四旋翼飛行器案例模型簡(jiǎn)化和控制器結(jié)構(gòu)分析案例四旋翼飛行器的機(jī)體角速度和歐拉角的導(dǎo)數(shù)之間有如下關(guān)系：(3-33)當(dāng)俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角γ角度不大時(shí)，正弦和正切值趨近于0，而余弦值趨近于1，則此時(shí)式(2-53)可簡(jiǎn)化為如下形式：(3-34)將關(guān)系式(3-34)代入到2.4節(jié)中推導(dǎo)出的系統(tǒng)模型(2-20)中，并忽略系統(tǒng)不確定性以及外界干擾，就得到系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如下：(3-35)四旋翼飛行器屬于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其具有4個(gè)獨(dú)立的輸入，但共有6個(gè)自由度，即3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度和3個(gè)平動(dòng)自由度。欠驅(qū)動(dòng)的特性決定了四旋翼的6個(gè)自由度并完全可控，事實(shí)上，我們可以控制姿態(tài)角和高度，而無法獨(dú)立控制水平移動(dòng)?；谝陨峡紤]，系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)的一種劃分方式為四通道控制，具體表現(xiàn)形式為：(3-36)(3-37)(3-38)(3-39)但對(duì)于采用反步法控制器的四旋翼飛行器控制系統(tǒng)，四通道結(jié)構(gòu)形式并不合適，原因如下：對(duì)(3-35)中的前三個(gè)方程，即簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)平動(dòng)模型進(jìn)行整理，可得到如下約束關(guān)系：(3-40)觀察前文中反步法的推導(dǎo)過程，可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：反步控制器表達(dá)式的復(fù)雜程度，以及信號(hào)的微分次數(shù)均與系統(tǒng)的階數(shù)成正相關(guān)，也就是微分爆炸現(xiàn)象，顯然在反步控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，我們需要避免高階系統(tǒng)，以避免設(shè)計(jì)控制器時(shí)多次求解微分。將式(3-40)代入(3-36)和(3-37)可以發(fā)現(xiàn)，四通道結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了四階系統(tǒng)，需要進(jìn)行四階求導(dǎo)運(yùn)算，這是我們不希望的。從四旋翼飛行器模型(3-35)中可以看出系統(tǒng)的耦合特性：系統(tǒng)前三個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，即姿態(tài)動(dòng)力學(xué)部分是獨(dú)立的，而后三個(gè)平動(dòng)方程卻包含姿態(tài)角。舉例說明，欲使機(jī)體沿x軸正向移動(dòng)，就需要沿x軸正向的分力，這要求我們先獲得一個(gè)負(fù)的俯仰角θ以使旋翼升力產(chǎn)生分量?？紤]到姿態(tài)相對(duì)位置的獨(dú)立性，基于雙回路結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)系統(tǒng)是較好的選擇，將姿態(tài)設(shè)計(jì)為內(nèi)回路，位置設(shè)計(jì)為外回路?？刂葡到y(tǒng)的雙回路結(jié)構(gòu)示意圖如圖3-1所示。其中位置控制器的輸入信號(hào)為三個(gè)方向的速度與加速度，輸出信號(hào)為四個(gè)旋翼總的升力fr在地面坐標(biāo)系中三個(gè)軸上的投影fre=(frx，fry，frz)T，以及完成平動(dòng)任務(wù)所期望的俯仰信息與滾轉(zhuǎn)信息。偏航、俯仰和滾轉(zhuǎn)三個(gè)通道的角度信號(hào)和角速度信號(hào)則作為姿態(tài)控制器的輸入，其輸出信號(hào)為四個(gè)旋翼總力矩在機(jī)體坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影τrb=(τrx，τry，τrz)T。模型接受控制器輸出、外界干擾和由安裝誤差導(dǎo)致的不確定性的共同作用，輸出位置和姿態(tài)的信息，并分別將位置信息和姿態(tài)信息反饋給對(duì)應(yīng)的控制器。指令信號(hào)指令信號(hào)位置控制器姿態(tài)控制器四旋翼模型圖3-1控制系統(tǒng)雙回路結(jié)構(gòu)示意圖總之，采用雙回路控制結(jié)構(gòu)為四旋翼飛行器的控制帶來諸多便利：首先，該結(jié)構(gòu)更適合反步法，因?yàn)榭捎?個(gè)二階的子系統(tǒng)近似原系統(tǒng)；其次，系統(tǒng)的姿態(tài)部分完全可控，而位置的改變需要依賴相應(yīng)的姿態(tài)角，更符合實(shí)際情形。最后，當(dāng)內(nèi)回路帶寬遠(yuǎn)大于外回路時(shí)，可以單獨(dú)考慮、設(shè)計(jì)每個(gè)回路。結(jié)合多方面考慮，最終設(shè)計(jì)的反步控制器將以雙回路控制結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)。1.4四旋翼反步控制器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)控制器的過程中，忽略環(huán)境干擾和不確定性因素，并假設(shè)俯仰角和滾轉(zhuǎn)角均為小角度。針對(duì)簡(jiǎn)化模型(3-35)，定義如下虛擬量：(3-41)將式(3-41)代入到式(3-35)中，整理得到以下模型：(3-42)對(duì)于姿態(tài)部分，在小角度假設(shè)前提下，可認(rèn)為上面的6個(gè)子系統(tǒng)均具有嚴(yán)格反饋形式。首先考慮(3-42)中的三個(gè)平動(dòng)方程，按照反步法設(shè)計(jì)旋翼升力為：(3-43)同時(shí)得到兩個(gè)定義的虛擬控制量：(3-44)上面兩個(gè)表達(dá)式中，誤差變量表達(dá)式如下：(3-45)根據(jù)式(3-44)，整理得到俯仰通道和滾轉(zhuǎn)通道的期望指令信號(hào)：(3-46)反步控制系統(tǒng)工作時(shí)，要對(duì)俯仰角和滾轉(zhuǎn)角的范圍加以限制，避免出現(xiàn)安全問題，對(duì)俯仰角和滾轉(zhuǎn)角給出如下約束條件：(3-47)其中γmax和θmax是兩個(gè)均在(0,π/2)內(nèi)取值的給定值。結(jié)合式(3-46)和(3-47)，對(duì)俯仰、滾轉(zhuǎn)兩個(gè)通道，給出包含約束條件的指令信號(hào)如下：(3-48)式(3-43)和式(3-48)共同構(gòu)成四旋翼飛行器的位置控制器。對(duì)(3-42)中的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用反步法，設(shè)計(jì)三個(gè)方向的姿態(tài)控制器，最終得到的表達(dá)式為：(3-49)式中轉(zhuǎn)動(dòng)部分誤差變量分別為：(3-50)其中，θd和γd由前面設(shè)計(jì)出的位置控制器輸出來確定。值得注意的是，上述反步控制器的設(shè)計(jì)求解過程，僅是在適當(dāng)簡(jiǎn)化下對(duì)6個(gè)二階子系統(tǒng)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，嚴(yán)格地講，應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)化后的整體系統(tǒng)重新進(jìn)行穩(wěn)定性證明。令：取Lyapunov函數(shù)：(3-51)對(duì)V求導(dǎo)有：(3-52)控制器如下所示：(3-53)將模型和控制器代入式中，整理得到如下結(jié)果：(3-54)其中：(3-55)系統(tǒng)姿態(tài)方程獨(dú)立于位置方程且完全可控，θ和γ可通過調(diào)節(jié)姿態(tài)控制器參數(shù)而快速收斂，則式(3-55)中的兩個(gè)值