第1頁（共1頁）2024年四川省樂山市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．1．（3分）（2024?樂山）不等式x﹣2＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣22．（3分）（2024?樂山）下列文物中，俯視圖是四邊形的是（）A．帶蓋玉柱形器 B．白衣彩陶缽 C．鏤空人面覆盆陶器 D．青銅大方鼎3．（3分）（2024?樂山）2023年，樂山市在餐飲、文旅、體育等服務消費表現(xiàn)亮眼，網(wǎng)絡零售額突破400億元，居全省地級市第一．將40000000000用科學記數(shù)法表示為（）A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×10114．（3分）（2024?樂山）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）A． B． C． D．5．（3分）（2024?樂山）為了解學生上學的交通方式，劉老師在九年級800名學生中隨機抽取了60名進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制作成如下統(tǒng)計表，估計該年級學生乘坐公交車上學的人數(shù)為（）交通方式公交車自行車步行私家車其它人數(shù)（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．4006．（3分）（2024?樂山）如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC7．（3分）（2024?樂山）已知1＜x＜2，化簡+|x﹣2|的結(jié)果為（）A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x8．（3分）（2024?樂山）若關于x的一元二次方程x2+2x+p＝0兩根為x1、x2，且+＝3，則p的值為（）A． B． C．﹣6 D．69．（3分）（2024?樂山）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），當x＝﹣1時，函數(shù)取得最大值；當x＝1時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥210．（3分）（2024?樂山）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，點P是BC邊上一個動點，在BC延長線上找一點Q，使得點P和點Q關于點C對稱，連結(jié)DP、AQ交于點M．當點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分．11．（3分）（2024?樂山）計算：a+2a＝．12．（3分）（2024?樂山）一名交警在路口隨機監(jiān)測了5輛過往車輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時）．那么這5輛車的速度的中位數(shù)是．13．（3分）（2024?樂山）如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝.14．（3分）（2024?樂山）已知a﹣b＝3，ab＝10，則a2+b2＝．15．（3分）（2024?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點O，若＝，則＝.16．（3分）（2024?樂山）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點（0，1）是函數(shù)y＝x+1圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①y＝﹣x+3；②y＝；③y＝﹣x2+2x﹣1．（2）若一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．三、解答題：本大題共10個小題，共102分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（9分）（2024?樂山）計算：|﹣3|+（π﹣2024）0﹣．18．（9分）（2024?樂山）解方程組：．19．（9分）（2024?樂山）如圖，AB是∠CAD的平分線，AC＝AD，求證：∠C＝∠D．20．（10分）（2024?樂山）先化簡，再求值：﹣，其中x＝3．小樂同學的計算過程如下：解：﹣＝﹣…①＝﹣…②＝…③＝…④＝…⑤當x＝3時，原式＝1．（1）小樂同學的解答過程中，第步開始出現(xiàn)了錯誤；（2）請幫助小樂同學寫出正確的解答過程．21．（10分）（2024?樂山）樂山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務質(zhì)量，某旅行社隨機調(diào)查了部分游客對四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計圖，如圖所示．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為人，扇形統(tǒng)計圖中m的值為；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）旅行社推出每人可免費品嘗兩種美食的活動，某游客從上述4種美食中隨機選擇兩種，請用畫樹狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．22．（10分）（2024?樂山）如圖，已知點A（1，m）、B（n，1）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點A的一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點C（0，1）．（1）求m、n的值和一次函數(shù)的表達式；（2）連結(jié)AB，求點C到線段AB的距離．23．（10分）（2024?樂山）我國明朝數(shù)學家程大位寫過一本數(shù)學著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數(shù)學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據(jù)詞意計算秋千繩索OA的長度；（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．24．（10分）（2024?樂山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點C作⊙O的切線CD交BA延長線于點D，點E為上一點，且＝．（1）求證：DC∥AE；（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求陰影部分的面積．25．（12分）（2024?樂山）在平面直角坐標系xOy中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線y＝ax2﹣2ax+2a（a為常數(shù)且a＞0）與y軸交于點A．（1）若a＝1，求拋物線的頂點坐標；（2）若線段OA（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；（3）若拋物線與直線y＝x交于M、N兩點，線段MN與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．26．（13分）（2024?樂山）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的長．解：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴①_____．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，②_____．∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝③_____．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：；“②”處應填：；“③”處應填：．劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數(shù)量關系并證明．【拓展應用】如圖4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關系：（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【問題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D、E在邊AC上，且∠DBE＝45°．設AD＝x，CE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關系式．最后，劉老師總結(jié)到：希望同學們在今后的數(shù)學學習中，學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界．

2024年四川省樂山市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．1．（3分）（2024?樂山）不等式x﹣2＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【答案】A【解答】解：x﹣2＜0，移項，得x＜2．故選：A．2．（3分）（2024?樂山）下列文物中，俯視圖是四邊形的是（）A．帶蓋玉柱形器 B．白衣彩陶缽 C．鏤空人面覆盆陶器 D．青銅大方鼎【答案】D【解答】解：選項A中的“帶蓋玉柱形器”的俯視圖是圓形，因此選項A不符合題意；選項B中的“白衣彩陶缽”的俯視圖是圓形，因此選項B不符合題意；選項C中的“鏤空人面覆盆陶器”的俯視圖是圓形，因此選項C不符合題意；選項D中的“青銅大方鼎”的俯視圖是四邊形，因此選項D符合題意．故選：D．3．（3分）（2024?樂山）2023年，樂山市在餐飲、文旅、體育等服務消費表現(xiàn)亮眼，網(wǎng)絡零售額突破400億元，居全省地級市第一．將40000000000用科學記數(shù)法表示為（）A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×1011【答案】C【解答】解：40000000000用科學記數(shù)法表示為4×1010．故選：C．4．（3分）（2024?樂山）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為：（4﹣2）×180°＝360°，五邊形的內(nèi)角和為：（5﹣2）×180°＝540°，六邊形的內(nèi)角和為：（6﹣2）×180°＝720°，∵180＜360＜540＜720，∴在三角形、四邊形、五邊形和六邊形中，內(nèi)角和最小的是三角形，故選：A．5．（3分）（2024?樂山）為了解學生上學的交通方式，劉老師在九年級800名學生中隨機抽取了60名進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制作成如下統(tǒng)計表，估計該年級學生乘坐公交車上學的人數(shù)為（）交通方式公交車自行車步行私家車其它人數(shù)（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．400【答案】D【解答】解：800×＝400（人），即估計該年級學生乘坐公交車上學的人數(shù)大約為400人．故選：D．6．（3分）（2024?樂山）如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC【答案】D【解答】解：A、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形，不符合題意；B、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形，不符合題意；C、根據(jù)平行四邊形的判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形，不符合題意；D、一組對邊平行，另一組對邊相等，可能是等腰梯形，故不能判斷這個四邊形是平行四邊形，符合題意；故選：D．7．（3分）（2024?樂山）已知1＜x＜2，化簡+|x﹣2|的結(jié)果為（）A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x【答案】B【解答】解：∵1＜x＜2，∴+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1，故選：B．8．（3分）（2024?樂山）若關于x的一元二次方程x2+2x+p＝0兩根為x1、x2，且+＝3，則p的值為（）A． B． C．﹣6 D．6【答案】A【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2x+p＝0兩根為x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，∵+＝3，∴，即，解得：p＝﹣．故選：A．9．（3分）（2024?樂山）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），當x＝﹣1時，函數(shù)取得最大值；當x＝1時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2【答案】C【解答】解：因為y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，所以拋物線的對稱軸為直線x＝1，且頂點坐標為（1，﹣1）．因為1﹣（﹣1）＝3﹣1，所以x＝﹣1和x＝3時的函數(shù)值相等．因為﹣1≤x≤t﹣1，當x＝﹣1時，函數(shù)取得最大值，所以t﹣1≤3，又因為當x＝1時，函數(shù)取得最小值，所以t﹣1≥1，所以1≤t﹣1≤3，解得2≤t≤4．故選：C．10．（3分）（2024?樂山）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，點P是BC邊上一個動點，在BC延長線上找一點Q，使得點P和點Q關于點C對稱，連結(jié)DP、AQ交于點M．當點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖過C作CG⊥BC，交AD于點G，作B關于C的對稱點Q'，連接BD和AQ'交于點H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴CG垂直平分AD，∵P、Q關于點C對稱，∴M一定在直線CG上，∵P從點B運動到點C，∴可以得到點M的運動軌跡就是CH這一段．∵AB＝1＝CD，∴CG＝CD?sin60°＝，∵△AHD∽△Q'HB，∴，∴CH＝CG＝，即點M的運動路徑長為．故選：B．二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分．11．（3分）（2024?樂山）計算：a+2a＝3a．【答案】3a．【解答】解：a+2a＝（1+2）a＝3a，故答案為：3a．12．（3分）（2024?樂山）一名交警在路口隨機監(jiān)測了5輛過往車輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時）．那么這5輛車的速度的中位數(shù)是66千米/時．【答案】66千米/時．【解答】解：數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為57，58，66，69，71，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是66千米/時．故答案為：66千米/時．13．（3分）（2024?樂山）如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝120°.【答案】120°．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°，∴∠2＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120°．14．（3分）（2024?樂山）已知a﹣b＝3，ab＝10，則a2+b2＝29．【答案】29．【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝10，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+20＝29，故答案為：29．15．（3分）（2024?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點O，若＝，則＝.【答案】．【解答】解：∵AD∥BC，∴點B到AD的距離等于D點到BC的距離，∴＝＝，∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2＝（）2＝．故答案為：．16．（3分）（2024?樂山）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點（0，1）是函數(shù)y＝x+1圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是③（填序號）；①y＝﹣x+3；②y＝；③y＝﹣x2+2x﹣1．（2）若一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為0＜m≤或﹣≤m＜0．【答案】（1）③；（2）0＜m≤或﹣≤m＜0．【解答】解：（1）①當x＝0時，y＝3，當y＝0時，﹣x+3，∴x＝3，∴y＝﹣x+3與兩坐標的交點分別為（0，3）和（3，0），∴函數(shù)y＝﹣x+3的圖象上不存在“近軸點”；②∵y＝中，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當x＝1時，y＝2，當y＝1時，x＝2，∴函數(shù)y＝的圖象上不存在“近軸點”；③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，當x＝1時，y＝0；當x＝0時，y＝﹣1；∴函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的圖象上存在“近軸點”；故答案為：③；（2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），∴一次函數(shù)y＝mx﹣3m經(jīng)過（3，0），分兩種情況：①當m＞0時，如圖1，當x＝1時，y＝m﹣3m＝﹣2m，∵一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點”，∴﹣1≤﹣2m＜0，∴0＜m≤；②當m＜0時，如圖2，由①知：點A的坐標為（1，﹣2m）當x＝1時，y，∵一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點”，∴0≤﹣2m＜1，∴﹣≤m＜0；綜上，m的取值范圍為：0＜m≤或﹣≤m＜0．故答案為：0＜m≤或﹣≤m＜0．三、解答題：本大題共10個小題，共102分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（9分）（2024?樂山）計算：|﹣3|+（π﹣2024）0﹣．【答案】1．【解答】解：|﹣3|+（π﹣2024）0﹣＝3+1﹣3＝1．18．（9分）（2024?樂山）解方程組：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：，①+②，得3x＝9，（3分）解得x＝3．（4分）把x＝3代入②，得y＝1．（7分）∴原方程組的解是．（9分）19．（9分）（2024?樂山）如圖，AB是∠CAD的平分線，AC＝AD，求證：∠C＝∠D．【答案】見解答過程．【解答】證明：∵AB是∠CAD的平分線，∴∠CAB＝∠DAB，∴在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（SAS），∴∠C＝∠D．20．（10分）（2024?樂山）先化簡，再求值：﹣，其中x＝3．小樂同學的計算過程如下：解：﹣＝﹣…①＝﹣…②＝…③＝…④＝…⑤當x＝3時，原式＝1．（1）小樂同學的解答過程中，第③步開始出現(xiàn)了錯誤；（2）請幫助小樂同學寫出正確的解答過程．【答案】（1）③；（2）解答見解析．【解答】解：（1）第③步開始出現(xiàn)了錯誤，分子應該是2x﹣x﹣2，故答案為：③．（2）＝＝＝＝，當x＝3時，原式＝．21．（10分）（2024?樂山）樂山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務質(zhì)量，某旅行社隨機調(diào)查了部分游客對四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計圖，如圖所示．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為240人，扇形統(tǒng)計圖中m的值為35；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）旅行社推出每人可免費品嘗兩種美食的活動，某游客從上述4種美食中隨機選擇兩種，請用畫樹狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．【答案】（1）240，35；（2）圖形見解析；（3）．【解答】解：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為72÷30%＝240（人），∴m%＝84÷240×100%＝35%，故答案為：240，35；（2）喜好甜皮雞的人數(shù)為：240﹣48﹣72﹣84＝36（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）把四種美食分別記為A：麻辣燙，B：蹺腳牛肉，C：缽缽雞，D：甜皮鴨，畫樹狀圖如下：共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的結(jié)果有2種，∴選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率為＝．22．（10分）（2024?樂山）如圖，已知點A（1，m）、B（n，1）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點A的一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點C（0，1）．（1）求m、n的值和一次函數(shù)的表達式；（2）連結(jié)AB，求點C到線段AB的距離．【答案】（1）m＝3，n＝3；一次函數(shù)表達式為y＝2x+1；（2）．【解答】解：（1）∵點A（1，m）、B（n，1）在反比例函數(shù)圖象上，∴m＝3，n＝3．又∵一次函數(shù)y＝kx+b過點A（1，3），C（0，1），∴，解得，∴一次函數(shù)表達式為y＝2x+1．（2）如圖，連結(jié)BC．過點A作AD⊥BC，垂足為點D，過點C作CE⊥AB，垂足為點E．∵C（0，1），B（3，1），∴BC∥x軸，BC＝3．∵點A（1，3），B（3，1），AD⊥BC，∴點D（1，1），AD＝2，DB＝2．在Rt△ADB中，AB＝＝＝2，又∵S△ABC＝，即，∴，即點C到線段AB的距離為．23．（10分）（2024?樂山）我國明朝數(shù)學家程大位寫過一本數(shù)學著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數(shù)學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據(jù)詞意計算秋千繩索OA的長度；（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．【答案】（1）秋千繩索的長度為14.5尺；（2）能，OA＝．【解答】解：（1）如圖，過點A′作A′B⊥OA于點B．設秋千繩索的長度為x尺．由題可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺，∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺．在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2，∴102+（x﹣4）2＝x2，解得x＝14.5．答：秋千繩索的長度為14.5尺；（2）能．由題可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA．在Rt△OA′P中，cosα＝，∴OP＝OA′?cosα＝OA?cosα，同理，OQ＝OA″?cosβ＝OA?cosβ，∵OQ﹣OP＝h，∴OA?cosβ﹣OA?cosα＝h，∴OA?（cosβ﹣cosα）＝h，∴OA＝．24．（10分）（2024?樂山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點C作⊙O的切線CD交BA延長線于點D，點E為上一點，且＝．（1）求證：DC∥AE；（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）3π﹣．【解答】（1）證明：∵CD為⊙O的切線，點C在⊙O上，∴∠OCD＝90°，∴∠DCA+∠OCA＝90°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠OAC＝90°．∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠B＝∠DCA，∵＝，∴∠B＝∠CAE，∴∠CAE＝∠DCA，∴CD∥AE；（2）解：連結(jié)OE、BE，∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE，∵OE＝OB，∴△OEB為等邊三角形．∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝180°﹣60°120°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°．∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°．∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA+AD，∵OA＝OC，∴OC＝AD＝3，∴AO＝OE＝OC＝3，∴EF＝OE＝，∴△OAE的面積＝AO?FE＝，∵扇形OAE的面積＝3π，∴陰影的面積＝扇形OAE的面積﹣△OAE的面積＝3π﹣．25．（12分）（2024?樂山）在平面直角坐標系xOy中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線y＝ax2﹣2ax+2a（a為常數(shù)且a＞0）與y軸交于點A．（1）若a＝1，求拋物線的頂點坐標；（2）若線段OA（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；（3）若拋物線與直線y＝x交于M、N兩點，線段MN與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．【答案】（1）（1，1）；（2）≤a＜；（3）．【解答】解：（1）當a＝1時，拋物線y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴拋物線的頂點坐標（1，1）；（2）當x＝0時，y＝2a，即拋物線與y軸的交點A坐標為（0，2a），∵線段OA上的“完美點”的個數(shù)大于3個且小于6個，即“完美點”的個數(shù)為4個或5個，而a＞0，∴當“完美點”個數(shù)為4個時，這4個“完美點”的坐標分別為（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），當“完美點”個數(shù)為5個時，這5個“完美點”的坐標分別為（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），∴3≤2a＜5，∴a的取值范圍是≤a＜；（3）易知拋物線的頂點坐標為（1，a），過點P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）．顯然，“完美點”（1，1），（2，2），（3，3）符合題意．下面討論拋物線經(jīng)過（2，1），（3，2）的兩種情況：①當拋物線經(jīng)過（2，1）時，解得．此時，P（2，1），，R（4，5）．如圖所示，滿足題意的“完美點”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4個．②當拋物線經(jīng)過（3，2）時，解得．此時，，Q（3，2），R（4，4）．如圖所示，滿足題意的“完美點”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6個．∴a的取值范圍是．26．（13分）（2024?樂山）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的長．解：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴①_____．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，②_____．∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝③_____．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：△ADE≌△AD′E；“②”處應填：EC2+CD′2＝ED′2；“③”處應填：5．劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數(shù)量關系并證明．【拓展應用】如圖4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關系：EF2＝2BE2+2DF2（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【問題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D、E在邊AC上，且∠DBE＝45°．設AD＝x，CE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關系式．最后，劉老師總結(jié)到：希望同學們在今后的數(shù)學學習中，學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界．【答案】【問題解決】①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5；【知識遷移】DN2+BM2＝MN2，理由見解析過程；【拓展應用】2BE2+2DF2＝EF2，理由見解析過程；【問題再探】．【解答】解：【問題解決】：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，，∴△ADE≌△AD'E（SAS）．∴