不動點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用案例1證明數(shù)學(xué)分析中存在性定理定理[9]設(shè)是完備的度量空間，是上的一個可微函數(shù)，且滿足條件:，，則在上有唯一的不動點(diǎn).證明，所以，映射是壓縮映射，根據(jù)巴拿赫不動點(diǎn)定理可得，在完備度量空間上，存在唯一的不動點(diǎn).2證明隱函數(shù)存在定理定理[4]設(shè)函數(shù)在帶狀域中每一處都連續(xù)，且處處都有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù).若還存在兩個常數(shù)和，滿足條件：.那么，方程在閉區(qū)間上必然有唯一的連續(xù)函數(shù)作為它的解：證明在完備的空間中，作映射，使得對于任意的函數(shù)，有.根據(jù)定理的條件知，函數(shù)是連續(xù)的，則也是連續(xù)的，即.所以，是到自身的映射.下證是一個壓縮映射.任意選取，由微分中值定理知，存在，滿足：.因?yàn)?，所以不妨令，則有，并且.根據(jù)中關(guān)于距離的定義，可知.所以，是壓縮映射.根據(jù)巴拿赫不動點(diǎn)定理知，存在唯一滿足，即.也就是說，,,得證.3證明區(qū)間套定理區(qū)間套定理[10]：如果閉區(qū)間列滿足下列條件：，則存在唯一，使得，證明根據(jù)條件，不妨設(shè)閉區(qū)間列中的任意兩個區(qū)間都不完全重合，且閉區(qū)間顯然依距離構(gòu)成完備的度量空間.構(gòu)造映射則對任意，都有，于是是到自身的映射.對任意的，有，令，因?yàn)?，于是，從而得到，且，所?因此，是到自身的映射.由巴拿赫不動點(diǎn)定理可知，在上存在唯一的不動點(diǎn)，即存在，使得，又，所以存在，假設(shè)還存在另外一個，有則有，所以因此，定理得證.4數(shù)列極限問題中的應(yīng)用完備的度量空間中的映射一定含有不動點(diǎn)，巴拿赫不動點(diǎn)定理提供了一個求不動點(diǎn)的方法，即利用迭代法逐次逼近。設(shè)是一個完備的的度量空間，任意取點(diǎn)，作點(diǎn)列，它一定無限趨近于方程的解。所以，在求解數(shù)列極限問題時，可以通過壓縮映射構(gòu)造一個數(shù)列，該數(shù)列必收斂于不動點(diǎn).如此，就將數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化成了方程求解問題，即求不動點(diǎn).例[11]證明數(shù)列收斂，并求極限.證明考察函數(shù)，選閉區(qū)間，則，并且，只需選取壓縮