2025年大學(xué)二年級(jí)（金融數(shù)學(xué)）數(shù)學(xué)應(yīng)用綜合測(cè)試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分100分）班級(jí)______姓名______第I卷（選擇題，共30分）答題要求：每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。(總共6題，每題5分)1.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若P(X≤μ+σ)=0.8413，則P(X≤μ-σ)=（）A.0.1587B.0.3413C.0.6826D.0.84132.設(shè)某股票的價(jià)格S(t)滿(mǎn)足幾何布朗運(yùn)動(dòng)dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)，其中μ為漂移率，σ為波動(dòng)率，W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。則股票價(jià)格在時(shí)間區(qū)間[t?,t?]內(nèi)的增長(zhǎng)率的期望為（）A.μ(t?-t?)B.σ(t?-t?)C.μ2(t?-t?)D.σ2(t?-t?)3.對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，若它們的協(xié)方差Cov(X,Y)=0，則以下說(shuō)法正確的是（）A.X和Y相互獨(dú)立B.X和Y不相關(guān)C.X和Y的方差相等D.X和Y的期望相等4.已知某投資組合的收益率R服從正態(tài)分布N(0.1,0.04)，則該投資組合收益率大于15%的概率約為（）（參考標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）A.0.0668B.0.1587C.0.3085D.0.69155.若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=1/√(2π)e^(-x2/2)，則X服從（）A.均勻分布B.指數(shù)分布C.正態(tài)分布N(0,1)D.泊松分布6.設(shè)市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，股票的預(yù)期收益率為E(R)，股票收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為σ，根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM），該股票的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為（）A.rB.E(R)-rC.σD.E(R)第II卷（非選擇題，共70分）7.（10分）簡(jiǎn)述正態(tài)分布的性質(zhì)。8.（15分）已知隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=k)=C(5,k)(0.2)^k(0.8)^(5-k)，k=0,1,2,3,4,5，求：（1）常數(shù)C的值；（2）P(X≤3)；（3）E(X)和D(X)。9.（15分）設(shè)某投資者有一筆資金用于投資兩種股票A和B，股票A的預(yù)期收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%；股票B的預(yù)期收益率為8%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%。兩種股票的相關(guān)系數(shù)為0.3。投資者將40%的資金投資于股票A，60%的資金投資于股票B。求該投資組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。10.（20分）材料：某公司計(jì)劃投資一項(xiàng)新業(yè)務(wù)，預(yù)計(jì)在未來(lái)3年內(nèi)每年年末產(chǎn)生現(xiàn)金流入分別為300萬(wàn)元、400萬(wàn)元和500萬(wàn)元。假設(shè)市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，該投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整貼現(xiàn)率為10%。問(wèn)題：（1）計(jì)算該投資項(xiàng)目的凈現(xiàn)值；（2）判斷該投資項(xiàng)目是否可行。11.（20分）材料：假設(shè)某股票當(dāng)前價(jià)格為50元，其波動(dòng)率為30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。該股票預(yù)計(jì)在1年后支付每股2元的股息。問(wèn)題：（1）運(yùn)用布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算該股票6個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為55元；（2）解釋布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型中各個(gè)參數(shù)的含義。答案：1.A2.A3.B4.A5.C6.B7.正態(tài)分布的性質(zhì)：①正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)；②在x=μ處達(dá)到峰值1/(σ√(2π))；③正態(tài)分布的均值為μ，方差為σ2；④正態(tài)分布的概率密度函數(shù)在x軸上方，且與x軸所圍成的面積為1；⑤若X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則aX+b服從正態(tài)分布N(aμ+b,a2σ2)。8.（1）由二項(xiàng)分布概率之和為可得C(5,k)(0.2)^k(0.8)^(5-k)=1，解得C=1。（2）P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=C(5,0)(0.2)^0(0.8)^5+C(5,1)(0.2)^1(0.8)^4+C(5,2)(0.2)^2(0.8)^3+C(5,3)(0.2)^3(0.8)^2=0.9932。（3）E(X)=np=5×0.2=1，D(X)=np(1-p)=5×0.2×0.8=0.8。9.投資組合的預(yù)期收益率E(Rp)=40%×12%+60%×8%=9.6%。投資組合的方差σ2p=(0.4×0.2)2+(0.6×0.15)2+2×0.4×0.2×0.6×0.15×0.3=0.01486，標(biāo)準(zhǔn)差σp=√0.01486≈12.2%。10.（1）第1年現(xiàn)金流入的現(xiàn)值PV1=300/(1+0.1)=272.73萬(wàn)元；第2年現(xiàn)金流入的現(xiàn)值PV2=400/(1+0.1)2=330.58萬(wàn)元；第3年現(xiàn)金流入的現(xiàn)值PV3=500/(1+0.1)3=375.66萬(wàn)元。凈現(xiàn)值NPV=272.73+330.58+375.66-初始投資（題目未給出，假設(shè)為0）=978.97萬(wàn)元。（2）因?yàn)閮衄F(xiàn)值大于0，所以該投資項(xiàng)目可行。（這里假設(shè)初始投資為0，實(shí)際應(yīng)根據(jù)具體初始投資情況判斷）11.（1）d1=[ln(50/(55-2))+(0.05+0.32/2)×0.5]/(0.3√0.5)≈0.134，d2=d1-0.3√0.5≈-0.078。N(d1)≈0.5531,N(d2)≈0.46８1。歐式看漲期權(quán)價(jià)格C=50×0.5531-(55-2)×0.46８1×e^(-0.05×0.5)≈3.77元。（2）布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型中