第一章§44.2一元二次不等式及其解法一、選擇題1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是()A．[－2,1]B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．不等式eq\f(3x＋1,1－4x)≥0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,4)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))3．已知0<a<1，關(guān)于x的不等式(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a)))))B．{x|x>a}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>a))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))))4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集為()A．{x|x>3或x<－2}B．{x|x>2或x<－3}C．{x|－2<x<3}D．{x|－3<x<2}5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集為空集，則k的取值范圍是()A．－2≤k≤2 B．k≤－2，或k≥2C．－2<k<2 D．k<－2，或k>26．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集為{x|－3<x<2}，則a＋b＝()A．－4 B．0C．2 D．47．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}8．若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是()A．100臺 B．120臺C．150臺 D．180臺9．(多選題)已知不等式x2＋5x－6<0的解集為A，集合B＝{x|－3<x<2}，則()A．?RA＝{x|－6≤x≤1}B．A∩B＝{x|－3<x<1}C．A∪B＝{x|－6<x<2}D．?RB＝{x|x≤－3或x≥2}10．(多選題)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a對任意實數(shù)x恒成立”為假命題，則實數(shù)a可能的取值為()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a<－1} D．{a|a>4}二、填空題11．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(－x2＋x＋12))的定義域為.12．若x2－ax＋2≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍.13．已知關(guān)于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，則m＋n＝___.14．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx對任意的x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為.三、解答題15．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.16．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．17．解不等式eq\f(ax－1,x－2)>1(a∈R)．18．設(shè)m∈R，不等式mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0的解集記為集合P.(1)若P＝{x|－1<x<2}，求m的值；(2)當m>0時，求集合P.第一章§44.2一元二次不等式及其解法一、選擇題1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是()A．[－2,1]B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)[解析]由－x2－x＋2≥0，得x2＋x－2≤0，即(x－1)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤1，所以該不等式的解集為[－2,1]．故選A.2．不等式eq\f(3x＋1,1－4x)≥0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,4)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))[解析]原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋14x－1≤0，,1－4x≠0，))解得－eq\f(1,3)≤x<eq\f(1,4)，故其解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4))))).故選B.3．已知0<a<1，關(guān)于x的不等式(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a)))))B．{x|x>a}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>a))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))))[解析]因為0<a<1，所以eq\f(1,a)>1，所以a<eq\f(1,a)，所以不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,a)或x<a)))).故選A.4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集為()A．{x|x>3或x<－2}B．{x|x>2或x<－3}C．{x|－2<x<3}D．{x|－3<x<2}[解析]由已知得a(x＋2)(x－3)>0，∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－2<x<3.∴所求不等式的解集為{x|－2<x<3}．故選C.5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集為空集，則k的取值范圍是()A．－2≤k≤2 B．k≤－2，或k≥2C．－2<k<2 D．k<－2，或k>2[解析]由不等式x2＋kx＋1<0的解集為空集，得對應(yīng)的二次函數(shù)y＝x2＋kx＋1的圖象全部在x軸或x軸上方，則Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.故選A.6．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集為{x|－3<x<2}，則a＋b＝()A．－4 B．0C．2 D．4[解析]由不等式的解集為{x|－3<x<2}易知a<0，且方程ax2＋bx＋12＝0的兩根為x1＝－3，x2＝2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－[－3＋2]＝1，,\f(12,a)＝－3×2＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2，))所以a＋b＝－4.故選A.7．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，即A＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}．故選B.8．若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是()A．100臺 B．120臺C．150臺 D．180臺[解析]y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．∴生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量是150臺．故選C.9．(多選題)已知不等式x2＋5x－6<0的解集為A，集合B＝{x|－3<x<2}，則()A．?RA＝{x|－6≤x≤1}B．A∩B＝{x|－3<x<1}C．A∪B＝{x|－6<x<2}D．?RB＝{x|x≤－3或x≥2}[解析]不等式x2＋5x－6<0可化為(x＋6)(x－1)<0，解得－6<x<1，所以該不等式的解集為A＝{x|－6<x<1}，所以?RA＝{x|x≤－6或x≥1}，選項A錯誤；又因為集合B＝{x|－3<x<2}，所以A∩B＝{x|－3<x<1}，選項B正確；又A∪B＝{x|－6<x<2}，選項C正確；因為集合B＝{x|－3<x<2}，所以?RB＝{x|x≤－3或x≥2}，選項D正確．故選BCD.10．(多選題)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a對任意實數(shù)x恒成立”為假命題，則實數(shù)a可能的取值為()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a<－1} D．{a|a>4}[解析]若命題為真命題，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值為4，所以x2－2x＋5≥a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以題中a可以取的范圍為{a|a<－1或a>4}的子集．選項C、D正確．故選CD.二、填空題11．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(－x2＋x＋12))的定義域為{x|－3<x<4}.[解析]由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－3<x<4，所以定義域為{x|－3<x<4}．12．若x2－ax＋2≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍[－2eq\r(2)，2eq\r(2)].[解析]由Δ＝a2－8≤0，得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2)，∴a的范圍是[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]．13．已知關(guān)于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，則m＋n＝_5__.[解析]因為關(guān)于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，所以－eq\f(1,3)和eq\f(1,2)是方程mx2＋nx－1＝0的兩根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(n,m)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×\f(1,2)＝－\f(1,m)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝－1，))所以m＋n＝5.14．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx對任意的x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)).[解析]原不等式可化為(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0對任意的x∈R恒成立．①當1－m2＝0時，m＝±1.當m＝－1時，不等式可化為－1<0，顯然成立；當m＝1時，不等式可化為2x－1<0，解得x<eq\f(1,2)，故不等式的解集不是R，不合題意；②當1－m2≠0時，由不等式恒成立可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m2<0，,Δ＝1＋m2＋41－m2<0，))解得m<－1或m>eq\f(5,3)，綜上可知：實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)).三、解答題15．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.[解析]原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1>－1，,x2＋2x－1≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0，,x2＋2x－3≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,x＋3x－1≤0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>0，,－3≤x≤1.))如圖，結(jié)合數(shù)軸，可得原不等式的解集為{x|－3≤x<－2或0<x≤1}．16．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．[解析]因為x2＋px＋q<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，所以x1＝－eq\f(1,2)與x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))所以不等式qx2＋px＋1>0即為－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3.即不等式qx2＋px＋1>0的解集為{x|－2<x<3}．17．解不等式eq\f(ax－1,x－2)>1(a∈R)．[解析]原不等式等價于eq\f(ax－1,x－2)－1>0，即eq\f(ax－1－x－2,x－2)>0，所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.①當a＝1時，①式可以轉(zhuǎn)化為x>2；當a>1時，①式可以轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,a－1)))(x－2)>0；當a<1時，①式可以轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,a－1)))(x－2)<0.又當a≠1時，2－eq\f(a－2,a－1)＝eq\f(a,a－1)，所以當a>1或a<0時，2>eq\f(a－2,a－1)；當a＝0時，2＝eq\f(a－2,a－1)；當0<a<1時，2<eq\f(a－2,a－1).故當a＝1時，原不等式的解集是{x|x>2}；當a>1時，原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(a－2,a－1)或x>2))))；當0<a<1時，原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\