第1頁/共4頁2023-2024學年第一學期期中考試鹽田高級中學高二數(shù)學試題卷考試時間：120分鐘分數(shù)：150分2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.A.B.C.D.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件224.M是雙曲線=1上一點，點分別是雙曲線左右焦點，若MF1=5，則MF2=()5.已知圓C:x2+y2=1，直線l：y=2x+b相交，那么實數(shù)b的取值范圍是()6.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1丄MF2的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是第2頁/共4頁7.已知橢圓方程為+=1(a>b>0)，其右焦點為F(4,0)，過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若8.已知直線l:(m-1)x+(m+1)y-3m+1=0與圓O:x2+y2=9交于A,B兩點，則△AOB的面積的最有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯或不答的得0分.B.當t>4或t<1時，曲線C是雙曲線C.若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則1<t<D.若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則t>410.已知雙曲線C:-=1的焦點分別為F1,F2，則下列結論正確的是(A.若雙曲線C上一點P滿足PF1=2PF2，則△PF1F2的周長為28B.漸近線方程為3x±4y=0C.若從雙曲線C的左，右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6D.雙曲線C與橢圓+=1的離心率互為倒數(shù)11.下列說法正確的是()A.直線(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒過定點(-3,-3)B.直線xcosθ+y+2=0的傾斜角的范圍是0,u,π),|第3頁/共4頁-+2x=0與曲線C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三條公切線，則m=4x軸的直線與該橢圓相交于A，B兩點，且AB=1，點P在該橢圓上，則下列說法正確的是()A.存在點P，使得上F1PF2=90OC.滿足△F1PF2為等腰三角形的點P只有2個-D.PF1-PF2的取值范圍為-2·,213.與橢圓有公共焦點，且離心率為的雙曲線方程為.14.求圓x2+y2-4y+3=0上的動點P到直線3x-4y-2=0距離的最大值.15.已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為.16.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見．某學習小組通過單光源實驗來演示月球背面．由光源點A(0,-2)射出的兩條光線與圓O:x2+y2=1分別相切于點M、N，稱兩射線AM、AN的切點上方部分與優(yōu)弧MN上方所夾的平面區(qū)域（含邊界）為圓O的“背面”．若以點B(a,2)(a>0)為圓心，r為半徑的圓處于ΘO的“背面”，當r取得最大值時的a值為.四、解答題70分，17題10分，其他題每題12分）解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知菱形ABCD中，A(-4,7)，C(2,-3)，BC邊所在直線過點P(5,9)．求：（1）AD邊所在直線的方程；（2）對角線BD所在直線的方程.18.已知圓C:x2+y2+2x-4y-4=0.（1）從圓外一點P(2,1)向圓引切線，求切線方程；第4頁/共4頁（2）若圓C2:x2+y2=4與圓C相交于D,E兩點，求線段DE的長.點E是棱CC1的中點.（2）求平面ABC與平面AB1E夾角的余弦值；=1，動圓M與圓C1,C2均外切，記圓心M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點C2且斜率為4的直線l與曲線C交于A,B兩點，求△C1AB的面積.2221.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為F1,F2,O為坐標原點，且FF=（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點(2,0)的直線l與橢圓C交于M,N兩點，點Q(8,0)，求kMQ+kNQ的值.22.已知橢圓的左焦點為，點在C上.（1）求橢圓C的方程；（2）過F的兩條互相垂直的直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，若AB,PQ的中點分別為M,N，證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標.2023-2024學年第一學期期中考試鹽田高級中學高二數(shù)學試題卷考試時間：120分鐘分數(shù)：150分2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用斜率公式求得直線l1的斜率，結合l1丄l2，求得kl2=得到tanα=即可求解.【詳解】因為直線l1過A兩點，可得kl1=所以直線l2的傾斜角為.故選：A.2.已知雙曲線的離心率為·i5，則漸近線方程是()第2頁/共19頁【答案】B【解析】【分析】由離心率求得即得漸近線方程.故選：BA.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別當a=3時，判斷兩直線的位置關系和當兩直線平行且不重合時，求a的范圍.:兩直線斜率相等，則平行且不重合.若兩直線平行且不重合，則:a=3或a=-2，綜上所述，a=3是兩直線平行的充分不必要條件.故選：A224.M是雙曲線=1上一點，點分別是雙曲線左右焦點，若MF1=5，則MF2=()【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.第3頁/共19頁由雙曲線定義可知MF1-MF2=2a=4，故選：C5.已知圓C:x2+y2=1，直線l：y=2x+b相交，那么實數(shù)b的取值范圍是()【答案】D【解析】【分析】利用圓心到直線l的距離列不等式，從而求得b的取值范圍.【詳解】圓C的圓心為(0,0)，半徑為1，直線l:2x-y+b=0，由于圓與直線l相交，故選：D6.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1丄MF2的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是【答案】B【解析】【分析】M在F1F2為直徑的圓上，即x2+y2=c2，根據(jù)c<b得到離心率范圍.【詳解】MF1丄MF2，故M在F1F2為直徑的圓上，即x2+y2=c2，故選：B.7.已知橢圓方程為+=1(a>b>0)，其右焦點為F(4,0)，過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若第4頁/共19頁2222B.22C.22D.【答案】C【解析】計算kFM=代入橢圓方程相減得到解得答案.【詳解】AB的中點坐標為，則kFM=222故選：C.8.已知直線l:(m-1)x+(m+1)y-3m+1=0與圓O:x2+y2=9交于A,B兩點，則△AOB的面積的最A.2S2B.2C.2·i5D.【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)題意，直線l:(m-1)x+(m+1)y-3m+1=0，聯(lián)立解得則直線l恒過定點(2,1)，記為M， +y2又AB為圓O的弦，設AB的中點為E，則有OE丄AB，第5頁/共19頁所以，當且僅當9m2=m2，即等號成立.即△AOB的面積的最大值為.故選：D.有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯或不答的得0分.229.已知方程表示的曲線為C，則下列四個結論中正確的是()C.若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則1<t<D.若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則t>4【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項判斷作答.第6頁/共19頁對于C，若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則4-t>t-1>0，解得1<t<，C正確；對于D，若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則t-1>4-t>0，解得<t<4，D錯誤.故選：BC.10.已知雙曲線C:-=1的焦點分別為F1,F2，則下列結論正確的是(A.若雙曲線C上一點P滿足PF1=2PF2，則△PF1F2的周長為28B.漸近線方程為3x±4y=0C.若從雙曲線C的左，右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6D.雙曲線C與橢圓+=1的離心率互為倒數(shù)【答案】AC【解析】【分析】計算PF1=12，PF2=6得到A正確，漸近線方程為4x±3y=0，B錯誤，最短距離為2a=6，C正確，計算離心率得到D錯誤，得到答案.【詳解】雙曲線C:-=1的焦點分別為F1(-5,0)，F(xiàn)222對選項B：雙曲線的漸近線方程為4x±3y=0，錯誤；對選項C：從雙曲線C的左，右支上任取一點，則這兩點的最短距離為2a=6，正確；故選：AC.11.下列說法正確的是()B.直線xcosθ+y+2=0的傾斜角的范圍是0,u,π),|(x-4)2+(x-4)2+y2=8表示的曲線是雙曲線-+2x=0與曲線C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三條公切線，則m=4第7頁/共19頁【答案】BD【解析】【分析】代入驗證知A錯誤，確定k∈得到B正確，軌跡為兩條射線，C錯誤，確定兩圓外切，根據(jù)圓心距與半徑的關系得到D正確，得到答案.【詳解】對選項A：將x=-3,y=-3代入驗證不成立，錯誤；對選項B：直線xcosθ+y+2=0的斜率為-表示到點(-4,0)和(4,0)的距離之差的絕對值為8，軌跡為兩條射線，錯誤；2(y-4)2=20-m，42故選：BDx軸的直線與該橢圓相交于A，B兩點，且AB=1，點P在該橢圓上，則下列說法正確的是()A.存在點P，使得LF1PF2=90。C.滿足△F1PF2為等腰三角形的點P只有2個D.PF1-PF2的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知橢圓的焦點以及通經(jīng)，建立方程，解得標準方程；對于A，利用動點P的位置變化，研究LF1PF2的取值范圍，可得答案；第8頁/共19頁對于B，根據(jù)橢圓的幾何性質以及三角形余弦定理，建立方程，可得答案；對于C，利用分類討論，建立方程，求動點坐標，可得答案；對于D，利用余弦定理結合上F1PF2的取值范圍，結合不等式性質，可得答案.對于A，當點P為橢圓的上頂點時，上F1PF2最大，如下圖：2PF對于B，根據(jù)題意可作圖如下：PF2在△F1PF2中，根據(jù)余弦定理，則cos上所以cos60o=整理可得第9頁/共19頁對于C，設PFPF2FF2 PF2為等腰三角形，易知此時P的坐標為(0,1)或(0,1)，(x,y)，則24mn在△F1PF2中，根據(jù)余弦定理可得：cos上 2o 2故選：ABD.13.與橢圓有公共焦點，且離心率為的雙曲線方程為.22【解析】【分析】由橢圓方程求出焦點坐標，得出c的值，再由雙曲線的離心率得出a，進而可得雙曲線的標準方程.第10頁/共19頁【詳解】由橢圓方程可得焦點為(3,0),(-3,0)設雙曲線的半焦距為c，則c=3，因雙曲線的離心率為，則e= 22所以雙曲線的標準方程為22故答案為14.求圓x2+y2-4y+3=0上的動點P到直線3x-4y-2=0距離的最大值.【答案】3【解析】【分析】先求得圓心和半徑，再求得圓心到直線的距離，由此距離加半徑為最大值求解.【詳解】圓x2+y2-4y+3=0可化為x2+(y-2)2=1，其圓心為(0,2)，半徑為1，圓心(0,2)到直線3x-4y-2=0的距離，所以圓上的點到直線距離的最大值為2+r=3.故答案為：3.【答案】9【解析】【分析】先運用橢圓與雙曲線的基本量的關系，依據(jù)橢圓與雙曲線的焦點相同得到m+n=1，最后利用基本不等式中“1”的妙用，將化為積定的形式，運用基本不等式求出最小值.mn【詳解】先根據(jù)橢圓的基本量關系式得到橢圓1的焦點分別為點(-1,0)與點(1,0)，于是點(-1,0)與點(1,0)也是雙曲線的兩個焦點，故答案為：916.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見．某學習小組通過單光源實驗來演示月球背面．由光源點A(0,2)射出的兩條光線與圓O:x2+y2=1分別相切于點M、N，稱兩射線AM、AN的切點上方部分與優(yōu)弧MN上方所夾的平面區(qū)域（含邊界）為圓O的“背面”．若以點B(a,2)(a>0)為圓心，r為半徑的圓處于ΘO的“背面”，當r取得最大值時的a值為.【解析】【分析】根據(jù)相切得到切線AM方程為3x一y一2=0，當圓B與直線AM相切且與圓O外切時半徑r最大，據(jù)此得到方程組，解得答案.當圓B與直線AM相切且與圓O外切時半徑r最大，則，第12頁/共19頁四、解答題70分，17題10分，其他題每題12分）解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知菱形ABCD中，A(-4,7)，C(2,-3)，BC邊所在直線過點P(5,9)．求：（1）AD邊所在直線的方程；（2）對角線BD所在直線的方程.【解析】【分析】（1）利用互相平行的直線斜率相等，利用點斜式即可得直線方程；（2）由互相垂直的直線斜率間關系，以及中點，利用點斜式可得直線方程.【小問1詳解】由已知得直線AD//BC，:kAD=4:AD邊所在直線的方程為：y-7=4(x+4)，即4x-y+23=0【小問2詳解】由已知得AC與BD互相垂直平分，:kBD=，:BD所在直線方程為：y-2=，即3x-5y+13=0.18.已知圓C:x2+y2+2x-4y-4=0.（1）從圓外一點P(2,1)向圓引切線，求切線方程；（2）若圓C2:x2+y2=4與圓C相交于D,E兩點，求線段DE的長.【答案】18.4x-3y-5=0或x=219.4第13頁/共19頁【解析】【分析】（1）當斜率存在時，用點斜式設切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求得k的值，可得切線方程．當斜率不存在時，易得切線方程，從而得出結論；（2）把兩個圓的方程相減可得直線DE的方程，可判斷圓心C2(0,0)在直線DE上，DE剛好是圓C2的直徑，得解.【小問1詳解】當切線的斜率存在時，設切線方程為y-1=k，即kx-y+1-2k=0，于是解得切線方程為4x-3y-5=0，當切線的斜率不存在時，得切線方程為x=2，綜上，切線方程為x=2或4x-3y-5=0.【小問2詳解】把兩圓方程相減可得直線DE的方程：x-2y=0，圓心C2(0,0)剛好在直線DE上，則DE是圓C2的直徑，點E是棱CC1的中點.第14頁/共19頁（2）求平面ABC與平面AB1E夾角的余弦值；【答案】（1）證明見解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理確定BC丄BC1，根據(jù)線面垂直得到AB丄BC1，得到C1B丄平面ABC；（2）建立空間直角坐標系，確定各點坐標，計算兩個平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【小問1詳解】又AB∩BC=B，AB,BC平面ABC，故C1B丄平面ABC；【小問2詳解】如圖所示：以BC,BC1,BA為x,y,z軸建立空間直角坐標系，C1B丄平面ABC，故平面ABC的一個法向量為第15頁/共19頁設平面AB1E的法向量為，平面ABC與平面AB1E夾角的平面角為銳角，故余弦值為=1，動圓M與圓C1,C2均外切，記圓心M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點C2且斜率為4的直線l與曲線C交于A,B兩點，求△C1AB的面積.21.2417【解析】【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關系結合雙曲線的定義分析即可得解；（2）聯(lián)立直線與曲線C的方程，利用弦長公式求得AB，再利用點線距離求得C1到直線AB的距離，從而利用三角形面積公式即可得解.【小問1詳解】由條件可得MC1-3=MC2-1，即MC1-MC2C2,則根據(jù)雙曲線的定義可知，點M是以C1，C2為焦點，以2為實軸長的雙曲線