角平分線專題教學設計及課堂練習一、教學設計（一）教學目標1.知識與技能：理解角平分線的定義、性質(zhì)定理及判定定理，能熟練運用定理解決線段相等、角相等的證明與計算問題；掌握角平分線相關輔助線的常規(guī)作法。2.過程與方法：通過折紙操作、測量驗證、邏輯推理等活動，經(jīng)歷角平分線性質(zhì)與判定的探究過程，培養(yǎng)幾何直觀與邏輯推理能力；體會“猜想—驗證—證明”的數(shù)學研究范式。3.情感態(tài)度與價值觀：在探究中感受數(shù)學的嚴謹性與實用性，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，激發(fā)幾何學習的興趣。（二）教學重難點重點：角平分線性質(zhì)定理與判定定理的理解及應用；規(guī)范書寫幾何證明過程。難點：性質(zhì)與判定的綜合應用；根據(jù)題意合理添加輔助線（如過角平分線上的點作角兩邊的垂線）。（三）教學過程1.情境導入，激發(fā)興趣（課堂活動：生活實例+動手操作）裝修工人制作對稱木質(zhì)框架時，需將一個角精準平分。他們常用方法：將角尺兩邊緊貼角的兩邊，沿角尺斜邊畫線，這條線近似平分角。這背后的數(shù)學原理是什么？不妨用折紙?zhí)剿鳎赫鄢觥螦OB，再對折使OA與OB重合，折痕即為角平分線。觀察折痕上的點到角兩邊的距離，你有何發(fā)現(xiàn)？2.新知探究，層層深入（1）回顧角平分線的定義從角的頂點出發(fā)，將角分成兩個相等角的射線，叫做角的平分線。例如，射線OC把∠AOB分成∠AOC=∠BOC，則OC是∠AOB的平分線。（2）探究角平分線的性質(zhì)操作猜想：在∠AOB的平分線上任取一點P，過P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E（畫圖并測量PD、PE的長度）。學生發(fā)現(xiàn)：PD=PE。推理證明：已知：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求證：PD=PE。證明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。又∵OP=OP（公共邊），∴△PDO≌△PEO（AAS）。∴PD=PE。歸納性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。（幾何語言：∵OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE）（3）探究角平分線的判定逆命題猜想：性質(zhì)的逆命題為“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”。這個命題成立嗎？推理證明：已知：點P在∠AOB內(nèi)部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE。求證：P在∠AOB的平分線上。證明：連接OP。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。又∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）?！唷螾OA=∠POB，即OP平分∠AOB。歸納判定：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。（幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴P在∠AOB的平分線上）3.例題精講，鞏固應用例1：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：AE=AF。分析：要證AE=AF，可證△AED≌△AFD。由AD平分∠BAC，得DE=DF（性質(zhì)）；又AD為公共邊，∠AED=∠AFD=90°，故Rt△AED≌Rt△AFD（HL），從而AE=AF。例2：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC中點，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB。分析：過M作ME⊥AD于E。由DM平分∠ADC，MC⊥DC，ME⊥AD，得MC=ME（性質(zhì)）；又M是BC中點，故MB=MC，從而MB=ME。結合MB⊥AB，ME⊥AD，由判定得AM平分∠DAB。二、課堂練習設計（一）基礎鞏固題（夯實概念，直接應用）1.如圖，OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=2.5，則PE=______。（考查性質(zhì)的直接應用）2.點P到∠AOB兩邊的距離相等，且P在∠AOB內(nèi)部，若∠AOB=70°，則P在∠AOB的______上。（考查判定的直接應用）3.如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若DC=3，則D到AB的距離為______。（結合直角三角形，應用性質(zhì)）（二）能力提升題（綜合應用，拓展思維）4.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BD平分∠ABC，求證：AD=CD。（需作輔助線，用性質(zhì)證全等）5.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求DE與DF的數(shù)量關系，并說明理由。（結合等腰三角形，應用性質(zhì)）（三）拓展挑戰(zhàn)題（聯(lián)系綜合，深化理解）6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于F，交AC于E。求證：AF=AE。（需結合角平分線性質(zhì)、余角性質(zhì)，證角相等）7.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6，求△DEB的周長。（結合等腰直角三角形、角平分線性質(zhì)，轉化線段求和）三、教學反思與作業(yè)布置（一）教學反思本節(jié)課通過生活情境導入，引導學生經(jīng)歷“操作—猜想—證明”的探究過程，強化了對性質(zhì)與判定的理解。但部分學生在輔助線作法（如作垂線）和證明邏輯的嚴謹性上仍需加強，后續(xù)需通過分層練習鞏固。（二）作業(yè)布置基礎層：完成課堂練習中的基礎題和提升題第4題，鞏固性質(zhì)與判定的應用。提高層