2026復(fù)變函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn)突破試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn)突破試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.模為常數(shù)（|z|=c）的曲線是復(fù)平面上的圓。3.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。4.若f(z)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則它在Ω上必有界。5.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域是圓環(huán)。6.留數(shù)定理適用于所有解析函數(shù)的積分計(jì)算。7.若f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開(kāi)式中負(fù)冪項(xiàng)有限。8.所有解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)。9.若函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?的鄰域內(nèi)解析。10.積分路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)積分值有影響。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=|z|在z=2處的導(dǎo)數(shù)（）A.存在且為1B.存在且為2C.不存在D.為無(wú)窮大3.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z3項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1B.0C.1/6D.1/34.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/25.積分∮_Γ(z+1)/(z2+1)dz（Γ為|z|=1正向）的值為（）A.πiB.-πiC.0D.2πi6.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.1/2iB.-1/2iC.1D.-17.洛朗級(jí)數(shù)∑(n=-∞,∞)a_nz^n的收斂域?yàn)椋ǎ〢.|z|<1B.|z|>1C.0<|z|<1D.所有z8.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z?項(xiàng)的系數(shù)為（）A.0B.1/120C.1/24D.-1/69.積分∮_Γz/(z2+1)dz（Γ為|z|=2正向）的值為（）A.πiB.-πiC.2πiD.010.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂半徑為（）A.0B.1C.2D.∞三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中在z=0處解析的有（）A.f(z)=z2B.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=1/zD.f(z)=e^z2.柯西-黎曼方程的形式為（）A.u_x=v_yB.u_y=-v_xC.u_x=-v_yD.u_y=v_x3.下列關(guān)于留數(shù)的說(shuō)法正確的有（）A.極點(diǎn)的階數(shù)越高，留數(shù)越大B.留數(shù)定理適用于閉曲線積分C.留數(shù)可以用于計(jì)算實(shí)軸上的積分D.留數(shù)為解析函數(shù)的積分值4.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域可以是（）A.單圓環(huán)B.球面C.雙圓環(huán)D.空集5.下列關(guān)于泰勒級(jí)數(shù)的說(shuō)法正確的有（）A.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)絕對(duì)收斂B.泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)由導(dǎo)數(shù)唯一確定C.泰勒級(jí)數(shù)只適用于整函數(shù)D.泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的性質(zhì)決定6.積分∮_Γf(z)dz（Γ為正向閉曲線）的值為零的條件有（）A.f(z)在Γ內(nèi)解析B.f(z)在Γ上連續(xù)C.f(z)在Γ內(nèi)存在奇點(diǎn)D.f(z)在Γ上恒為零7.下列關(guān)于解析函數(shù)的性質(zhì)正確的有（）A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足拉普拉斯方程B.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)C.解析函數(shù)的積分值與路徑無(wú)關(guān)D.解析函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)相同8.下列關(guān)于留數(shù)定理的應(yīng)用正確的有（）A.用于計(jì)算實(shí)軸上的積分B.用于計(jì)算圓周上的積分C.用于判斷函數(shù)的解析性D.用于求解微分方程9.下列關(guān)于柯西積分定理的表述正確的有（）A.解析函數(shù)在閉曲線上的積分為零B.解析函數(shù)在單連通區(qū)域上積分與路徑無(wú)關(guān)C.解析函數(shù)在多連通區(qū)域上積分不為零D.柯西積分定理只適用于單變量函數(shù)10.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)的說(shuō)法正確的有（）A.洛朗級(jí)數(shù)可以表示解析函數(shù)B.洛朗級(jí)數(shù)只適用于奇點(diǎn)附近的展開(kāi)C.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域可以是圓環(huán)D.洛朗級(jí)數(shù)的負(fù)冪項(xiàng)表示函數(shù)的奇異性四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述柯西積分定理的條件和結(jié)論。2.解釋什么是函數(shù)的極點(diǎn)，并舉例說(shuō)明。3.說(shuō)明如何利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)軸上的積分。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算積分∮_Γ(z2+2z+1)/(z-1)dz，其中Γ為|z|=2正向。2.將函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在z=i處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并說(shuō)明其收斂域。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√（解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)）2.×（模為常數(shù)的是圓，但方向不確定）3.√（柯西-黎曼方程是解析性的必要條件）4.×（連續(xù)不一定有界，如sin(1/z)在0附近無(wú)界）5.√（洛朗級(jí)數(shù)適用于圓環(huán)域）6.×（留數(shù)定理適用于解析函數(shù)的積分，需奇點(diǎn)在圍道內(nèi)）7.√（極點(diǎn)的洛朗展開(kāi)式中負(fù)冪項(xiàng)有限）8.√（解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)）9.√（解析函數(shù)在鄰域內(nèi)解析）10.√（積分值與路徑無(wú)關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)）二、單選題1.B（f'(1)=21+2=4）2.C（|z|在z=2處不可導(dǎo)）3.C（e^z的泰勒展開(kāi)式中z3系數(shù)為1/6）4.B（留數(shù)=1/(z-1)在z=1的值=-1）5.A（留數(shù)定理，留數(shù)和為πi）6.A（留數(shù)=1/(2i)）7.C（圓環(huán)形收斂域）8.B（sin(z)的泰勒展開(kāi)式中z?系數(shù)為1/120）9.A（留數(shù)定理，留數(shù)和為πi）10.B（收斂半徑等于到最近奇點(diǎn)的距離）三、多選題1.ABD（z2、sin(z)/z、e^z在z=0解析）2.AB（柯西-黎曼方程的標(biāo)準(zhǔn)形式）3.BC（留數(shù)定理可用于實(shí)軸積分，留數(shù)不直接等于積分值）4.AC（單圓環(huán)和雙圓環(huán)）5.ABD（泰勒級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，系數(shù)由導(dǎo)數(shù)確定，收斂半徑由函數(shù)性質(zhì)決定）6.AB（柯西積分定理?xiàng)l件）7.ABC（解析函數(shù)的實(shí)部虛部滿足拉普拉斯方程，導(dǎo)數(shù)仍解析，積分與路徑無(wú)關(guān)）8.AB（留數(shù)定理用于實(shí)軸和圓周積分）9.AB（柯西積分定理?xiàng)l件）10.AC（洛朗級(jí)數(shù)表示解析函數(shù)，收斂域?yàn)閳A環(huán)）四、簡(jiǎn)答題1.柯西積分定理的條件和結(jié)論：-條件：函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，且Γ為D內(nèi)一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。-結(jié)論：∮_Γf(z)dz=0。2.函數(shù)的極點(diǎn)：極點(diǎn)是函數(shù)f(z)在z?附近的行為類似1/(z-z?)^m的點(diǎn)，其中m為正整數(shù)。例子：f(z)=1/(z-1)在z=1處有一階極點(diǎn)。3.利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)軸積分：對(duì)于積分∫_(-∞,∞)f(x)dx，若f(x)可延拓為復(fù)變函數(shù)f(z)，且在實(shí)軸上解析，則可沿半圓弧閉合路徑積分，利用留數(shù)定理計(jì)算。五、應(yīng)用題1.計(jì)算積分∮_Γ(z2+2z+1)/(z-1)dz，Γ為|z|=2正向：-分母在z=1處有一階極點(diǎn)，留數(shù)=1/(z-1)在z=1的值=1。-∮_Γf(z)dz=2πi留數(shù)=2πi。2.將f(z)=1/(z2+1)在z=i處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：-1