專題1.1集合與常用邏輯用語（舉一反三復(fù)習(xí)講義）【全國通用】命題規(guī)律分析1、集合集合是高考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)，常見以一元一次、一元二次不等式的形式，結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補(bǔ)集等運(yùn)算，偶爾涉及集合的符號辨識，一般出現(xiàn)在高考的單選題的前3題中，以基礎(chǔ)題為主。2、常用邏輯用語常用邏輯用語是高考數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，常見于考查真、假命題的判斷；全稱量詞命題、存在量詞命題以及命題的否定；偶爾涉及充分條件與必要條件以及根據(jù)描述進(jìn)行邏輯推理等，中等偏易難度；但一般很少單獨(dú)考查，常常與其他知識結(jié)合考查。高考真題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)2023年2024年2025年集合I卷：第1題，5分Ⅱ卷：第2題，5分新課標(biāo)I卷：第1題，5分全國一卷：第2題，5分全國二卷：第3題，5分北京卷：第1題，4分天津卷：第1題，5分常用邏輯用語I卷：第7題，5分新課標(biāo)Ⅱ卷：第2題，5分2026年命題預(yù)測預(yù)測在2026年的高考數(shù)學(xué)中，集合依舊是必考的基礎(chǔ)考點(diǎn)，大概率出現(xiàn)在高考的單選題的前3題中，分值為5分，主要考查集合的交、并、補(bǔ)集等運(yùn)算，是基礎(chǔ)題。預(yù)測常用邏輯用語主要考查真、假命題的判斷，命題的否定，充分、必要條件的判斷，會(huì)與其他知識結(jié)合考查，大概率在單選題中考查，難度不大。知識點(diǎn)1集合1．集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本關(guān)系(1)子集：若對于任意的x∈A都有x∈B，則A?B；(2)真子集：若A?B，且A≠B，則A?B；(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B；(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語言集合語言圖形語言記法交集屬于A且屬于B的所有元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補(bǔ)集全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對于集合U的補(bǔ)集{x|x∈U，x?A}?UA【常用結(jié)論】(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．知識點(diǎn)2常用邏輯用語1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．3．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”4．存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”5．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．【方法技巧與總結(jié)】1．從集合與集合之間的關(guān)系上看充分、必要條件2．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個(gè)元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個(gè)反例.(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x0使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.【題型1元素與集合的關(guān)系】【例1】（2025·遼寧·二模）設(shè)集合A=x|2x?1>m.若2∈A，則m的取值范圍是（

）A．m≤3 B．m≥3 C．m<3 D．m>3【答案】C【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，求m的取值范圍.【解答過程】因?yàn)?∈A，所以2×2?1>m，所以m<3.故選：C.【變式11】（2025·遼寧·三模）已知集合A=1,2,B=xA．1∈B B．0∈B C．3∈B D．?3∈B【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，求出集合B，利用元素與集合的關(guān)系判斷.【解答過程】依題意可得B=?3,0,3，所以?3∈B,0∈B,3∈B,1?B故選：A.【變式12】（2025·陜西漢中·二模）已知集合A=2m+3nA．3?A B．?2+53?A C．4∈A【答案】C【解題思路】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的概念以及無理數(shù)數(shù)的拆分，對各個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【解答過程】因?yàn)锳=2m+設(shè)3=2m+3n,則：有理數(shù)部分：0=2m?m=0m=0∈Z,n=1∈N,符合條件，所以設(shè)?2+53=2m+3n,則有理數(shù)部分m=?1∈Z,n=5∈N,符合條件，故設(shè)4=2m+3n,則：有理數(shù)部分:4=2m?m=2，無理數(shù)部分：0=3設(shè)?1+23=2m+3n,則有理數(shù)部分：故選：C.【變式13】（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知集合1,2,m,4的最大元素等于該集合的所有元素之和，則實(shí)數(shù)m=（

）A．?4 B．?3 C．?2 D．?1【答案】B【解題思路】分類討論，根據(jù)題意列出關(guān)系式求解即可.【解答過程】根據(jù)集合中元素的互異性可得：m≠1，m≠2且m≠4.當(dāng)集合m>4時(shí)，集合1,2,m,4的最大元素為m；當(dāng)集合m<4時(shí)，集合1,2,m,4的最大元素為4；根據(jù)題意可得：集合1,2,m,4的所有元素之和為7+m.且m>47+m=m或m<4解得：m=?3.故選：B.【題型2集合中元素的個(gè)數(shù)問題】【例2】（2024·四川樂山·三模）已知集合A=x,yx2+yA．9 B．8 C．6 D．5【答案】C【解題思路】利用列舉法表示集合A即可得出元素個(gè)數(shù).【解答過程】A=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)故選：C.【變式21】（2025·寧夏銀川·一模）已知集合A=0,1,2，則集合B=x,y∣x≤y,x∈A,y∈AA．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，采用列舉法表示集合B即可求解.【解答過程】由題，可得B=0,0所以集合B含有6個(gè)元素.故選：C.【變式22】（2025·廣東揭陽·二模）已知集合A=x,y?x24A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【解題思路】首先求出x的值，然后代入x24+【解答過程】因?yàn)閤∈Z,y∈Z又x24+y23≤1，所以當(dāng)x=?2時(shí)：代入x24+y2所以y=0，此時(shí)得到元素?2,0；當(dāng)x=?1時(shí)：代入x24+y23≤1此時(shí)得到元素?1,?1,當(dāng)x=0時(shí)：代入x24+y23≤1得y此時(shí)得到元素0,?1,當(dāng)x=1時(shí)：代入x24+y23≤1此時(shí)得到元素1,?1,當(dāng)x=2時(shí)：代入x24+y2此時(shí)得到元素2,0；滿足條件的元素分別為：?2,0，?1,?1,?1,0,?1,1，0,?1,故選：C.【變式23】（2024·四川樂山·三模）已知集合A=?1,0,1,B=1,2,C=x∣x=a+b,a∈A,b∈BA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解題思路】根據(jù)集合的定義與運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可.【解答過程】由題意知，a∈{?1,0,1}，b∈{1,2}，當(dāng)a∈{?1,0,1}，b=1時(shí)，a+b∈{0,1,2}，當(dāng)a∈{?1,0,1}，b=2時(shí)，a+b∈{1,2,3}，所以C={0,1,2,3}，所以集合C中的元素個(gè)數(shù)為4.故選：C.【題型3集合間的基本關(guān)系】【例3】（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知集合A=2,4,a,B=a,2a，若B?A，則a=A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解題思路】利用集合之間的關(guān)系，得出2a=2或2a=4，求解后，需要留意元素的互異性即可．【解答過程】由于B={a,2a}，故a≠2a,∴a≠0，由B?A知2a=2或2a=4，即a=1或a=2，注意到2∈A，故由元素互異性知a≠2，故a=1，故選：C．【變式31】（2025·河南許昌·模擬預(yù)測）已知集合A={?2,0,1}，B={x4?ax>0}，若A?B，則a的取值范圍是（A．(?2,+∞) B．(?∞,4) C．(?【答案】D【解題思路】根據(jù)集合的包含關(guān)系直接得到答案.【解答過程】因?yàn)锳?B，所以4+2a>0,4?a>0,解得?2<a<4即a的取值范圍是(?2,4).故選：D.【變式32】（2025·陜西榆林·一模）已知集合M=1,2a+3,N=1,a2，若M=NA．?1或3 B．0或?1 C．3 D．?1【答案】C【解題思路】根據(jù)題意集合相等，元素相同且同一集合元素互異求解即可.【解答過程】解：因?yàn)榧螹=1,2a+3,N=1,所以a2=2a+32a+3≠1故選：C.【變式33】（2025·山東青島·三模）若集合A=xx=k2,k∈A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?【答案】A【解題思路】通過分析兩個(gè)集合的元素形式來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系.【解答過程】因?yàn)榧螦=xx=kA?B.故選：A.【題型4集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及其求參問題】【例4】（2025·吉林松原·模擬預(yù)測）若集合A=x|?2≤x≤0，B=x|?1≤x≤2，則A．?2,2 B．?1,0C．?2,0 D．?1,2【答案】B【解題思路】根據(jù)集合交集運(yùn)算求解即可.【解答過程】因?yàn)榧螦=x|?2≤x≤0，B=所以A∩B=x∣?1≤x≤0故選：B．【變式41】（2025·云南·模擬預(yù)測）若全集U={x∈N∣0<x<7}，集合A=1,3,4,5,6,B=1,2,4,5，則B∩A．1,2 B．2 C．2,3 D．6【答案】B【解題思路】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算易得.【解答過程】由題意，得U=1,2,3,4,5,6，所以?又B=1,2,4,5，則B∩故選：B.【變式42】（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知集合A={x|2<x<5},B={A．?∞,3 B．2,+∞ C．2,3【答案】D【解題思路】根據(jù)并集的定義求解．【解答過程】由已知A∪B={x|x<5}=(?∞故選：D．【變式43】（2025·浙江麗水·一模）已知集合A={x∣?2≤x<1},B=m,3，且A∩B的元素個(gè)數(shù)是一個(gè)，則實(shí)數(shù)mA．(?2,1) B．[?2,1] C．[?2,1) D．(?2,1]【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系求解即可.【解答過程】由A∩B的元素個(gè)數(shù)是一個(gè)，且3?A，得m∈A，則?2≤m<1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[?2,1).故選：C.【題型5集合的新定義問題】【例5】（2025·陜西寶雞·模擬預(yù)測）定義集合運(yùn)算：A⊕B=x,yx2∈A,2y∈B.若集合A=B=A．? B．4,1C．1,23 【答案】D【解題思路】求出A,B后可求得A⊕B∩C=【解答過程】由題設(shè)可得A=B=2,3，A⊕B=因?yàn)?=?16×4+53，2故A⊕B∩C=故選：D.【變式51】（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合A?B為陰影部分表示的集合.若集合A=[0,2]，集合B={x|x>1}，則集合A?B=（

）A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}【答案】D【解題思路】根據(jù)給定的韋恩圖，結(jié)合集合的運(yùn)算求解.【解答過程】集合A=[0,2]，集合B={x|x>1}，則A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2}，由韋恩圖得A?B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1故選：D.【變式52】（2025·北京·模擬預(yù)測）集合A={1,2,3,4,5}的所有三個(gè)元素的子集記為B1,B2,?,Bnn∈NA．10 B．40 C．45 D．50【答案】C【解題思路】由題列舉出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可.【解答過程】由題知：B1=B3=1,2,5,bB6=2,4,5B8=1,4,5,b則b故選：C.【變式53】（2024·全國·模擬預(yù)測）大數(shù)據(jù)時(shí)代，需要對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，檢索過程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個(gè)集合A和B，用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作A與B的笛卡爾積，又稱直積，記為A×B．即A×B=x,yx∈A且y∈B．關(guān)于任意非空集合M，A．M×N=N×M B．M×NC．M×N∪TM×N∪M×T【答案】D【解題思路】舉例說明判斷ABC；利用給定的定義結(jié)合集合運(yùn)算的意義推理判斷D.【解答過程】對于A，若M=1,N=1,2對于B，若M=1,N=2而M×N×T對于C，若M=1,N=2M×N=1,2，M×T=1,3，對于D，任取元素x,y∈M×N∩T，則x∈M且y∈N∩T，則y∈N且于是x,y∈M×N且x,y∈M×T，即反之若任取元素x,y∈M×N∩M×T，則因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且所以x,y∈M×N∩T，即故選：D.【題型6充分條件與必要條件】【例6】（2025·海南三亞·一模）已知a<b，則“c<d”是“a+c<b+d”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)，分析條件間的推出關(guān)系判斷充分、必要性.【解答過程】若a<b，c<d，則a+c<b+d，所以c<d是a+c<b+d的充分條件，若a=1,b=5,c=2,d=?1，滿足a+c<b+d，而c>d，所以a+c<b+d不能推出c<d，綜上，c<d是a+c<b+d的充分不必要條件.故選：A.【變式61】（2025·浙江寧波·一模）下面四個(gè)條件中，使a>b成立的必要不充分條件是（

）A．a(chǎn)?1≥b B．a(chǎn)+1≥b C．|a|>|b| D．a(chǎn)【答案】B【解題思路】由充分必要條件的定義逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】對于A，a?1≥b?a>b，而a>b不能推出a?1≥b，例如4>3.5而4?1<3.5.所以a?1≥b是a>b的充分不必要條件，故A不正確對于B，a+1≥b不能推出a>b，例如3.5+1≥4，但3.5<4；而a>b?a+1≥b所以a+1≥b是a>b的必要不充分條件，故B正確.對于C，|a|>|b|不能推出a>b，例如?4>|3|但?4<3；a>b不能推出|a|>|b|，例如2>?3，但2<?3.所以|a|>|b|對于D,因?yàn)閥=x3是增函數(shù)，所以a3>b故選：B.【變式62】（2025·遼寧大連·一模）已知函數(shù)fx=axa>1，x∈R)，對于m,n∈RA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】由充分條件和必要條件的單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)a>1，所以fx=a所以由am>a又因?yàn)閙>n，所以a所以p是q的充要條件.故選：A.【變式63】（2025·浙江紹興·二模）已知集合A，B，C均為非空集合．若a∈B是a∈A的充分不必要條件，a∈A是a∈C的充分不必要條件，則a∈B是a∈C的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】根據(jù)已知有B是A的真子集，且A是C的真子集，即得B是C的真子集，結(jié)合充分、必要性定義即可得.【解答過程】由a∈B是a∈A的充分不必要條件，即B是A的真子集，由a∈A是a∈C的充分不必要條件，即A是C的真子集，所以B是C的真子集，即a∈B是a∈C的充分不必要條件.故選：A.【題型7全稱量詞與存在量詞】【例7】（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測）命題“?x∈0,+∞，x2A．?x∈0,+∞，x2?2x+a>0 C．?x∈0,+∞，x2?2x+a>0 【答案】C【解題思路】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可求解.【解答過程】命題“?x∈0,+∞，x2?2x+a≤0”的否定為“故選：C.【變式71】（2025·陜西榆林·一模）已知命題p：?x∈R,x+1>1A．p和q都是真命題 B．?p和q都是真命題C．p和?q都是真命題 D．?p和?q都是真命題【答案】B【解題思路】結(jié)合命題否定的定義，找出對應(yīng)反例的取值并依次判斷命題p,q的真假，即可求解【解答過程】命題p：?x∈R,x+1>1命題q：?x>0,x2>x，當(dāng)x>1所以，?p和q都是真命題，?q和p是假命題.故選：B.【變式72】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知命題p:?x∈0,+∞，3x2?2A．?x∈0,+∞，3x2?2C．?x?0,+∞，3x2?2【答案】D【解題思路】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)果.【解答過程】命題p:?x∈0,+∞，該命題的否定為?p:?x∈0,+∞，故選：D.【變式73】（2025·陜西延安·模擬預(yù)測）已知命題p:?x∈R,(x+1)2>0A．p和q都是真命題 B．?p和q都是真命題C．p和?q都是真命題 D．?p和?q都是真命題【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，利用全稱命題與存在性命題的真假判定方法，逐個(gè)判定命題的真假，即可得到答案.【解答過程】由?x∈R,(x+1)2≥0又由當(dāng)x=1時(shí)，x3=x2，所以命題故選：B.考點(diǎn)一集合一、單選題1．（2025·北京·高考真題）已知集合M={x∣2x?1>5},N={1,2,3}，則M∩N=（A．{1,2,3} B．{2,3} C．{3} D．?【答案】D【解題思路】先求出集合M，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.【解答過程】因?yàn)镸=x|2x?1>5=x|x>3故選：D.2．（2025·天津·高考真題）已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=2,3,5A．1,2,3,4 B．2,3,4 C．2,4 D．4【答案】D【解題思路】由集合的并集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.【解答過程】由A=1,3,B=2,3,5集合U=1,2,3,4,5故?故選：D.3．（2025·全國二卷·高考真題）已知集合A={?4,0,1,2,8},B=x∣x3=x,A．{0,1,2} B．{1,2,8}C．{2,8} D．{0,1}【答案】D【解題思路】求出集合B后結(jié)合交集的定義可求A∩B.【解答過程】B=x|x3故選：D.4．（2025·全國一卷·高考真題）已知集合U={xx是小于9的正整數(shù)}，A={1,3,5}A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出．【解答過程】因?yàn)閁=1,2,3,4,5,6,7,8，所以?UA=2,4,6,7,8，故選：C．5．（2024·北京·高考真題）已知集合M={x|?3<x<1}，N={x|?1≤x<4}，則A．x?1≤x<1 B．C．x|?3<x<4 D．x【答案】C【解題思路】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【解答過程】由題意得M∪N=x|?3<x<4故選：C.6．（2024·全國甲卷·高考真題）若集合A=1,2,3,4,5,9，B=xx+1∈A，則A∩B=A．1,2,3 B．3,4,9 C．1,2,3,4 D．2,3,4,5【答案】C【解題思路】根據(jù)集合B的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【解答過程】依題意得，對于集合B中的元素x，滿足x+1=1,2,3,4,5,9，則x可能的取值為0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8}，于是A∩B={1,2,3,4}.故選：C.7．（2024·全國甲卷·高考真題）已知集合A=1,2,3,4,5,9,B=xx∈AA．1,4,9 B．3,4,9 C．1,2,3 D．2,3,5【答案】D【解題思路】由集合B的定義求出B，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【解答過程】因?yàn)锳=1,2,3,4,5,9,B=x則A∩B=1,4,9，?故選：D.8．（2024·天津·高考真題）集合A=1,2,3,4，B=2,3,4,5，則A∩B=（A．1,2,3,4 B．2,3,4 C．2,4 D．1【答案】B【解題思路】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【解答過程】因?yàn)榧螦=1,2,3,4，B=所以A∩B=2,3,4故選：B.9．（2023·上海·高考真題）已知P=1,2，Q=2,3，若M={x|x∈P且x?Q}，則M=（A．{1} B．{2} C．{1,2} D．{1,2,3}【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，直接求出集合M中的元素作答.【解答過程】因?yàn)镻={1,2}，由x∈P，得x=1或x=2，又Q={2,3}，且x?Q，即有x≠2且x≠3，因此x=1，所以M={1}.故選：A.二、解答題10．（2025·北京·高考真題）已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,M=x,y∣x∈A,y∈A，從M中選取n個(gè)不同的元素組成一個(gè)序列：x1,y1,x2,y(1)對于第1項(xiàng)為(3,3)的K列，寫出它的第2項(xiàng)．(2)設(shè)Γ為K列，且Γ中的項(xiàng)xi,yii=1,2,…,n滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，xi∈{1,2,7,8}：當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，x(3)證明：由M的全部元素組成的序列都不是K列．【答案】(1)6,7或7,6(2)不能，理由見解析(3)證明過程見解析【解題思路】（1）根據(jù)新定義即可得解；（2）假設(shè)(3,2)與(4,4)能同時(shí)在Γ中，導(dǎo)出矛盾，從而得出(3,2)與(4,4)不能同時(shí)在Γ中的結(jié)論；（3）假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)K列，通過構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.【解答過程】（1）根據(jù)題目定義可知，xi+1=x若第一項(xiàng)為3,3，顯然x2=0或?1不符合題意（不在集合A中），所以下一項(xiàng)是6,7或（2）假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在Γ中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨設(shè)3,2在4,4之前.顯然，在K列中，相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從3,2到4,4必定要向下一項(xiàng)走奇數(shù)次.但又根據(jù)題目條件，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在Γ中，所以從3,2到4,4必定要向下一項(xiàng)走偶數(shù)次.這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在Γ中.（3）法1：若M中的所有元素構(gòu)成K列，考慮K列中形如xi這樣的項(xiàng)共有16個(gè)，由題知其下一項(xiàng)為xi+1而xi+1橫、縱坐標(biāo)不能同時(shí)相差4，這樣下一項(xiàng)只能有12個(gè)點(diǎn)，即對于16個(gè)xi,y綜上，由M的全部元素組成的序列都不是K列．法2：假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)K列，則n=64.設(shè)T1=x,y則T1和T2都包含32個(gè)元素，且T1如果存在至少兩對相鄰的項(xiàng)屬于T2，那么屬于T2的項(xiàng)的數(shù)目一定多于屬于所以至多存在一對相鄰的項(xiàng)屬于T2如果存在，則這對相鄰的項(xiàng)的序號必定形如2m和2m+1，否則將導(dǎo)致屬于T2的項(xiàng)的個(gè)數(shù)比屬于T1的項(xiàng)的個(gè)數(shù)多2，此時(shí)從而這個(gè)序列的前2m項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于T1，