2026復(fù)變函數(shù)教學(xué)效果評估試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)教學(xué)效果評估試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.模長的運算滿足交換律，即對于任意復(fù)數(shù)z1,z2，有|z1+z2|=|z2+z1|。2.如果復(fù)數(shù)w是z的n次方根，則w的所有n次方根都在復(fù)平面上均勻分布。3.解析函數(shù)的實部與虛部滿足Cauchy-Riemann方程，反之亦然。4.洛朗級數(shù)在收斂圓內(nèi)任意點都收斂。5.對于任意解析函數(shù)f(z)，其導(dǎo)數(shù)f'(z)仍然是解析函數(shù)。6.積分路徑的起點和終點改變，復(fù)積分的值會隨之改變。7.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒等于常數(shù)，則由Cauchy積分定理可知∮_γf(z)dz=0（γ為D內(nèi)閉曲線）。8.留數(shù)定理適用于所有復(fù)平面上的閉曲線積分。9.對于解析函數(shù)f(z)，其實部可以表示為其共軛函數(shù)的實部。10.如果函數(shù)f(z)在z0處有極點，則f(z)在z0附近可以展開為洛朗級數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.復(fù)數(shù)z=1+i的模長為（）。A.1B.√2C.2D.√32.函數(shù)f(z)=z^2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。A.4B.5C.6D.73.函數(shù)f(z)=e^z在z=πi處的值為（）。A.1B.-1C.e^πD.-e^π4.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/25.洛朗級數(shù)∑(n=-∞to∞)a_n(z-z0)^n在z=z0附近的收斂域為（）。A.單點z0B.圓環(huán)|z-z0|<RC.整個復(fù)平面D.空集6.Cauchy積分公式∮_γf(ζ)/(ζ-z)dζ=2πif(z)適用于（）。A.z在γ外B.z在γ上C.z在γ內(nèi)D.任意z7.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的泰勒級數(shù)展開式中，z^3項的系數(shù)為（）。A.0B.1/6C.1/3D.18.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)為（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-19.解析函數(shù)f(z)的虛部u(x,y)滿足的偏微分方程為（）。A.?u/?x=?u/?yB.?u/?x=?v/?yC.?u/?x=-?v/?yD.?u/?y=?v/?x10.函數(shù)f(z)=z^2在|z|<1內(nèi)的平均值由積分?_Dz^2dA給出，其中D為|z|<1，其值為（）。A.0B.1/3C.1/4D.1/5三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z^2B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=|z|^22.Cauchy積分定理的條件包括（）。A.f(z)在閉區(qū)域上解析B.γ為區(qū)域邊界正向閉曲線C.f(z)在γ上連續(xù)D.f(z)在γ內(nèi)不解析3.留數(shù)定理可用于計算（）。A.∮_γf(z)dz（γ為閉曲線）B.∫_a^bf(x)dx（實積分）C.∮_γf(z)dz（γ為閉曲線，f(z)有孤立奇點）D.∫_∞^∞f(x)dx（實積分，f(x)為偶函數(shù)）4.函數(shù)f(z)=e^z的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑(n=0to∞)z^n/n!B.∑(n=0to∞)(-1)^nz^n/n!C.∑(n=0to∞)z^(2n)/n!D.∑(n=0to∞)(-1)^nz^(2n)/n!5.解析函數(shù)的性質(zhì)包括（）。A.滿足Cauchy-Riemann方程B.在整個定義域內(nèi)連續(xù)C.可以展開為泰勒級數(shù)D.導(dǎo)數(shù)仍然解析6.積分∮_γ(z^2+1)/(z-1)dz（γ為|z|=1正向）的值為（）。A.0B.2πiC.4πiD.-2πi7.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)的極點包括（）。A.z=1B.z=-1C.z=iD.z=-i8.洛朗級數(shù)∑(n=-∞to∞)a_n(z-z0)^n中，負(fù)冪項存在的條件是（）。A.|z-z0|<RB.|z-z0|>RC.R<|z-z0|<∞D(zhuǎn).|z-z0|=R9.解析函數(shù)的實部u(x,y)滿足的偏微分方程為（）。A.?u/?x=?u/?yB.?u/?x=?v/?yC.?u/?x=-?v/?yD.?u/?y=?v/?x10.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)為（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-1四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述Cauchy積分定理的條件和結(jié)論。2.解釋什么是解析函數(shù)的洛朗級數(shù)展開式及其適用范圍。3.說明留數(shù)定理在計算復(fù)積分中的作用及其基本步驟。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計算積分∮_γ(z^2+2z+1)/(z-1)dz，其中γ為|z|=2正向。2.求函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=2附近的泰勒級數(shù)展開式（前4項）。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√（模長滿足交換律）2.√（n次方根均勻分布）3.×（滿足Cauchy-Riemann方程是必要條件，但反之不成立）4.×（僅在收斂圓內(nèi)收斂）5.√（解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析）6.×（積分值與路徑無關(guān)，僅與起點終點有關(guān)）7.√（Cauchy積分定理條件滿足）8.×（需f(z)在γ內(nèi)解析）9.√（實部等于共軛函數(shù)的實部）10.√（極點可展開為洛朗級數(shù)）二、單選題1.B（|1+i|=√2）2.B（f'(z)=2z+2，z=1時為5）3.C（e^πi=-1）4.B（留數(shù)為-1）5.B（圓環(huán)收斂）6.C（z在γ內(nèi)）7.B（sin(z)泰勒展開z^3項系數(shù)為1/6）8.B（留數(shù)為-1/2）9.C（?u/?x=-?v/?y）10.B（?_Dz^2dA=1/3）三、多選題1.A,C（z^2和sin(z)解析）2.A,B,C（Cauchy積分定理條件）3.A,C（留數(shù)定理用于閉曲線積分）4.A（e^z泰勒展開為∑z^n/n!）5.A,B,C,D（解析函數(shù)性質(zhì)）6.B（留數(shù)為2πi）7.C,D（極點為i和-i）8.C（負(fù)冪項存在需|z-z0|>R）9.B,D（實部滿足Cauchy-Riemann方程）10.B（留數(shù)為-1/2）四、簡答題1.Cauchy積分定理：若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，且γ為D內(nèi)一條正向閉曲線，則∮_γf(z)dz=0。2.洛朗級數(shù)：函數(shù)f(z)在圓環(huán)|z-z0|>R<∞內(nèi)可展開為∑(n=-∞to∞)a_n(z-z0)^n，包含正冪和負(fù)冪項。3.留數(shù)定理：若f(z)在閉曲線γ內(nèi)除有限個孤立奇點外解析，則∮_γf(z)dz=2πi∑Res(f,z_k)，其中z_k為奇點。五、應(yīng)用題1.積分計算：令f(z)=z^2+2z+1/(z-1)，在|z|=2內(nèi)，z=1為唯一奇點，留數(shù)為f(1)=4?！觃γf(z)dz=2πi×4=8πi。2.泰勒展開：f(z)=z/(z^2+1)=z/(z-i)(z+i)，用部分分式展開：f(z)=(1/2i)(1/(z-i)-1/(