）、3人（每人4顆）、4人（每人3顆）……但如果是7顆糖果，他只能分給1人（7顆）或7人（1顆）。類似的情況還有：用小正方形拼長(zhǎng)方形時(shí)，12個(gè)小正方形能拼出（1×12）、（2×6）、（3×4）三種長(zhǎng)方形，而7個(gè)小正方形只能拼出（1×7）一種。這些“分物”或“拼形”的結(jié)果差異，本質(zhì)上是由數(shù)的“因數(shù)個(gè)數(shù)”決定的。今天我們就要通過研究因數(shù)個(gè)數(shù)，將自然數(shù)（大于1）分為兩類特殊的數(shù)——質(zhì)數(shù)與合數(shù)。2前測(cè)小調(diào)查：激活已有認(rèn)知上課前，我讓大家列舉了20以內(nèi)各數(shù)的因數(shù)（展示學(xué)生作業(yè)）。觀察這些因數(shù)表，同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)：有些數(shù)的因數(shù)只有2個(gè)（如2的因數(shù)是1和2，3的因數(shù)是1和3），有些數(shù)的因數(shù)超過2個(gè)（如4的因數(shù)是1、2、4，6的因數(shù)是1、2、3、6），還有一個(gè)特殊的數(shù)1（因數(shù)只有1個(gè)）。這種差異正是我們分類的關(guān)鍵依據(jù)。02核心概念建構(gòu)：從因數(shù)個(gè)數(shù)到質(zhì)數(shù)合數(shù)的定義1定義的精準(zhǔn)表述——抓住本質(zhì)特征通過前測(cè)數(shù)據(jù)，我們可以總結(jié)規(guī)律：質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（如2、3、5、7等）。合數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)（如4、6、8、9等）。特殊數(shù)1：1只有1個(gè)因數(shù)，既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)（這是最容易出錯(cuò)的點(diǎn)，需要特別注意）。這里需要強(qiáng)調(diào)“只有”和“除了……還有”的關(guān)鍵詞：“只有”意味著因數(shù)個(gè)數(shù)嚴(yán)格為2，“除了……還有”意味著因數(shù)個(gè)數(shù)≥3。例如，2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶質(zhì)數(shù)；4是最小的合數(shù)。2概念辨析：打破常見誤區(qū)在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?nèi)菀桩a(chǎn)生以下誤區(qū)，需要逐一澄清：2概念辨析：打破常見誤區(qū)誤區(qū)一：偶數(shù)都是合數(shù)反例：2是偶數(shù)，但它只有1和2兩個(gè)因數(shù)，是質(zhì)數(shù)。因此，除了2以外的偶數(shù)都是合數(shù)。2概念辨析：打破常見誤區(qū)誤區(qū)二：奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)反例：9是奇數(shù)，但它的因數(shù)有1、3、9，是合數(shù)；15的因數(shù)有1、3、5、15，也是合數(shù)。2概念辨析：打破常見誤區(qū)誤區(qū)三：1是質(zhì)數(shù)依據(jù)定義，質(zhì)數(shù)需要有2個(gè)因數(shù)，而1只有1個(gè)因數(shù)，因此1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。通過這些辨析，我們能更深刻地理解：質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)是“因數(shù)個(gè)數(shù)”，而非數(shù)的奇偶性或其他屬性。3基礎(chǔ)練習(xí)：鞏固概念掌握③10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7（√）4在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容②所有的合數(shù)都是偶數(shù)（×，9是合數(shù)但奇數(shù)）3在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容①所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)（×，2是質(zhì)數(shù)但偶數(shù)）2在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容1為了檢驗(yàn)大家是否理解，我們來做一組判斷題（展示題目）：在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容④1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)（√）5同學(xué)們的正確率達(dá)到了90%，但仍有部分同學(xué)對(duì)“2是唯一偶質(zhì)數(shù)”理解不深，后續(xù)需要通過更多實(shí)例強(qiáng)化。03分類方法提升：從逐個(gè)判斷到系統(tǒng)篩選1質(zhì)數(shù)判斷的“試除法”——基礎(chǔ)方法當(dāng)需要判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)時(shí)，最直接的方法是“試除法”：檢查該數(shù)是否能被2到它的平方根之間的質(zhì)數(shù)整除。例如，判斷17是否為質(zhì)數(shù)：17的平方根約為4.12，因此只需檢查2、3（小于4.12的質(zhì)數(shù)）。17÷2=8.5（不整除），17÷3≈5.67（不整除），因此17是質(zhì)數(shù)。需要注意：如果該數(shù)能被其中一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，則是合數(shù)；否則是質(zhì)數(shù)。這種方法適用于較小的數(shù)（100以內(nèi)），但對(duì)于大數(shù)效率較低。2埃拉托斯特尼篩法——系統(tǒng)篩選質(zhì)數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼發(fā)明了一種高效篩選質(zhì)數(shù)的方法，稱為“篩法”。以100以內(nèi)的數(shù)為例，步驟如下：（1）列出2-100的所有數(shù)；（2）圈出最小的質(zhì)數(shù)2，劃去2的所有倍數(shù)（4、6、8…）；（3）圈出下一個(gè)未被劃去的數(shù)3，劃去3的所有倍數(shù)（9、15、21…，注意6已被劃去）；（4）重復(fù)步驟（3），直到圈出的數(shù)的平方超過100（即圈出7后，72=49≤100，112=121>100，停止）；（5）剩余未被劃去的數(shù)即為100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。（現(xiàn)場(chǎng)演示篩法過程，邀請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)操作）通過動(dòng)手實(shí)踐，同學(xué)們不僅能記住100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表（共25個(gè)），還能理解“篩法”的數(shù)學(xué)思想——通過排除合數(shù)來保留質(zhì)數(shù)。3質(zhì)數(shù)表的記憶技巧——提升效率100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要工具，為了幫助大家記憶，我總結(jié)了以下技巧：分段記憶：20以內(nèi)有8個(gè)（2、3、5、7、11、13、17、19）；30-50有5個(gè)（31、37、41、43、47）；50-70有4個(gè)（53、59、61、67）；70-100有6個(gè)（71、73、79、83、89、97）。排除法記憶：除了2和5，其他質(zhì)數(shù)的個(gè)位只能是1、3、7、9（如11、13、17、19；21是合數(shù)，23是質(zhì)數(shù)，27是合數(shù)，29是質(zhì)數(shù)）。通過這些技巧，同學(xué)們可以快速判斷100以內(nèi)的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。04綜合應(yīng)用拓展：從知識(shí)理解到問題解決1質(zhì)數(shù)合數(shù)在分解質(zhì)因數(shù)中的應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)是將合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式（如12=2×2×3），這需要先判斷每個(gè)因數(shù)是否為質(zhì)數(shù)。例如，分解30：30是合數(shù)，最小質(zhì)因數(shù)是2（30÷2=15）；15是合數(shù)，最小質(zhì)因數(shù)是3（15÷3=5）；5是質(zhì)數(shù)，停止分解；最終結(jié)果：30=2×3×5。分解質(zhì)因數(shù)是求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的核心方法，而質(zhì)數(shù)的判斷是其中的關(guān)鍵步驟。2生活中的實(shí)際問題——體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值數(shù)學(xué)源于生活，質(zhì)數(shù)合數(shù)的分類也能解決實(shí)際問題。例如：（1）分組問題：老師要將48名學(xué)生分成若干小組，每組人數(shù)大于1且小于48，要求每組人數(shù)是質(zhì)數(shù)，有幾種分法？分析：48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中質(zhì)數(shù)因數(shù)是2、3，因此可以分成24組（每組2人）或16組（每組3人），共2種分法。（2）密碼設(shè)計(jì)問題：很多密碼系統(tǒng)利用大質(zhì)數(shù)的乘積作為密鑰（如RSA加密），因?yàn)榇筚|(zhì)數(shù)的因數(shù)分解非常困難。雖然我們現(xiàn)在不需要掌握復(fù)雜的加密，但可以理解：質(zhì)數(shù)的“不可再分性”是其在密碼學(xué)中應(yīng)用的基礎(chǔ)。3挑戰(zhàn)性問題：發(fā)展高階思維為了提升思維深度，我們來挑戰(zhàn)一個(gè)問題：兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和為偶數(shù)，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)可能是什么？分析：除了2以外，所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)（奇+奇=偶），而2是唯一的偶質(zhì)數(shù)（偶+偶=偶，但除了2沒有其他偶質(zhì)數(shù)）。因此，只有兩種可能：兩個(gè)都是奇質(zhì)數(shù)（如3+5=8，7+11=18）；一個(gè)是2，另一個(gè)是偶質(zhì)數(shù)（但不存在，因此只能是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)）。通過這樣的問題，同學(xué)們不僅鞏固了質(zhì)數(shù)的奇偶性，還學(xué)會(huì)了用“分類討論”的方法解決問題。05總結(jié)與展望：回顧本質(zhì)，連接未來1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)——回顧核心要點(diǎn)通過今天的學(xué)習(xí)，我們構(gòu)建了以下知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：1分類標(biāo)準(zhǔn)：因數(shù)個(gè)數(shù)（質(zhì)數(shù)：2個(gè)；合數(shù)：≥3個(gè)；1：1個(gè)）。2判斷方法：試除法、篩法。3應(yīng)用場(chǎng)景：分解質(zhì)因數(shù)、解決實(shí)際問題、發(fā)展邏輯思維。4其中，“因數(shù)個(gè)數(shù)”是分類的本質(zhì)，“篩法”是系統(tǒng)篩選質(zhì)數(shù)的工具，“應(yīng)用”則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和趣味性。52學(xué)習(xí)情感的升華——感受數(shù)學(xué)之美質(zhì)數(shù)被稱為“數(shù)論中的原子”，因?yàn)樗鼈兪菢?gòu)成所有自然數(shù)的基本單位（任何大于1的自然數(shù)都可以唯一分解為質(zhì)數(shù)的乘積）。從古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得證明“質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)”，到當(dāng)代數(shù)學(xué)家尋找“梅森素?cái)?shù)”（形如2?-1的質(zhì)數(shù)），人類對(duì)質(zhì)數(shù)的探索從未停止。同學(xué)們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的，正是數(shù)學(xué)史上最經(jīng)典、最迷人的部分之一。3課后任務(wù)的布置——延伸學(xué)習(xí)興趣為了鞏固所學(xué)，課后請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）制作100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表（用彩筆標(biāo)注，加深記憶）；（2）尋找生活中與質(zhì)數(shù)相關(guān)的例子（如電話號(hào)碼