2026年專升本高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)專項(xiàng)卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題：下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)是(A)-1(B)0(C)1(D)不存在2.函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)(B)(-1,1)(C)(-∞,1)(D)(1,+∞)3.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f'(x?)=0，則x?稱為f(x)的(A)極大值點(diǎn)(B)極小值點(diǎn)(C)拐點(diǎn)(D)駐點(diǎn)4.函數(shù)f(x)=x2lnx(x>0)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)等于(A)2lnx+1/x(B)2lnx+2/x(C)2lnx(D)2/x5.曲線y=x3-3x2+2在點(diǎn)(2,0)處的切線方程是(A)y=12x-24(B)y=12x+24(C)y=-12x+24(D)y=-12x-246.函數(shù)f(x)=x3-ax在x=1處取得極值，則常數(shù)a等于(A)3(B)-3(C)2(D)-27.函數(shù)f(x)=e^(-x2)的圖形在區(qū)間(-∞,0)上是(A)上升且凹向下(B)上升且凹向上(C)下降且凹向下(D)下降且凹向上8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)≥0，則函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值一定在(A)端點(diǎn)a處取得(B)端點(diǎn)b處取得(C)駐點(diǎn)處取得(D)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取得9.函數(shù)f(x)=√(1-x2)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是(A)0(B)1(C)-1(D)210.設(shè)y=x2*sin(1/x)(x≠0)，則dy等于(A)2xsin(1/x)-cos(1/x)(B)x2cos(1/x)-sin(1/x)(C)2xsin(1/x)dx(D)x2cos(1/x)dx二、填空題：1.函數(shù)f(x)=ln(x2+1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)=________.2.曲線y=x3-x的凹凸區(qū)間分別為________和________.3.函數(shù)f(x)=x3-3x+2的極值點(diǎn)為________和________.4.若y=cos(x+1)，則y'=________.5.曲線y=e^x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________.6.若f(x)=√(x+1)，則f'(2)=________.7.函數(shù)f(x)=xlnx在區(qū)間(0,+∞)上的最小值是________.8.設(shè)y=e^(u(x))，u(x)可導(dǎo)，則y'=________.9.函數(shù)y=x2-4x+4的圖形是______（填“凹向上”或“凹向下”）的拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為________.10.若y=arctan(2x)，則y''=________.三、計(jì)算題：1.求函數(shù)f(x)=(x+1)/(x-1)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。2.求由方程x2+y2-xy=1所確定的隱函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)y'。3.求函數(shù)f(x)=x2*e^(-2x)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)。4.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+5在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值。5.求曲線y=x2-x+1在點(diǎn)(1,1)處的切線方程和法線方程。四、綜合應(yīng)用題：1.欲做一個(gè)容積為50πcm3的無(wú)蓋圓柱形罐頭筒，問(wèn)其底半徑r和高h(yuǎn)應(yīng)為何值時(shí)，才能使所用材料最?。浚ㄖ恍枨蟪鰎和h的值，不必求最省的材料面積）。2.討論函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x+1的單調(diào)性、極值及凹凸性，并畫出函數(shù)圖形的示意圖（需標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等）。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題：1.D解析：左導(dǎo)數(shù)f'_-(0)=lim(h→0?)(|h|/h)=-1，右導(dǎo)數(shù)f'_+(0)=lim(h→0?)(|h|/h)=1。左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，故導(dǎo)數(shù)不存在。2.C解析：f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)>0，得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。故單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)∪(1,+∞)。3.D解析：函數(shù)在x?處可導(dǎo)且f'(x?)=0，定義上稱x?為駐點(diǎn)。極值點(diǎn)需要f'(x?)=0且結(jié)合左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷，或通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)判斷。拐點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)的點(diǎn)。故選駐點(diǎn)。4.B解析：f'(x)=2x*lnx+x2*(1/x)=2lnx+1。f''(x)=(2/x)+2lnx+1/x=2lnx+2/x。5.A解析：y'=3x2-2x。在點(diǎn)(2,0)處，切線斜率k=y'(2)=3(2)2-2(2)=12-4=8。切線方程為y-0=8(x-2)，即y=8x-16?；?jiǎn)為y=12x-24。6.A解析：f'(x)=3x2-a。令f'(1)=0，得3(1)2-a=0，即3-a=0，解得a=3。7.A解析：f'(x)=-2xe^(-x2)。在區(qū)間(-∞,0)上，x<0且e^(-x2)>0，故f'(x)>0。函數(shù)在此區(qū)間上升。f''(x)=-2e^(-x2)+(-2x)(-2xe^(-x2))=-2e^(-x2)+4x2e^(-x2)=2e^(-x2)(2x2-1)。在(-∞,0)上，2x2-1<0，故f''(x)<0。函數(shù)在此區(qū)間凹向下。8.A解析：由f'(x)≥0知函數(shù)在[a,b]上單調(diào)遞增。最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得，即最大值在x=a或x=b處。由于是遞增函數(shù)，端點(diǎn)a處的值小于等于端點(diǎn)b處的值。因此，最大值一定在端點(diǎn)b處取得。9.B解析：f(x)=√(1-x2)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù)，其圖形是單位半圓。函數(shù)在x=0處取得最大值√(1-02)=1。10.C解析：y'=(x2)'*sin(1/x)+x2*(sin(1/x))'=2xsin(1/x)+x2*(cos(1/x))*(1/x)'=2xsin(1/x)+x2*(cos(1/x))*(-1/x2)=2xsin(1/x)-cos(1/x)。故dy=(2xsin(1/x)-cos(1/x))dx。二、填空題：1.2解析：f'(x)=(x2+1)'^(-1/2)*(x2+1)'=(1/(2√(x2+1)))*2x=x/√(x2+1)。f'(1)=1/√(12+1)=1/√2=√2/2。但題目選項(xiàng)中無(wú)此值，可能題目或選項(xiàng)有誤。若按標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算，結(jié)果為√2/2。若必須填一個(gè)選項(xiàng)，需確認(rèn)題目或選項(xiàng)準(zhǔn)確性。此處按標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算過(guò)程：x/√(x2+1)。2.(-∞,-√3/3)和(√3/3,+∞)；(-√3/3,√3/3)解析：f''(x)=(x3-1)'=3x2。令f''(x)>0，得x2>0，即x∈(-∞,0)∪(0,+∞)。函數(shù)凹向上。令f''(x)<0，得x2<0，即x∈(-√3/3,√3/3)。函數(shù)凹向下。3.1；2解析：f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=-1或x=1。f''(x)=6x。f''(-1)=-6<0，故x=-1為極大值點(diǎn)。f''(1)=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)。4.-sin(x+1)解析：利用基本求導(dǎo)公式(cosu)'=-sinu*u'，其中u=x+1，u'=1。故y'=-sin(x+1)*1=-sin(x+1)。5.y=x解析：y'=e^x。在點(diǎn)(0,1)處，切線斜率k=e^0=1。切線方程為y-1=1(x-0)，即y=x+1。但題目選項(xiàng)中無(wú)此值，可能題目或選項(xiàng)有誤。若必須填一個(gè)選項(xiàng)，需確認(rèn)題目或選項(xiàng)準(zhǔn)確性。此處按標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算過(guò)程：y=x+1。6.1/3解析：f'(x)=(1/2)(x+1)^(-1/2)*(x+1)'=(1/2)(x+1)^(-1/2)*1=1/(2√(x+1))。f'(2)=1/(2√(2+1))=1/(2√3)=√3/6。但題目選項(xiàng)中無(wú)此值，可能題目或選項(xiàng)有誤。若必須填一個(gè)選項(xiàng)，需確認(rèn)題目或選項(xiàng)準(zhǔn)確性。此處按標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算過(guò)程：1/(2√3)。7.0解析：f(x)=xlnx。定義域?yàn)?0,+∞)。f'(x)=(x)'+lnx+x*(lnx)'=1+lnx+x*(1/x)=1+lnx+1=2+lnx。令f'(x)=0，得lnx=-2，x=e^(-2)。在(0,e^(-2))上，f'(x)<0；在(e^(-2),+∞)上，f'(x)>0。故x=e^(-2)為極小值點(diǎn)。極小值為f(e^(-2))=e^(-2)*ln(e^(-2))=e^(-2)*(-2)=-2/e^2=-2/e2。由于x→0?時(shí)f(x)→0，x→+∞時(shí)f(x)→+∞，故最小值為-2/e2。8.e^(u(x))*u'(x)解析：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。此處f(u)=e^u，g(x)=u(x)。f'(u)=e^u，g'(x)=u'(x)。故y'=e^(u(x))*u'(x)。9.凹向上；(2,-2)解析：y=x2-4x+4=(x-2)2。此為拋物線，頂點(diǎn)為(2,0)。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。由于二次項(xiàng)系數(shù)為正，故拋物線開口向上，即凹向上。10.2/(1+4x2)解析：y'=(1/(1+(2x)2))*(2x)'=(1/(1+4x2))*2=2/(1+4x2)。y''=[2/(1+4x2)]'=2*[(1+4x2)']*(1+4x2)?1=2*(8x)*(1+4x2)?2=16x/(1+4x2)2。三、計(jì)算題：1.解：f'(x)=[(x+1)']*(x-1)-(x+1)*[(x-1)']/(x-1)2=1*(x-1)-(x+1)*1/(x-1)2=(x-1-x-1)/(x-1)2=-2/(x-1)2。2.解：對(duì)方程x2+y2-xy=1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，y是x的函數(shù)，y'=dy/dx。2x+2yy'-y-xy'=0。整理得(2y-x)y'=y-2x。解得y'=(y-2x)/(2y-x)。3.解：f'(x)=(x2)'*e^(-2x)+x2*(e^(-2x))'=2x*e^(-2x)+x2*(-2e^(-2x))=2xe^(-2x)-2x2e^(-2x)=2xe^(-2x)(1-x)。f''(x)=[2xe^(-2x)(1-x)]'=2[xe^(-2x)]'*(1-x)+xe^(-2x)*[(1-x)']。=2[(xe^(-2x))']*(1-x)+xe^(-2x)*(-1)。=2[(e^(-2x)+x*(-2e^(-2x)))*(1-x)]-xe^(-2x)。=2[(e^(-2x)-2xe^(-2x))*(1-x)]-xe^(-2x)。=2e^(-2x)(1-2x)(1-x)-xe^(-2x)。=2e^(-2x)(1-3x+2x2)-xe^(-2x)。=e^(-2x)[2(1-3x+2x2)-x]。=e^(-2x)(2-6x+4x2-x)。=e^(-2x)(4x2-7x+2)。4.解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(x)在區(qū)間[-1,4]上連續(xù)，在(-1,4)內(nèi)可導(dǎo)，故可能極值點(diǎn)為x=0,2，以及端點(diǎn)x=-1,4。f(-1)=(-1)3-3(-1)2+5=-1-3+5=1。f(0)=03-3(0)2+5=5。f(2)=23-3(2)2+5=8-12+5=1。f(4)=43-3(4)2+5=64-48+5=21。比較上述函數(shù)值，最大值為21，取得于x=4；最小值為1，取得于x=-1和x=2。5.解：y'=2x-1。在點(diǎn)(1,1)處，切線斜率k=y'(1)=2(1)-1=1。切線方程：y-1=1(x-1)，即y=x。法線斜率為切線斜率的負(fù)倒數(shù)，即-1/k=-1/1=-1。法線方程：y-1=-1(x-1)，即y-1=-x+1，即y=-x+2。四、綜合應(yīng)用題：1.解：設(shè)罐頭筒的底半徑為r，高為h，容積為V，表面積為S（其中無(wú)蓋，指無(wú)頂蓋）。V=πr2h=50π。h=50π/(πr2)=50/r。S=底面積+側(cè)面積=πr2+2πrh。將h代入S：S(r)=πr2+2πr*(50/r)=πr2+100π/r。求S(r)的最小值。S'(r)=2πr-100π/r2。令S'(r)=0，得2πr-100π/r2=0，即2r3=100，r3=50，r=3√50。S''(r)=[2π-(-200π/r3)]'=0+600π/r?。當(dāng)r=3√50>0時(shí)，S''(r)=600π/(3√50)?>0。故r=3√50時(shí)S(r)取得極小值，也是最小值。此時(shí)h=50/r=50/3√50=3√(502)/3√50=3√(2500/50)=3√50。答：底半徑r=3√50cm，高h(yuǎn)=3√50cm時(shí)，所用材料最省。2.解：f(x)=x3-6x2+9x+1。f'(x)=3x2-12x+9=3(x2-4x+3)=3(x-1)(x-3)。f''(x)=6x-12=6(x-2)。（1）求單調(diào)性與極值：令f'(x)=0，得x=1或x=3。列表分析f'(x)和f(x)的變化情況：|x|(-∞,1)|1|(1,3)|3|(3,+∞)||-||--|-|--|||f'(x)|+|0|-|0|+||f(x)|↗|極大|↘|極小|↗|由表可知：f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增；在