2025年彈性力學與有限元分析試題答案一、簡答題1.彈性力學的基本假設包括哪些？各假設的工程意義是什么？彈性力學的基本假設通常包括連續(xù)性假設、完全彈性假設、均勻性假設、各向同性假設和小變形假設。連續(xù)性假設認為物體內無空隙，材料連續(xù)分布，使物理量可用連續(xù)函數描述，是建立微分方程的基礎；完全彈性假設指物體在去除外力后能完全恢復原狀，應力與應變滿足單值線性關系（胡克定律），簡化了本構關系的數學表達；均勻性假設認為材料性質不隨位置變化，彈性常數在物體內各點相同，使本構方程中的彈性模量等參數為常數；各向同性假設指材料在各個方向上的力學性能相同，彈性常數與方向無關，避免了正交異性或各向異性材料的復雜張量表示；小變形假設認為物體變形遠小于其幾何尺寸，可忽略變形對幾何關系的影響，使平衡方程和幾何方程線性化，大幅降低求解難度。2.簡述圣維南原理的核心思想及其工程應用條件。圣維南原理的核心思想是：作用在彈性體某一局部區(qū)域的力系，若用另一靜力等效（主矢和主矩相同）的力系代替，則僅在該局部區(qū)域附近的應力分布有顯著變化，遠處的應力分布幾乎不受影響。其工程應用需滿足兩個條件：一是替換的力系必須與原力系靜力等效；二是原力系作用區(qū)域的尺寸遠小于物體的整體尺寸（局部性）。例如，機械零件中螺栓孔或銷釘孔附近的應力集中，若僅關注遠離孔的部位的應力分布，可將孔邊的集中力替換為等效的分布力或合力，簡化計算而不影響整體結果。3.有限元分析中，形函數需要滿足哪些基本條件？形函數（插值函數）需滿足以下條件：（1）完備性條件：形函數應包含常數項和線性項（一次完全多項式），確保單元在剛體位移和常應變狀態(tài)下的解正確；（2）協調性條件：相鄰單元在公共邊界上的位移必須連續(xù)（C0連續(xù)性），避免因位移不連續(xù)導致應力無窮大；（3）規(guī)范性條件：在節(jié)點i處，形函數Ni=1，其他節(jié)點j≠i時Nj=0，保證節(jié)點位移直接由插值函數反映；（4）單元內部形函數應光滑可導，一階導數連續(xù)，以滿足幾何方程對應變計算的要求；（5）對于高階單元（如二次單元），還需滿足更高階的連續(xù)性（如C1連續(xù)），但工程中常用的低階單元（線性三角形、四邊形）一般僅需C0連續(xù)。二、推導題1.推導平面應力問題的幾何方程，并說明其與平面應變問題的差異。平面應力問題假設物體為等厚度薄板，外力平行于板面且沿厚度均勻分布，厚度方向（z向）應力σz=0，應變εz≠0。幾何方程描述應變與位移的關系，對于小變形，應變分量為：εx=?u/?x，εy=?v/?y，γxy=?u/?y+?v/?x其中u、v為x、y方向的位移分量，γxy為工程切應變（等于純切應變的2倍）。平面應變問題假設物體為長柱體，外力沿長度方向（z向）均勻分布，z向位移w=0，應變εz=0，應力σz≠0（由泊松效應引起）。其幾何方程與平面應力問題形式相同，因為應變僅由x、y方向的位移梯度決定，與z向約束無關。兩者的差異體現在本構方程：平面應力問題的彈性矩陣D中，彈性模量E保持不變，泊松比ν替換為ν/(1-ν2)；平面應變問題的彈性矩陣D中，彈性模量替換為E/(1-ν2)，泊松比保持ν不變。2.從虛功原理出發(fā)，推導有限元分析中單元剛度方程的一般形式。虛功原理指出：外力在虛位移上做的虛功等于內力在虛應變上做的虛功。對于單元e，設節(jié)點位移向量為{δ}e，虛位移向量為{δ}e，對應虛應變?yōu)閧ε}e，虛應力為{σ}e（由虛應變通過本構關系得到）。外力虛功包括體積力{f}和表面力{q}的貢獻：W_ext=∫V{δ}e^T{f}dV+∫S{δ}e^T{q}dS內力虛功為：W_int=∫V{ε}e^T{σ}dV由于虛位移與節(jié)點虛位移的關系為{ε}e=[B]{δ}e（[B]為應變矩陣），{σ}=[D]{ε}=[D][B]{δ}e（[D]為彈性矩陣），代入虛功方程得：{δ}e^T(∫V[B]^T[D][B]dV{δ}e∫V[B]^T{f}dV∫S[N]^T{q}dS)=0由于{δ}e任意，故單元剛度方程為：[K]e{δ}e={F}e其中，單元剛度矩陣[K]e=∫V[B]^T[D][B]dV，單元節(jié)點力向量{F}e=∫V[N]^T{f}dV+∫S[N]^T{q}dS（[N]為形函數矩陣，{ε}=[B]{δ}e，{u}=[N]{δ}e）。三、計算題已知一受均勻內壓p的厚壁圓筒，內半徑a=100mm，外半徑b=200mm，材料彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。試求：（1）徑向應力σr和環(huán)向應力σθ的分布；（2）內表面和外表面的環(huán)向應力值；（3）若圓筒改為薄壁（b-a<<a），用薄壁公式計算內表面環(huán)向應力，并與厚壁解對比誤差。（1）厚壁圓筒的應力解屬于軸對稱平面應力問題（假設長度遠大于壁厚，可近似為平面應變，但通常工程中厚壁圓筒按平面應力處理）。根據彈性力學，軸對稱問題的平衡微分方程為：dσr/dr+(σrσθ)/r=0幾何方程：εr=du/dr，εθ=u/r（u為徑向位移）本構方程（平面應力）：εr=(σrνσθ)/Eεθ=(σθνσr)/E聯立方程并利用邊界條件（r=a時σr=-p；r=b時σr=0），解得：σr=p(a2/b21)/(1a2/b2)(b2/r21)？不，正確解應為：σr=pa2(1/b21/r2)/(1/a21/b2)=pa2(b2r2)/(r2(b2a2))σθ=pa2(b2+r2)/(r2(b2a2))（2）內表面（r=a）：σθ(a)=pa2(b2+a2)/(a2(b2a2))=p(b2+a2)/(b2a2)代入a=100mm，b=200mm，p為內壓（假設p=10MPa）：σθ(a)=10(2002+1002)/(20021002)=10(40000+10000)/(4000010000)=1050000/30000≈16.67MPa外表面（r=b）：σθ(b)=pa2(b2+b2)/(b2(b2a2))=pa22b2/(b2(b2a2))=2pa2/(b2a2)=2101002/(20021002)=200000/30000≈6.67MPa（3）薄壁圓筒公式假設壁厚t=b-a<<a，環(huán)向應力σθ≈pa/t（t=b-a=100mm，a=100mm），則σθ≈10100/100=10MPa。與厚壁解內表面的16.67MPa相比，誤差為(10-16.67)/16.67≈-40%，誤差顯著，說明薄壁公式僅適用于t/a≤1/10（一般t/a≤0.1）的情況，本題t/a=100/100=1，不滿足薄壁條件，故厚壁解更準確。四、應用題某機械臂關節(jié)由兩根等截面直桿組成（桿1：長度L1=500mm，截面積A1=200mm2；桿2：長度L2=300mm，截面積A2=150mm2），材料均為Q235鋼（E=206GPa），節(jié)點1固定，節(jié)點2受水平力F=5kN，節(jié)點3受豎直力P=3kN（如圖1所示，圖中節(jié)點1(0,0)，節(jié)點2(500,0)，節(jié)點3(500,300)）。試用有限元法分析：（1）單元劃分與節(jié)點編號；（2）建立各單元剛度矩陣；（3）組裝整體剛度矩陣并考慮邊界條件；（4）求解節(jié)點位移和各桿應力。（1）單元劃分：將結構離散為2個單元，單元1（節(jié)點1-2）為水平桿，單元2（節(jié)點2-3）為豎直桿，節(jié)點編號1(0,0)、2(500,0)、3(500,300)。（2）單元剛度矩陣：單元1（x軸方向，θ=0°）：[K]1=(EA1/L1)[10-10;0000;-1010;0000]代入數值：E=206GPa=2.06×10^5MPa，A1=200mm2，L1=500mm[K]1=(2.06×10^5200/500)剛度矩陣系數=8.24×10^4[10-10;0000;-1010;0000]單元2（y軸方向，θ=90°）：[K]2=(EA2/L2)[0000;010-1;0000;0-101]代入數值：A2=150mm2，L2=300mm[K]2=(2.06×10^5150/300)剛度矩陣系數=1.03×10^5[0000;010-1;0000;0-101]（3）整體剛度矩陣組裝：節(jié)點1自由度(0,0)，節(jié)點2自由度(u2,v2)，節(jié)點3自由度(u3,v3)。整體剛度矩陣K為6×6矩陣（每個節(jié)點2個自由度），根據單元1對應節(jié)點1(1,2)、節(jié)點2(3,4)，單元2對應節(jié)點2(3,4)、節(jié)點3(5,6)，組裝后：K[1,1]=8.24e4（x向），K[1,3]=-8.24e4（單元1節(jié)點1x對節(jié)點2x），其他K[1,j]=0（節(jié)點1y無約束）；K[3,3]=8.24e4（單元1節(jié)點2x）+0（單元2節(jié)點2x）=8.24e4；K[4,4]=0（單元1節(jié)點2y）+1.03e5（單元2節(jié)點2y）=1.03e5；K[4,6]=-1.03e5（單元2節(jié)點2y對節(jié)點3y）；K[6,6]=1.03e5（單元2節(jié)點3y）；其余非對角線項根據單元剛度矩陣填充。邊界條件：節(jié)點1固定，u1=0，v1=0，故劃去K的第1、2行和列，得到縮減剛度矩陣：[K']=[[8.24e4,0,0],[0,1.03e5,-1.03e5],[0,-1.03e5,1.03e5]]載荷向量：節(jié)點2受水平力F=5kN=5000N（x向），節(jié)點3受豎直力P=3kN=3000N（y向），故{F'}=[5000,0,3000]^T（注意節(jié)點2y向無載荷，節(jié)點3x向無載荷）。（4）求解節(jié)點位移：由[K']{δ}={F'}，得：8.24e4u2=5000→u2=5000/8.24e4≈0.0607mm（x向）1.03e5v21.03e5v3=0→v2=v3-1.03e5v2+1.03e5v3=3000→0=3000（矛盾，說明載荷向量錯誤，節(jié)點3的豎直力應為y向，故{F'}應為[5000,0,3000]^T中節(jié)點3的y向載荷為3000N，正確方程應為：對于節(jié)點2的y向（自由度4）：0u2+1.03e5v21.03e5v3=0對于節(jié)點3的y向（自由度6）：0u21.03e5v2+1.03e5v3=3000顯然方程組無解，說明單元2的局部坐標系轉換錯誤。正確做法是，單元2的局部坐標系為y軸，其全局剛度矩陣應通過坐標變換得到。單元2的方向余弦為l=0（x向），m=1（y向），故其剛度矩陣為：[K]2=(EA2/L2)[[l2,lm,-l2,-lm],[lm,m2,-lm,-m2],[-l2,-lm,l2,lm],[-lm,-m2,lm,m2]]代入l=0，m=1，得：[K]2=(1.03e5)[[0,0,0,0],[0,1,0,-1],[0,0,0,0],[0,-1,0,1]]此時整體剛度矩陣中，節(jié)點2的y向（自由度4）和節(jié)點3的y向（自由度6）的剛度系數正確。載荷向量應為節(jié)點2的x向5000N（自由度3），節(jié)點3的y向3000N（自由度6），故{F'}=[5000,0,3000]^T對應自由度3、4、6。重新建立方程：對于自由度3（節(jié)點2x）：8.24e4u2=5000→u2=0.0607mm對于自由度4（節(jié)點2y）：1.03e5v21.03e5v3=0→v2=v3對于自由度6（節(jié)點3y）：-1.03e5v2+1.03e5v3=3000→0=3000，仍矛盾，說明載荷施加位置錯誤。實際節(jié)點3的豎直力應作用于自由度6（y向），而節(jié)點2的y向無載荷，故正確的載荷向量應為{F}=[0（節(jié)點1x）,0（節(jié)點1y）,5000（節(jié)點2x）,0（節(jié)點2y）,0（節(jié)點3x）,3000（節(jié)點3y）]^T。考慮節(jié)點1固定（u1=v1=0），縮減后的方程為：[K']{u2,v2,u3,v3}={5000,0,0,3000}^T其中，單元1的剛度影響節(jié)點2x（u2）和節(jié)點1x（固定），單元2的剛度影響節(jié)點2y（v2）、節(jié)點3y（v3）。由于單元1為水平桿，不影響y向位移，單元2為豎直桿，不影響x向位移，故u3=u2（節(jié)點3與節(jié)點2在x向無相對位移），v1=0，v2為節(jié)點2的y向位移，v3為節(jié)點3的y向位移。修正后，單元1的應變ε1=(u2u1)/L1=u2/500mm，應力σ1=Eε1=2.