2.1.2兩條直線平行和垂直的判定【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示考點(diǎn)二：兩條直線垂直的判定圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【題型歸納】題型一：由斜率判斷兩條直線平行1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線和直線的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合【答案】B【分析】根據(jù)兩直線的方程求出各自的斜率，然后斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】方程可化為，因此該直線的斜率.方程可化為，因此該直線的斜率，因?yàn)椋赃@兩條直線相交但不垂直.故選：B.2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行B．若，則C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行【答案】C【分析】根據(jù)直線平行和斜率之間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯(cuò)誤；若，則或，的斜率都不存在，B錯(cuò)誤；若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯(cuò)誤．故選：C.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）直線和直線平行，則直線和直線的位置關(guān)系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【答案】B【分析】利用兩直線平行的等價(jià)條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€和直線平行，所以，故直線為，與直線平行故選：B題型二：由斜率判斷兩條直線垂直4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各組直線中，互相垂直的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】分別求出兩直線的斜率，根據(jù)斜率之積為兩直線垂直，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：直線的斜率為，直線的斜率為，故兩直線平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積不為，即兩直線不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積不為，即兩直線不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積為，即兩直線垂直，故D正確；故選：D5．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知直線的斜率是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B．C．與相交但不垂直 D．與的位置關(guān)系不確定【答案】C【分析】由可知兩直線不垂直，且知兩直線不平行，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)直線的斜率為，則，，不垂直，A錯(cuò)誤；若，則，與矛盾，，不平行，B錯(cuò)誤；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.6．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).則直線與的位置關(guān)系是（

）A．重合 B．平行 C．垂直 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】分時(shí)，時(shí)，時(shí)三種情況討論，觀察直線斜率之間的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).此時(shí)直線的斜率，直線的斜率不存在，因此.②當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).此時(shí)直線的斜率不存在，直線的斜率，因此.③當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率此時(shí)，.綜上可知，直線與垂直.故選：C.題型三：已知直線平行求參數(shù)7．（2023秋·福建三明·高二三明一中校考階段練習(xí)）若直線與直線互相平行，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，則，解得.故選：A.8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知常數(shù)，直線：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.【詳解】因?yàn)橹本€：，：，當(dāng)時(shí)，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知命題：直線與平行，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系可得命題等價(jià)于或，結(jié)合充分不必要條件的判斷即可求解.【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價(jià)于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．題型四：已知直線垂直求參數(shù)10．（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┤糁本€與直線互相垂直，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，解得；故選：D11．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線和直線，若，則的值為（

）A．2 B． C．0或2 D．1或【答案】C【分析】由兩直線垂直的充要條件建立方程求解即可.【詳解】由，得，解得，或.故選：C.12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】求出直線的斜率為，分、兩種情況討論，在時(shí)，由兩直線斜率之積為可求得實(shí)數(shù)的值；在時(shí)，直接驗(yàn)證.綜合可得結(jié)果.【詳解】直線的斜率．①當(dāng)時(shí)，直線的斜率．因?yàn)?，所以，即，解得．②?dāng)時(shí)，、，此時(shí)直線為軸，又、，則直線為軸，顯然．綜上可知，或.故選：C.題型五：直線平行、垂直在幾何中的應(yīng)用13．（2022秋·山東德州·高二德州市第一中學(xué)校）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為（）A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0【答案】B【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出線段AB的垂直平分線，再由AC＝BC判斷出其即為△ABC的歐拉線.【詳解】因?yàn)锳（4，0），B（0，2），所以線段AB的中點(diǎn)為（2，1），所以線段AB的垂直平分線為：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分線上，因此△ABC的歐拉線方程為2x﹣y﹣3＝0.故選：B.14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行.（1）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）直線平行于y軸，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；（3）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.【分析】（1），所以直線與不平行；（2）直線與y軸重合，所以直線與平行；（3）E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共線，直線與重合.故直線與不平行.【詳解】解：（1）直線的斜率，直線的斜率，顯然，所以直線與不平行.（2）直線與y軸重合，所以直線與平行.（3）直線的斜率，直線的斜率，所以，又，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共線，直線與重合.故直線與不平行.15．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，.（1）若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，判斷，，，構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四邊形為菱形,平行四邊形,不是菱形.【分析】（1）分四邊形、、是平行四邊形三種情況討論，分別利用對(duì)邊的斜率相等求解，即可；（2）分別驗(yàn)證對(duì)角線是否垂直，即對(duì)角線斜率乘積是否為，即可.【詳解】（1）由題意得，，，設(shè).若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.（2）若的坐標(biāo)為（-1，6），因?yàn)?，，所以，所以，所以平行四邊形為菱?若的坐標(biāo)為（7，2），因?yàn)?，，所以，所以平行四邊形不是菱?若的坐標(biāo)為（3，-2），因?yàn)椋本€的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.因此，平行四邊形為菱形,平行四邊形,不是菱形.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】求出已知二直線不相交時(shí)的a值，再驗(yàn)證作答.【詳解】依題意，直線與直線平行或重合時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，所以的值為.故選：C17．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知直線過(guò)，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設(shè)直線斜率為，直線斜率為，因?yàn)橹本€過(guò)，，所以斜率為，因?yàn)?，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.18．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，直線AB垂直于直線，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)，由兩直線的垂直關(guān)系及點(diǎn)在線上列出方程組計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則由題意可得①，且②，由①②解得.即B正確.故選：B19．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．以為直角頂點(diǎn)的直角三角形 D．以為直角頂點(diǎn)的直角三角形【答案】D【分析】通過(guò)斜率證明兩直線垂直，得到三角形形狀.【詳解】直線的斜率，直線的斜率，由，所以，故是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形．故選：D20．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：A.21．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線：，則“”是“直線與軸垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由直線與軸垂直，可得直線的斜率不存在，進(jìn)而得到，解出的值，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由直線與軸垂直，得直線的斜率不存在，可得，解得，所以“”是“直線與軸垂直”的充要條件.故選：C.22．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知兩條直線，，則是的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)斜率的乘積等于可得；當(dāng)時(shí)，根據(jù)求出，再根據(jù)必要不充分條件的概念可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，所以；當(dāng)時(shí)，可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：A.23．（2023春·四川廣元·高二廣元中學(xué)?？计谥校啊笔恰爸本€與直線平行”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由直線與直線平行可求得的值，集合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若直線與直線平行，則，解得.因此，“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：C.24．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）“”是“直線和直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)a，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】∵直線和直線平行，∴，解得或，當(dāng)，兩直線分別為，兩直線平行，符合題意；當(dāng)，兩直線分別為，即為，兩直線重合，不符合題意；綜上所述：.故“”是“直線和直線平行”的充要條件.故選：C.25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列給定的條件，用多種方法判斷直線與直線的位置關(guān)系：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．【答案】(1)平行(2)垂直【分析】方法1，求出直線方程，比較兩條直線的斜率與縱截距可判斷兩直線關(guān)系；方法2，通過(guò)判斷對(duì)應(yīng)向量的位置關(guān)系可判斷兩直線位置關(guān)系.【詳解】（1）方法1:：因，，則直線AB方程為：；因，，則直線CD方程為：.因兩直線斜率相同，縱截距不同，則兩直線平行；方法2：由題可得，因，則與共線，又注意到，其與，均不共線，可知不共線，則直線AB與直線CD平行；（2）方法1：由題可得直線AB方程為：；直線MN方程為：.因兩直線斜率乘積為，則兩直線垂直；方法2：由題可得，因，則兩直線垂直；26．（2023秋·高二）如圖所示，已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明.

【答案】平行四邊形，證明見(jiàn)解析.【分析】通過(guò)計(jì)算得到，，從而判斷出四邊形的形狀.【詳解】由已知可得邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率.因?yàn)?，，所以?因此四邊形是平行四邊形.【高分突破】一、單選題27．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)橹本€，，若，則，解得.故選：A.28．（2023春·上海虹口·高二上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎本€，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)兩直線不重合，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)兩直線不重合，即或時(shí)，，故是的充分不必要條件.故選：A.29．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線與直線平行，則“m＝2”是“平行于”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系、充分和必要條件等知識(shí)確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)可知或都符合.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上，且為直角，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，由為直角，得，然后由列式計(jì)算即可.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，為直角，，由，，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或故選：B二、多選題31．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】由直線的斜率，判斷直線的平行與垂直.【詳解】由斜率公式知，，，，且四點(diǎn)不共線，則，A選項(xiàng)正確；，，B選項(xiàng)正確；，，C選項(xiàng)正確；，，，，D選項(xiàng)正確．故選：ABCD．32．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以為頂點(diǎn)的三角形，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形D．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形【答案】AC【分析】對(duì)于AB，利用斜率公式計(jì)算判斷，對(duì)于C，通過(guò)計(jì)算判斷，對(duì)于D，通過(guò)計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，所以，所以以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：AC33．（2023秋·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線，則（

）A．若，則的一個(gè)方向向量為 B．若，則或C．若，則 D．若不經(jīng)過(guò)第二象限，則【答案】ACD【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將化簡(jiǎn)得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，斜率為，則其一個(gè)方向向量為，故A正確；對(duì)B，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則直線的斜率，直線的斜率，則有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，顯然兩條直線重合，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則，即，解得，故C正確；對(duì)D，若不經(jīng)過(guò)第二象限，，化簡(jiǎn)得，則，解得，故D正確；故選：ACD.34．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在x軸上的截距為 B．能表示過(guò)點(diǎn)的任意直線C．若，則或 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)直線方程的特征逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可判斷.【詳解】A項(xiàng)：令，則，故選項(xiàng)A正確；B項(xiàng)：，令，則，過(guò)定點(diǎn)，但無(wú)法表示直線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：且，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，故選項(xiàng)D正確．故選：AD35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．斜率均不存在的兩條直線可能重合B．若直線，則這兩條直線的斜率的乘積為C．若兩條直線的斜率的乘積為，則這兩條直線垂直D．兩條直線，若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則【答案】ACD【分析】利用直線重合與垂直的性質(zhì)，同時(shí)考慮直線斜率不存在的情況，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，則斜率均不存在，但兩者重合，故A正確；對(duì)于BD，若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則這兩條直線互相垂直，但此時(shí)乘積不為，故B錯(cuò)誤；D正確；對(duì)于C，根據(jù)直線垂直的性質(zhì)可知，兩直線的斜率存在，且乘積為時(shí)，這兩條直線垂直，故C正確.故選：ACD.36．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，斜率分別為，則下列命題正確的是（

）A．若斜率，則 B．若，則C．若傾斜角，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)兩直線傾斜角和斜率與直線平行和垂直的關(guān)系分別判斷選項(xiàng)，舉反例可判斷D.【詳解】對(duì)于A,若兩直線斜率，則它們的傾斜角，則，正確；對(duì)于B，由兩直線垂直的條件可知，若，則，正確；對(duì)于C,由兩直線平行的條件可知，若傾斜角，則，正確；對(duì)于D,若，不妨取，則，不滿足，不垂直，D錯(cuò)誤，故選：37．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．當(dāng)時(shí)，是直線的方向向量D．原點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】AD【分析】根據(jù)垂直關(guān)系計(jì)算得到A正確；當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，B錯(cuò)誤；計(jì)算斜率得到C錯(cuò)誤；過(guò)定點(diǎn)，最大距離為，計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，則，解得，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：時(shí)，，斜率為，的方向向量是，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：過(guò)定點(diǎn)，故原點(diǎn)到直線的最大距離為，正確.故選：AD三、填空題38．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若直線與直線垂直，則．【答案】【分析】根據(jù)直線垂直列方程，從而求得的值.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得．故答案為：39．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┮阎本€過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線，直線.若，，則.【答案】【分析】根據(jù)直線垂直和平行滿足的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】由于直線的斜率為，且，直線的斜率為，解得.由于，的斜率為，直線的斜率為，，∴，解得，∴.故答案為：40．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共圓，那么的值是．【答案】/4.75【分析】由題易知，即為圓的直徑，即,由列出方程，即可求出答案.【詳解】由題易知，即為圓的直徑，即,∴，即，解得．故答案：.41．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，與相交．【答案】/0.5且【分析】