2026復變函數(shù)保角映射考核試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復變函數(shù)保角映射考核試卷考核對象：數(shù)學專業(yè)本科三年級學生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導。2.保角映射將角度保持不變，但可能改變角度的大小。3.分式線性映射可以將圓映射為圓或直線。4.若w=f(z)是保角映射，則其導數(shù)f'(z)在z處不為零。5.羅歇定理表明，若函數(shù)在閉曲線Γ上不為零，則在Γ內(nèi)解析的函數(shù)在Γ內(nèi)至多有一個零點。6.極點與零點的階數(shù)可以相同。7.對數(shù)函數(shù)log(z)在復平面上處處解析。8.若函數(shù)f(z)在z?處有階數(shù)為m的極點，則它在z?處的洛朗展開式中含有1/(z-z?)^m項。9.保角映射可以將上半平面映射為單位圓內(nèi)部。10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則其模|f(z)|在D內(nèi)不能為常數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個函數(shù)在z=0處解析？A.sin(z)/zB.z^2sin(1/z)C.1/zD.tan(z)2.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)中，若a=d=0，則映射變?yōu)椋篈.zB.-zC.1/zD.03.函數(shù)f(z)=z^2+2z+3在z=-1處的留數(shù)是：A.0B.2C.-2D.44.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=1，則它在z=1處的值是：A.1B.2C.3D.05.保角映射將單位圓映射為單位圓，其映射形式可能是：A.z→z^2B.z→1/zC.z→z+1D.z→e^z6.函數(shù)f(z)=e^z在z=πi處的留數(shù)是：A.1B.-1C.iD.-i7.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=0，則它在z=1處的值是：A.0B.1C.-1D.28.分式線性映射z→(z+1)/(z-1)將上半平面映射為：A.上半平面B.下半平面C.單位圓內(nèi)部D.單位圓外部9.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處展開的洛朗級數(shù)中，-1/z項的系數(shù)是：A.0B.1C.-1D.π10.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=1，則它在z=-1處的值是：A.1B.0C.-1D.2三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些函數(shù)在z=0處解析？A.z^2B.1/zC.sin(z)D.zlog(z)2.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)的保角性要求：A.a≠0B.c≠0C.ad-bc≠0D.a=d=03.函數(shù)f(z)=z^2+2z+3在z=-1處的留數(shù)是：A.0B.2C.-2D.44.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=1，則它在z=1處的值可能是：A.1B.2C.3D.05.保角映射將單位圓映射為單位圓，其映射形式可能是：A.z→z^2B.z→1/zC.z→z+1D.z→e^z6.函數(shù)f(z)=e^z在z=πi處的留數(shù)是：A.1B.-1C.iD.-i7.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=0，則它在z=1處的值可能是：A.0B.1C.-1D.28.分式線性映射z→(z+1)/(z-1)將上半平面映射為：A.上半平面B.下半平面C.單位圓內(nèi)部D.單位圓外部9.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處展開的洛朗級數(shù)中，-1/z項的系數(shù)是：A.0B.1C.-1D.π10.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=1，則它在z=-1處的值可能是：A.1B.0C.-1D.2四、案例分析（每題6分，共18分）1.設函數(shù)f(z)=(z^2-1)/(z-1)，求其在z=1處的留數(shù)。2.證明函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在上半平面內(nèi)解析，并求其在z=i處的留數(shù)。3.設函數(shù)f(z)=e^z/(z^2+1)，求其在z=i處的留數(shù)，并說明其在上半平面內(nèi)的解析性。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述分式線性映射的性質(zhì)及其在保角映射中的應用。2.詳細解釋留數(shù)定理，并舉例說明其在計算積分中的應用。---標準答案及解析一、判斷題1.√解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導。2.×保角映射保持角度大小不變。3.√分式線性映射可以將圓映射為圓或直線。4.√若映射保角，導數(shù)不為零。5.√羅歇定理的表述正確。6.×極點與零點的階數(shù)必須相同。7.×對數(shù)函數(shù)在z=0處不解析。8.√洛朗展開式中含有1/(z-z?)^m項。9.√分式線性映射可以將上半平面映射為單位圓內(nèi)部。10.√解析函數(shù)的模不能為常數(shù)。二、單選題1.Asin(z)/z在z=0處解析（洛朗展開）。2.Ca=d=0時，映射為1/z。3.B求導后f'(z)=2，f'(-1)=2。4.A由解析性，f(1)=f(0)=1。5.B1/z將單位圓映射為單位圓。6.De^z在z=πi處的值為e^πi=-1。7.A由解析性，f(1)=f(0)=0。8.B分式線性映射將上半平面映射為下半平面。9.Csin(z)/z的洛朗展開中-1/z項系數(shù)為-1。10.A由解析性，f(-1)=f(0)=1。三、多選題1.ACz^2和sin(z)在z=0處解析。2.ACad-bc≠0且a≠0或c≠0。3.BC-2和4是可能的留數(shù)。4.ABC1、2、3是可能的值。5.ABz^2和1/z將單位圓映射為單位圓。6.BDe^z在z=πi處的值為-1和-i。7.ABC0、1、-1是可能的值。8.AD上半平面映射為單位圓外部。9.AC-1和π是可能的系數(shù)。10.ABC1、0、-1是可能的值。四、案例分析1.解：f(z)=(z^2-1)/(z-1)=z+1，z=1處留數(shù)為2。2.證明：f(z)=z/(z^2+1)在z^2+1≠0時解析，z=i處留數(shù)為1/(2i)。3.解：f(z)=e^z/(z^2+1)，z=i處留數(shù)為e^i/(2i)。解析性由z^2+1≠0保證。五、論述題1.分式線性映射性質(zhì)：-將圓映射為圓或直線；-保持角度大小