2026復(fù)變函數(shù)連續(xù)性測(cè)試試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿(mǎn)分：100分2026復(fù)變函數(shù)連續(xù)性測(cè)試試卷及答案考核對(duì)象：復(fù)變函數(shù)課程中等級(jí)別學(xué)習(xí)者或從業(yè)者題型分值分布：-單選題（10題，每題2分，共20分）-填空題（10題，每題2分，共20分）-判斷題（10題，每題2分，共20分）-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分，共12分）-應(yīng)用題（2題，每題9分，共18分）總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的必要條件是（）A)u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)連續(xù)B)u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微C)滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程且u,v在D內(nèi)連續(xù)D)滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程且u,v在D內(nèi)可微2.函數(shù)f(z)=z^2在z=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)等于（）A)1B)2C)4D)83.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值等于（）A)0B)1C)-1D)i4.函數(shù)f(z)=|z|^2在z=i處的偏導(dǎo)數(shù)?u/?x等于（）A)0B)1C)-1D)i5.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)等于（）A)1B)0C)1/6D)1/36.函數(shù)f(z)=log(z)在z=1處的值等于（）A)0B)1C)-1D)i7.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)等于（）A)-1/2B)1/2C)-iD)i8.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)類(lèi)型是（）A)可去奇點(diǎn)B)極點(diǎn)C)本性奇點(diǎn)D)非孤立奇點(diǎn)9.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+1)在z=2處的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^-1項(xiàng)的系數(shù)等于（）A)0B)1/3C)-1/3D)110.函數(shù)f(z)=z^2在|z|<1內(nèi)的解析性是（）A)解析B)非解析C)奇異D)無(wú)法判斷二、填空題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則u和v滿(mǎn)足______方程。2.函數(shù)f(z)=z^3在z=0處的留數(shù)等于______。3.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前三項(xiàng)為_(kāi)_____。4.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π/2處的值等于______。5.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的值等于______。6.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的值等于______。7.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/4處的值等于______。8.函數(shù)f(z)=log(z)在z=-1處的值等于______（主值）。9.函數(shù)f(z)=1/(z-1)^2在z=1處的留數(shù)等于______。10.函數(shù)f(z)=z^2在|z|<1內(nèi)的解析性是______。三、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)連續(xù)。（）2.函數(shù)f(z)=z^2在z=0處的導(dǎo)數(shù)等于0。（）3.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值為0。（）4.函數(shù)f(z)=|z|^2在z=i處的偏導(dǎo)數(shù)?u/?x等于1。（）5.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1+z+z^2/2+z^3/6+...。（）6.函數(shù)f(z)=log(z)在z=1處的值為0。（）7.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)等于1/2。（）8.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)類(lèi)型是本性奇點(diǎn)。（）9.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+1)在z=2處的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^-1項(xiàng)的系數(shù)等于1/3。（）10.函數(shù)f(z)=z^2在|z|<1內(nèi)的解析性是解析。（）四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述Cauchy-Riemann方程的物理意義。2.解釋什么是函數(shù)的解析性與可微性的關(guān)系。3.說(shuō)明留數(shù)定理在計(jì)算積分中的應(yīng)用。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=1處的值，并驗(yàn)證其解析性。2.求函數(shù)f(z)=z^2在|z|<1內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并指出其收斂域。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、單選題1.C解析：函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的必要條件是滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程且u,v在D內(nèi)連續(xù)。2.C解析：f'(z)=2z，f'(1)=21=4。3.C解析：sin(π)=0，但sin(z)在z=π處的值為-sin(π)=-1。4.A解析：|z|^2=x^2+y^2，?u/?x=2x，在z=i處（x=0,y=1），?u/?x=0。5.C解析：e^z的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1+z+z^2/2!+z^3/3!+...，z^3項(xiàng)系數(shù)為1/6。6.C解析：log(1)=0（主值）。7.A解析：留數(shù)計(jì)算得-1/2。8.B解析：tan(z)在z=π/2處有極點(diǎn)。9.B解析：Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z^-1項(xiàng)系數(shù)為1/3。10.A解析：z^2在整個(gè)復(fù)平面上解析。二、填空題1.Cauchy-Riemann解析：u和v滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程。2.0解析：z^3在z=0處的留數(shù)為0。3.1+z+z^2解析：e^z的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式前三是1+z+z^2/2。4.1解析：sin(π/2)=1。5.1/3解析：1/(2-1)=1。6.1/2解析：z/(i^2+1)=z/(-1+1)=1/2。7.√2/2解析：tan(π/4)=1。8.-πi解析：log(-1)=-πi（主值）。9.0解析：1/(z-1)^2在z=1處的留數(shù)為0。10.解析解析：z^2在整個(gè)復(fù)平面上解析。三、判斷題1.√解析：解析函數(shù)必連續(xù)。2.×解析：f'(z)=2z，f'(0)=0。3.×解析：sin(π)=0，但sin(z)在z=π處的值為-sin(π)=-1。4.×解析：|z|^2在z=i處的?u/?x=0。5.√解析：e^z的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式前三是1+z+z^2/2。6.√解析：log(1)=0（主值）。7.√解析：留數(shù)計(jì)算得1/2。8.×解析：tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)類(lèi)型是極點(diǎn)。9.×解析：1/(z-1)(z+1)在z=2處的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z^-1項(xiàng)系數(shù)為0。10.√解析：z^2在整個(gè)復(fù)平面上解析。四、簡(jiǎn)答題1.Cauchy-Riemann方程的物理意義是描述函數(shù)在復(fù)平面上的解析性條件，即其實(shí)部和虛部的偏導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足特定關(guān)系，相當(dāng)于二維流場(chǎng)的無(wú)旋條件。2.解析性與可微性關(guān)系：解析函數(shù)必可微，但可微函數(shù)未必解析（需滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程和連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）。3.留數(shù)定理在計(jì)算積分中的應(yīng)用：通過(guò)計(jì)算函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，可簡(jiǎn)化沿封閉曲線(xiàn)的積分計(jì)算，如∮_Cf(z)dz=2πiΣRes(f,z_k)。五、應(yīng)用題1.計(jì)算f(z)=z/(z^2+1)在z=1處的值，并驗(yàn)證解