第1頁（共1頁）2023-2024學年廣東省廣州市天河區(qū)九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）志愿服務，傳遞愛心，傳遞文明，下列志愿服務標志為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件為隨機事件的是（）A．負數大于正數 B．三角形內角和等于180° C．明天太陽從東方升起 D．購買一張彩票，中獎3．（3分）已知⊙O的半徑為3，點P到圓心O的距離為4，則點P與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙O外 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O內 D．無法確定4．（3分）已知點A（m，2）與點B（﹣6，n）關于原點對稱，則m的值為（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣25．（3分）關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＞﹣16．（3分）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓 B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．垂直于弦且過圓心的直線平分這條弦7．（3分）如圖，△ABC內接于⊙O，∠A＝74°，則∠OBC等于（）A．17° B．16° C．15° D．14°8．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，則m2+mn+2m的值為（）A．﹣10 B．10 C．3 D．09．（3分）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c的圖象，則不等式ax2+bx+c＜3的解集是（）A．x＜0 B．x＜﹣1或x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞210．（3分）已知點P（m，n），Q（3，0）都在一次函數y＝kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖象上，（）A．若mn有最大值4，則k的值為﹣9 B．若mn有最小值4，則k的值為﹣9 C．若mn有最大值﹣9，則k的值為4 D．若mn有最小值﹣9，則k的值為4二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）把二次函數y＝3x2+5的圖象向上平移4個單位，則得到的拋物線解析式為．12．（3分）如果圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么它的側面積cm2．13．（3分）某班的一個數學興趣小組為了考查某條斑馬線前駕駛員禮讓行人的情況，每天利用放學時間進行調查，下表是該小組一個月內累計調查的結果，由此結果可估計駕駛員在這條斑馬線前能主動給行人讓路的概率約是（結果保留小數點后一位）．排查車輛數n20401002004001000能禮讓的車輛數m153282158324800能禮讓的頻率m0.750.800.820.790.810.8014．（3分）如圖，正方形ABCD的外接圓的半徑為4，則它的內切圓的半徑為．15．（3分）已知點（1，m），（2，n）在二次函數y＝ax2+2ax+3（a為常數）的圖象上．若a＜0，則mn．（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．（3分）如圖三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，以BC為邊向三角形外作等邊三角形BCD，連AD，則當∠BAC＝度時，AD有最大值．三、解答題（本大題共9題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（4分）解方程：x2﹣4x+4＝0．18．（4分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，點B，C的對應點分別為D，E，且點E在直線BC上，請利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：（1）確定點E的位置；（2）確定點D的位置．19．（6分）如圖是拋物線y＝﹣2x2+bx+c的圖象．（1）當x取何值時，y的值隨著x的增大而增大？（2）求拋物線與y軸的交點坐標．20．（6分）人工智能是數字經濟高質量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產業(yè)變革的重要驅動．中國人工智能行業(yè)可按照應用領域分為四大類別：決策類人工智能，人工智能機器人，語音及語義人工智能，視覺類人工智能，將四個類型的圖標依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．（1）隨機抽取一張，抽到決策類人工智能的卡片的概率為；（2）從中隨機抽取一張，記錄卡片的內容后不放回洗勻，再隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽取到的兩張卡片中不含D卡片的概率．21．（8分）人們根據實際需要，發(fā)明了“三分角器”，如圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半圓的半徑相等；DB與AC垂直于點B，DB足夠長．使用方法如圖2所示，要將∠MEN三等分，只需適當放置三分角器，使DB經過∠MEN的頂點E，點A落在邊EM上，半圓與另一邊EN恰好相切時，切點為F，則有∠1＝∠2＝∠3．若∠MEN＝90°，半圓O的半徑為2，EO與半圓交于點T，求TFC的長．22．（10分）黨的“二十大”期間，某網店直接從工廠以35元/件的進價購進一批紀念“二十大”的鑰匙扣，售價為60元/件時，第一天銷售了25件．該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，第三天的銷售量達到了36件．（1）求每天銷售量的平均增長率；（2）“二十大”臨近結束時，鑰匙扣還有大量剩余，為了盡快減少庫存，網店打算將鑰匙扣降價銷售．經調查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，在第三天的銷售量基礎上每天可多售2件，將鑰匙扣的銷售價定為每件多少元時，每天可獲得最大利潤？最在利潤是多少元？23．（10分）已知一直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．（1）如圖1，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；（2）如圖2，當直線l與⊙O相交于點E，F(xiàn)時，若∠DAE＝x°（0＜x＜30），∠BOF＝y(tǒng)°，求y關于x的函數解析式．24．（12分）已知：△ABC中，AB＝BC＝6，⊙O是△ABC的外接圓．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，求證：AC=（2）如圖2，若∠ABC＝60°，D為在AB上一動點，過點B作直線AD的垂線，垂足為E．求證：CD＝DE+AE；（3）如圖3，若∠ABC＝120°，過點B作BF⊥BC交AC于點F．點Q是線段AB上一動點（不與A，B重合），連接FQ，求BQ+2FQ的最小值．25．（12分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）與x軸交于坐標原點O和點A．（1）已知該拋物線的頂點P的縱坐標與點A的橫坐標相同，設過點A的直線y＝mx﹣6與拋物線的另一個交點為B．求點P和點B的坐標；（2）將線段OA繞點O逆時針旋轉45°得到線段OC，若該拋物線與線段OC只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍；（3）若直線y＝kx﹣6（k≠3）與該拋物線交于M，N兩點（點M在點N左側），連接AM，AN．設直線AM為y1＝k1x+m1，直線AN為y2＝k2x+m2；令t＝k1?k2，求t與a的函數關系式．

2023-2024學年廣東省廣州市天河區(qū)九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）志愿服務，傳遞愛心，傳遞文明，下列志愿服務標志為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項A、C、D的圖形都不能找到某一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；選項B的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；故選：B．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．2．（3分）下列事件為隨機事件的是（）A．負數大于正數 B．三角形內角和等于180° C．明天太陽從東方升起 D．購買一張彩票，中獎【分析】根據已知條件，結合必然事件、隨機事件、隨機事件的定義即可求解．【解答】解：A．負數大于正數是不可能事件，不符合題意；B．三角形內角和等于180°是必然事件，不符合題意；C．明天太陽從東方升起是必然事件，不符合題意；D．購買一張彩票，中獎是隨機事件，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查必然事件、隨機事件、隨機事件的定義，屬于基礎題，理解相關概念是關鍵．3．（3分）已知⊙O的半徑為3，點P到圓心O的距離為4，則點P與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙O外 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O內 D．無法確定【分析】根據點與圓心的距離與半徑的大小關系即可確定點P與⊙O的位置關系．【解答】解：∵⊙O的半徑分別是3，點P到圓心O的距離為4，∴d＞r，∴點P與⊙O的位置關系是：點在圓外．故選：A．【點評】本題考查了點與圓的位置關系．注意若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．4．（3分）已知點A（m，2）與點B（﹣6，n）關于原點對稱，則m的值為（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2【分析】直接利用兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出m的值．【解答】解：∵點A（m，2）與點B（﹣6，n）關于原點對稱，∴m＝6．故選：A．【點評】本題考查關于原點對稱的點的坐標，熟知關于原點對稱的點的坐標變換規(guī)律是解答的關鍵．5．（3分）關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＞﹣1【分析】利用根的判別式進行計算，令Δ＞0即可得到關于k的不等式，解答即可．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＞0，即4﹣4k＞0，k＜1．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數根；（3）Δ＜0?方程沒有實數根．6．（3分）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓 B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．垂直于弦且過圓心的直線平分這條弦【分析】根據不在同一條直線上的三個點確定一個圓，如果三個點在同一條直線上，則沒有同時過這三個點的圓，可以判斷A；根據三角形的內心到三角形三邊的矩離相等，三角形的外心到三角形各個頂點的距離相等，可以判斷B；根據平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，可以判斷C；根據垂徑定理可以判斷D．【解答】解：不在同一條直線上的三個點確定一個圓，如果三個點在同一條直線上，則沒有同時過這三個點的圓，故選項A錯誤，不符合題意；三角形的內心到三角形三邊的矩離相等，三角形的外心到三角形各個頂點的距離相等，故選項B錯誤，不符合題意；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項C錯誤，不符合題意；垂直于弦且過圓心的直線平分這條弦，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查三角形的內心和外心、垂徑定理、確定圓的條件，解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷各個選項中的結論是否正確．7．（3分）如圖，△ABC內接于⊙O，∠A＝74°，則∠OBC等于（）A．17° B．16° C．15° D．14°【分析】連接OC，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半和三角形內角和定理即可求出結果．【解答】解：如圖，連接OC，∵∠A＝74°，∴∠BOC＝2∠A＝148°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=1故選：B．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關鍵是掌握一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．8．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，則m2+mn+2m的值為（）A．﹣10 B．10 C．3 D．0【分析】先根據一元二次方程根的定義得到m2＝5﹣2m，則m2+mn+2m可化為5+mn，再根據根與系數的關系得到mn＝﹣5，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，∴m2+2m﹣5＝0，即m2＝5﹣2m，∴m2+mn+2m＝5﹣2m+mn+2m＝5+mn，∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，∴mn＝﹣5，∴m2+mn+2m＝5﹣5＝0．故選：D．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x29．（3分）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c的圖象，則不等式ax2+bx+c＜3的解集是（）A．x＜0 B．x＜﹣1或x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞2【分析】由圖可知，拋物線和y軸的交點為（0，3），對稱軸為直線x＝1，故當x2或x＝2時，y＝3，據此可得出結論．【解答】解：由拋物線和y軸的交點為（0，3），對稱軸為直線x＝1，故當x＝0或x＝2時，y＝3，故不等式ax2+bx+c＜3的解集為：x＜0或x＞2．故選：D．【點評】本題考查了二次函數與不等式，解答此題的關鍵是根據二次函數的對稱軸與對稱性，找出拋物線y＝ax2+bx+c和橫軸交點的坐標．10．（3分）已知點P（m，n），Q（3，0）都在一次函數y＝kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖象上，（）A．若mn有最大值4，則k的值為﹣9 B．若mn有最小值4，則k的值為﹣9 C．若mn有最大值﹣9，則k的值為4 D．若mn有最小值﹣9，則k的值為4【分析】由題意得到mn＝m（km﹣3k）＝k（m2﹣3m）＝k(m-32)2-94k，當k＞0mn有最小值，求出k【解答】解：∵點P（m，n），Q（3，0）都在一次函數y＝kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖象上，∴km+b＝n，3k+b＝0，∴b＝﹣3k，∴n＝km+b＝km﹣3k，∴mn＝m（km﹣3k）＝k（m2﹣3m）＝k(m-32當k＜0時，mn有最大值-94若mn有最大值4，-94k＝4，則k=-16若mn有最大值﹣9，-94k＝﹣9，則k＝4，此時k＞0，故當k＞0時，mn有最小值-94若mn有最小值4，-94k＝4，則k=-16若mn有最小值﹣9，-94k＝﹣9，則k＝4，故故選：D．【點評】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，關鍵是掌握一次函數，二次函數的性質．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）把二次函數y＝3x2+5的圖象向上平移4個單位，則得到的拋物線解析式為y＝3x2+9．【分析】根據“上加下減”的原則進行解答即可．【解答】解：把二次函數y＝3x2+5的圖象向上平移4個單位，則得到的拋物線解析式為：y＝3x2+5+4，即y＝3x2+9．故答案為：y＝3x2+9．【點評】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關鍵．12．（3分）如果圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么它的側面積20πcm2．【分析】圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2．【解答】解：底面圓的半徑為4cm，則底面周長＝8πcm，側面面積=12×8π×5＝20π【點評】本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．13．（3分）某班的一個數學興趣小組為了考查某條斑馬線前駕駛員禮讓行人的情況，每天利用放學時間進行調查，下表是該小組一個月內累計調查的結果，由此結果可估計駕駛員在這條斑馬線前能主動給行人讓路的概率約是0.8（結果保留小數點后一位）．排查車輛數n20401002004001000能禮讓的車輛數m153282158324800能禮讓的頻率m0.750.800.820.790.810.80【分析】根據題意得：能主動給行人讓路的頻率穩(wěn)定在0.80的附近，再由頻率估計概率，即可求解．【解答】解：根據題意得：能主動給行人讓路的頻率穩(wěn)定在0.80的附近，∴能主動給行人讓路的概率約是0.8．故答案為：0.8．【點評】本題考查了利用頻率估計概率，解答本題的關鍵在于掌握：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．14．（3分）如圖，正方形ABCD的外接圓的半徑為4，則它的內切圓的半徑為22．【分析】由正方形的性質判斷出△AOE為等腰直角三角形，然后再用勾股定理即可求得答案．【解答】解：∵正方形ABCD的外接圓的半徑為4，∴OA＝4，∵AB是小圓的切線，∴OE⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，∴在Rt△AOE中根據勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，∴2OE2＝42，解得OE＝22（負值舍去），故答案為：22．【點評】本題考查了正方形和圓、勾股定理、正方形的性質等知識，根據題意畫出圖形并利用勾股定理是解答本題的關鍵，屬于中考?？碱}型．15．（3分）已知點（1，m），（2，n）在二次函數y＝ax2+2ax+3（a為常數）的圖象上．若a＜0，則m＞n．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】二次函數的性質即可判定．【解答】解：∵二次函數的解析式為y＝ax2+2ax+3，∴該拋物線對稱軸為x=-2a∴a＜0．∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小，∵1＜2，∴m＞n，故答案為：＞．【點評】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點的理解和掌握，能求出對稱軸和根據二次函數的性質求出正確答案是解此題的關鍵．16．（3分）如圖三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，以BC為邊向三角形外作等邊三角形BCD，連AD，則當∠BAC＝120度時，AD有最大值7．【分析】如圖，在直線AC的上方作等邊三角形△OAC，連接OD．只要證明△ACB≌△OCD，推出OD＝AB＝3，推出點D的運動軌跡是以O為圓心OD長為半徑的圓，推出當D、O、A共線時，AD的值最大；【解答】解：如圖，在直線AC的上方作等邊三角形△OAC，連接OD．∵△BCD，△AOC都是等邊三角形，∴CA＝CO，CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，∴∠ACB＝∠OCD，在△ACB和∠OCD中，AC=OC∠ACB=∠OCD∴△ACB≌△OCD，∴OD＝AB＝3，∴點D的運動軌跡是以O為圓心OD長為半徑的圓，∴當D、O、A共線時，AD的值最大，最大值為OA+OD＝4+3＝7．∵△ACB≌△OCD，∴∠CAB＝∠DOC，∵當D、O、A共線時，∠DOC＝180°﹣60°＝120°，∴當∠BAC＝120度時，AD有最大值為7．故答案為120，7．【點評】本題考查旋轉變換、軌跡、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．三、解答題（本大題共9題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（4分）解方程：x2﹣4x+4＝0．【分析】將方程左邊利用完全平方公式分解因式，繼而可得關于x的一元一次方程，即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣4x+4＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x﹣2＝0，解得x1＝x2＝2．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法．18．（4分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，點B，C的對應點分別為D，E，且點E在直線BC上，請利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：（1）確定點E的位置；（2）確定點D的位置．【分析】（1）根據旋轉的性質，延長BC，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，與射線BC的交點即為點E．（2）以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧，再以點E為圓心，BC的長為半徑畫弧，與前弧在直線BC下方的交點即為點D．【解答】解：（1）如圖，延長BC，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交射線BC于點E，則點E即為所求．（2）如圖，以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧，再以點E為圓心，BC的長為半徑畫弧，與前弧在直線BC下方交于點D，則點D即為所求．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，熟練掌握旋轉的性質是解答本題的關鍵．19．（6分）如圖是拋物線y＝﹣2x2+bx+c的圖象．（1）當x取何值時，y的值隨著x的增大而增大？（2）求拋物線與y軸的交點坐標．【分析】（1）根據圖象求解即可；（2）由圖象可知拋物線的頂點為（2，2），即可得到y(tǒng)＝﹣2（x﹣2）2+2，令x＝0，求得y的值，從而求得拋物線與y軸的交點坐標．【解答】解：（1）由圖象可知，當x＜2時，y的值隨著x的增大而增大；（2）由圖象可知拋物線的頂點為（2，2），∴拋物線y＝﹣2x2+bx+c的解析式為y＝﹣2（x﹣2）2+2，即y＝﹣2x2+8x﹣6，令x＝0，則y＝﹣6，∴拋物線與y軸的交點坐標是（0，﹣6）．【點評】本題考查了二次函數的圖象和性質，二次函數圖象上點的坐標特征，數形結合是解題的關鍵．20．（6分）人工智能是數字經濟高質量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產業(yè)變革的重要驅動．中國人工智能行業(yè)可按照應用領域分為四大類別：決策類人工智能，人工智能機器人，語音及語義人工智能，視覺類人工智能，將四個類型的圖標依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．（1）隨機抽取一張，抽到決策類人工智能的卡片的概率為14（2）從中隨機抽取一張，記錄卡片的內容后不放回洗勻，再隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽取到的兩張卡片中不含D卡片的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及抽取到的兩張卡片中不含D卡片的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，隨機抽取一張，抽到決策類人工智能的卡片的概率為14故答案為：14（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中抽取到的兩張卡片中不含D卡片的結果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6種，∴抽取到的兩張卡片中不含D卡片的概率為612【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．21．（8分）人們根據實際需要，發(fā)明了“三分角器”，如圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半圓的半徑相等；DB與AC垂直于點B，DB足夠長．使用方法如圖2所示，要將∠MEN三等分，只需適當放置三分角器，使DB經過∠MEN的頂點E，點A落在邊EM上，半圓與另一邊EN恰好相切時，切點為F，則有∠1＝∠2＝∠3．若∠MEN＝90°，半圓O的半徑為2，EO與半圓交于點T，求TFC的長．【分析】由線段的垂直平分線的性質得AE＝OE，所以∠1＝∠2，再證明EB與⊙O相切，由切線長定理得∠2＝∠3，所以∠1＝∠2＝∠3，而∠MEN＝90°，半圓O的半徑為2，可求得∠2=13∠MEN＝30°，則∠COT＝∠2+∠OBE＝120°，即可根據弧長公式求得【解答】解：∵DB⊥AO，AB＝OB，∴DB垂直平分AO，∴AE＝OE，∴∠1＝∠2，∵EB⊥OB，且OB是⊙O的半徑，∴EB與⊙O相切，∵EN與⊙O相切于點F，∴EO平分∠BON，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠MEN＝90°，∴∠2=13∠∵∠OBE＝90°，∴∠COT＝∠2+∠OBE＝120°，∴l(xiāng)TFC∴TFC的長為4π3【點評】此題重點考查線段的垂直平分線的性質、切線的性質、切線長定理、弧長公式等知識，證明AE＝OE并且正確地求出∠2的度數是解題的關鍵．22．（10分）黨的“二十大”期間，某網店直接從工廠以35元/件的進價購進一批紀念“二十大”的鑰匙扣，售價為60元/件時，第一天銷售了25件．該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，第三天的銷售量達到了36件．（1）求每天銷售量的平均增長率；（2）“二十大”臨近結束時，鑰匙扣還有大量剩余，為了盡快減少庫存，網店打算將鑰匙扣降價銷售．經調查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，在第三天的銷售量基礎上每天可多售2件，將鑰匙扣的銷售價定為每件多少元時，每天可獲得最大利潤？最在利潤是多少元？【分析】（1）設平均增長率為x，根據增長率問題列方程解應用題；（2）鑰匙扣每件降價y元銷售，利潤為W元，列出二次函數求最值解題．【解答】解：（1）每天銷售量的平均增長率為x，根據題意得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），∴每天銷售量的平均增長率為20%；（2）設將鑰匙扣每件降價y元銷售，利潤為W元，∴?W＝（60﹣35﹣y）（36+2y）＝﹣2y2+14y+900＝﹣2（y﹣3.5）2+924.5，∵α＝﹣2＜0，∴當y＝3.5時，W最大＝924.5，∴將鑰匙扣的銷售價定為每件56.5元時，每天可獲得最大利潤，最在利潤是924.5元．【點評】本題考查一元二次方程的應用，二次函數的實際問題，分析題意列出等量關系是解題的關鍵．23．（10分）已知一直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．（1）如圖1，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；（2）如圖2，當直線l與⊙O相交于點E，F(xiàn)時，若∠DAE＝x°（0＜x＜30），∠BOF＝y(tǒng)°，求y關于x的函數解析式．【分析】（1）連接OC，易得OC∥AD，根據平行線的性質就可以得到∠DAC＝∠ACO，再根據OA＝OC得到∠ACO＝∠CAO，就可以證出結論；（2）如圖②，連接BF，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠AFB＝90°，由三角形外角的性質，可求得∠AEF的度數，又由圓的內接四邊形的性質，繼而證得結論．【解答】解：（1）連接OC，∵直線l與⊙O相切于點C，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO；又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如圖②，連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠B，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE，在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內接四邊形，∴∠AEF+∠B＝180°，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠BOF＝2∠BAF，∠DAE＝x°（0＜x＜30），∠BOF＝y(tǒng)°，∴y＝2x．【點評】此題考查了切線的性質、圓周角定理以及圓的內接四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．24．（12分）已知：△ABC中，AB＝BC＝6，⊙O是△ABC的外接圓．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，求證：AC=（2）如圖2，若∠ABC＝60°，D為在AB上一動點，過點B作直線AD的垂線，垂足為E．求證：CD＝DE+AE；（3）如圖3，若∠ABC＝120°，過點B作BF⊥BC交AC于點F．點Q是線段AB上一動點（不與A，B重合），連接FQ，求BQ+2FQ的最小值．【分析】（1）利用等邊三角形的判定定理和性質定理，等弦對等弧的性質解答即可；（2）過點B作BF⊥CD于點F，連接BD，利用等邊三角形的判定與性質得到AC＝AB＝BC，利用圓周角定理得到∠DAB＝∠DCB，再利用全等三角形的判定與性質解答即可得出結論；（3）作∠MBA＝∠FBA＝30°，過點Q作QH⊥MB于點H，過點F作FD⊥BM于點D，交AB于點E，由胡不歸模型可知：當點Q與點E重合時，2FQ+BQ取得最小值為2FD，利用直角三角形的邊角關系定理和含30角的直角三角形的性質解答即可．【解答】（1）證明：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝AB，∴AC=（2）證明：過點B作BF⊥CD于點F，連接BD，如圖，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝AB＝BC，∵BF⊥CD，BE⊥AE，∴∠E＝∠BFC＝90°，∵BD=∴∠DAB＝∠DCB．在△AEB和△CFB中，∠E=∠BFC∠DAB=∠DCB∴△AEB≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，BE＝BF．在Rt△EBD和Rt△BFD中，BD=BDBE=BF∴Rt△EBD≌Rt△BFD（HL），∴DE＝DF，∵CD＝CF+FD，∴CD＝DE+AE；（3）解：∵BF⊥BC，∴∠FBC＝90°，∵∠ABC＝120°，∴∠ABF＝30°．∵AB＝AC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴FB＝BC?tanC＝6×33=作∠MBA＝∠FBA＝30°，過點Q作QH⊥MB于點H，過點F作FD⊥BM于點D，交AB于點E，如圖，∵∠MBA＝30°，QH⊥MB，∴QH=12由題意：FQ+QH≥FD，∴FQ+QH＝FQ+12BQ=12（2FQ+∴2FQ+BQ≥2FD．∴當點Q與點E重合時，2FQ+BQ取得最小值為2FD．∵∠FBD＝2∠FBA＝60°，F(xiàn)D⊥BM